王维英

［摘  要］ 在小学数学教学中，教师要准确定位数学思想，主动融入数学思想。数学思想要具有“数学味”“儿童性”以及“层次性”。教师要立足数学符号，引导学生学会多重表征，融合多重视角，从而让学生感悟符号背后的意义，领会符号背后的实质，触摸符号背后的结构。在这个过程中，教师要做学生感悟数学思想的“鼓者”，引导学生用“数学的眼光”观察世界，用“数学的思维”思考世界。

［关键词］ 小学数学；锚点定位；融入路径

在日常生活中，人们对于思想有两种观点：其一是自然科学思想；其二是社会科学思想。显然，数学思想属于自然科学思想。在小学数学教学中，教师要准确定位数学思想，主动融入数学思想。通过数学思想的定位与融入，让学生做一个“快乐的思想者”。数学思想从表面上看是单调的、枯燥的，但一旦融入实践之中，就会闪动着快乐的情感元素［１］。教师要做学生感悟数学思想的“鼓者”，引导学生用“数学的眼光”观察世界，用“数学的思维”思考世界。

一、数学思想的锚点定位

数学思想是指对数学事实经理论概括、提炼之后形成的本质性认识。小學数学是一门质性数学，蕴含着丰富的数学思想，比如转化思想、对应思想、符号化思想、数形结合思想等。可以这样说，学生后续运用到的数学思想，在小学阶段的数学学习中都有所涉及。因此，注重数学思想的锚点定位、融入路径是数学教学的应有之义。数学思想是数学学科的灵魂。在数学教学中，教师应当让学生的思维、想象伴随着数学思想的精灵而齐飞共舞。正是借助数学思想，让学生的数学学习充满着生命的活力，让数学教学在单调中闪现着丰富、在枯燥中闪现着多彩、在严谨中闪现着活泼、在艰辛中闪现着幸福。

1. 数学思想要具有“数学味”

数学思想要具有数学的学科特质，也就是教师日常所表达的“数学味”。融入数学思想的数学教学，首先应当遵循数学学科的教学规律。在数学教学中，教师要引导学生用数学思想观察、解决问题，去建构、创造数学知识。比如教学“20以内的退位减法” （苏教版小学数学一年级下册）时，部分教师的数学教学就是简单的“走过场”，将几种方法轮番讲解。其实，这一部分内容蕴含着丰富的数学思想。比如计算“13-9”，“青椒”的先减3，再减6以及“萝卜”的先从10里面减去9，再用剩下的数加上3，这两种解决问题的思路都蕴含着一种“建模思想”；而“番茄”是“想9加多少得13”，推理出13减9等于4，这蕴含着方程思想。如果在教学中教师有意识地体现这些思想，就能促进学生数学学习的可持续性发展。

2. 数学思想要体现“儿童性”

小学数学的数学思想的锚点定位还要体现“儿童性”。小学生不是科学家，也不是专业的数学研究者，因而融入数学思想应当尽量体现一种童性、童趣。用特级教师吴正宪的话来说，要让学生学习“好吃又有营养的数学”。“有营养”就是要体现数学思想，而“好吃”就是要体现儿童趣味。只有体现儿童趣味，才能让学生不感到数学思想的枯燥，而是感觉到数学思想的韵味、趣味、情味［２］。比如教学“分数的意义和性质”（苏教版小学数学五年级下册）时，对于“单位1”的量所蕴含的整体思想，部分教师只会抽象说教，如“单位‘1的量就是整体”，“单位‘1的量就是分数前面的量”，等等。笔者在教学中，努力降低这种“说教味”，引导学生从单位“1”的量的产生，也就是将谁平均分，进而助推学生理解、找准单位“1”的量。在这个过程中，学生发现单位“1”的量可大可小，进而有趣地将其形容为孙悟空的“金箍棒”、如来佛的“手掌”，等等。

3. 数学思想要具有“层次性”

数学思想具有层次性、开放性和丰富性。在数学教学中，教师要引导学生进行数学思想的交流，从而让学生感受、体验到数学思想的丰厚与博大。教师要由表及里、由浅入深、由现象及本质地引导学生感悟数学思想，进而让学生感受、体验到数学思想的深刻性。数学思想的渗透是长久的、持续的，比如今天渗透的数学思想，明天还要渗透；比如今年渗透的数学思想，明年还要渗透，等等。以“数形结合思想”的渗透为例，在低年级就有数与形的结合，在中年级有借用线段图分析数量关系的数形结合，在高年级有分数计算的数形结合等。这样的数学思想的渗透，能扎实学生对数学思想的认知、感受、体验。这样的数学思想渗透是缓慢的、润物无声的。在教学中，教师不能刻意地拔高，亦不能降低，而应当循序渐进，让学生充分地经历、充分地感悟，让数学思想的内涵得到不断丰富，外延得到不断积淀。

二、数学思想的融入路径

数学思想的教学不是“告诉式”“讲解式”“灌输式”的，而是“渗透式”“融入式”“感悟式”的。在数学教学中，教师要超越急功近利的知识教学，要舍得将时间放置在学生感悟数学思想上。那种“速成鸡式”的教学违背学生的数学认知规律，只会揠苗助长。从某种意义上说，感悟数学思想，就是感悟数学的精髓。

1. 立足数学符号，感悟符号背后的意义

数学思想教学的提出，最大的改变就是要将教师的“无意行为”转变为“有意行为”。原来的数学教学，教师渗透、融入数学思想可能是无意的，而现在应当成为一种有意行为。渗透、融入数学思想，首先应当引导学生把握数学符号化知识背后的意义。只有当学生在数学学习中能主动地去了解符号的意义，才能品味、感悟到其中蕴含的思想。

数学家亚历山大洛夫说：“如果没有合适的数学符号就不能将算术推向前进，尤其是如果没有专门的数学符号、公式等就简直不可能有现代数学。”［３］ 在数学学科中，借用符号学家索绪尔的说法，符号代表着“能指”，意义代表着“所指”。比如对于一个简单的“分数”，教师不仅要让学生“会读”“会写”，还要让学生能说出“意义”，更为重要的是要将“分数中的每一个符号”与“平均分”“平均分的份数”“表示的份数”建立起关联。分数线这一符号，与除法中的除号、比中的比号一样，背后表征的就是“平均分”的思想。“分数线”与“平均分”就成为数学中的“表征”与“被表征”的关系，成为一种“能指”与“所指”的关系。很多学生，之所以对分数的意义理解不深刻，其根源就在于教师教学时将“能指”与“所指”割裂了。理解数学符号背后的意义，就是要让学生在头脑中建立“能指”与“所指”的对应关系，就是要让学生“看到‘能指想到‘所指”。因为，在“所指”中往往蕴含着数学思想。比如“分数线”“除号”等符号中蕴含着“平均分思想”，“加号”蕴含着“合并思想”“组合思想”等。

立足于数学符号，感悟符号背后的意义，就能触摸到其中的数学思想。数学思想不是显性的，而是隐性的，它就隐藏在数学符号“所指”的意义之中。在数学教学中，教师经常会发现一些学生，尽管不能说出具体的概念、公式等，但却会应用。其实，这就是因为学生已经领会了符号背后的意义，感悟到了其中蕴含的数学思想。

2. 学会多重表征，领会符号背后的实质

日本数学教育家米山国藏曾经这样说：“在学校学的数学知识，毕业后若没什么机会去用，一两年后就忘掉了。然而，不管他们从事怎样的工作，数学思想，看问题的着眼点等，都将随时随地地发挥作用。”［４］ 在数学教学中，教师要引导学生学会对数学学习素材进行多重的表征，要充分运用变式，凸显“变中之不变”，进而彰显符号背后的思想实质。相对于数學知识、技能，数学思想有着更大的迁移性。

以教学“分数的初步认识（一）”为例，这一部分内容主要是让学生认识到“一个物体、一个图形或一个计量单位的几分之一”，这是学生在小学阶段初步认识分数。因此，这部分内容对于学生的数学学习来说就具有奠基性的作用。教学中，笔者充分运用变式，引导学生“将一张纸平均分成两份”，让学生建立起对“1/2”的多重表征。通过画图、折纸，然后进行比较，学生能够发现，尽管每一份的形状、大小都不同，但却能表征相同的分数，进而学生就会从“变式”中感悟到，分数的意义只与平均分的份数和表示的份数有关。这样的过程性变式，能深化学生对分数的意义的认知，把握分数的意义的本质内涵。在这个过程中，学生能将抽象的分数与形象的图形结合起来，进而融入了数形结合思想。

法国布尔巴基数学学派认为：“数学的一大堆形式符号和推理程序、公式组合，无非就是数学自身的语言。”［５］数学语言是数学家赋予数学思想的外部形式，是数学知识的符号化凝练。数学思想就蛰伏于数学符号、语言之中，等待着教师去唤醒、弘扬。数学知识只是数学思想的表征，等待着教师去激活，去发掘其中的丰富内涵。

3. 融合多重视角，触摸符号背后的结构

奥地利符号学家维特根斯坦在《哲学研究》中说：“在一幅画中，一个正在上坡的人也可以看成是在倒退着下坡。”［６］对于同一个数学知识，不同的学生可能会产生不同的思维、想象。在小学数学教学中，我们同样会发现，同样的数学知识往往会潜藏着不同的数学思想。从不同的视角来看，学生会触摸到数学符号背后的思想结构。教师要引导学生对接知识本源，让学生享受不同数学思想的碰撞，从而在开放性的思考中放飞学生思想的精灵［３］。

比如教学“异分母分数相加减”时，教师在引导学生探究过程中，可以让学生画图，将异分母分数相加减与图形结合起来，从而渗透数形结合思想；可以让学生通分，将异分母分数相加减转化成同分母分数相加减，也可以将异分母分数相加减转化成小数相加减，从而渗透转化思想；可以联系学生的生活，让学生对计算结果进行估算、验证，从而渗透建模思想。在教学中，教师还可以出示这样的一些算式，引导学生从各个方面进行表征：对于“1/2+1/4+…+1/64”，可以以小见大找规律，可以数形结合探思路，可以将分数拆成两个分数的差等。对于同一个算式、同一个问题，不同的学生往往会进行不同的解释。对于数学思想的发掘，能让学生在数学学习中获得更广泛的视角、更宽阔的视野。

数学思想是数学意识的体现。在数学教学中，教师应当剖开多样化的文本表征，直击深藏于数学文字表层底下的数学思想。孟子云：“不以文害辞，不以辞害志。以意逆志，是为得之。”教师只有让学生感受、体验到数学知识蕴含着的数学思想，领略到数学思想所折射出的熠熠光辉，才能让学生欣赏到数学思想的永恒绚烂。

参考文献：

［１］ 曹才翰，章建跃. 数学教育心理学［Ｍ］. 北京：北京师范大学出版社，２００６.

［２］ 涂荣豹. 数学教学认识论［Ｍ］. 南京：南京师范大学出版社，２００３.

［３］ 曹培英. 跨越断层，走出误区：“数学课程标准”核心词的实践解读之八——模型思想（上）［Ｊ］. 小学数学教师，２０１４（１２）：４－９.

［４］ 张延德，白守湖． 教师教学风格的自我塑造［Ｊ］． 新课程（中旬），２０１３（０４）：１４３.

［５］ 黄红成. 数学复习教学须重视学生素养的培养［Ｊ］. 教学与管理，２０２１（１７）：３８－４０.

［６］ 张晞. 结构化视角下数学思想的渗透［Ｊ］. 教学与管理，２０２１（１１）：５９－６１.