闵长江

当前，对于数学实验的研究与实践主要体现在两个层面。

第一层面，是基于模拟环境下的数学实验。数学实验作为高等院校的一门课程，是我国高等教育面向21世纪的改革举措，是基于“高等数学”“线性代数”“概率论与数理统计”等理论知识、数学建模与计算机应用三者的融合，有利于培养大学生编程与数值计算等能力。 在高中数学教学中，也有一些研究与实践。

第二层面，是基于真实场景下的数学实验。数学实验作为高中数学课堂的一种教学形式，是为解决特定的数学问题，验证特定的数学假设，在真实的场景下，采用实验的方式进行的数学探究活动。本文所提及的“高中数学实验”属于这一界定范畴。

本文基于现行高中数学教材中概率章节的两个数学实验案例，对数学实验课型的界定、实施与评价进行了详细的论述。

一、数学实验课型的研究

笔者在教学实践中，不断挖掘现行教材中可供实验的素材，实行数学实验课型的行动研究。数学实验课型，是指为更有效地达成教学目标，把实验活动融入数学课堂，在限定的时间和空间内进行实验活动而形成的一种特有的数学教学形式。数学实验课如同物理、化学、生物实验课一样，学生通过演示、操作、观察、思辨等一系列的过程，完成相应的认知活动。

（一）课型划分

以实验的类型为依据，结合已有的研究成果，本文将数学实验课划分为“验证型”和“探索型”两种。 抛掷硬币实验是典型的验证型实验，因为对于质地均匀的硬币，其正面朝上与反面朝上的机会是均等的，学生容易预测出实验的最终结果。事实表明，几乎全部的实验小组都在实验之前预测正面朝上的频数为50。那么，真实的情况到底是不是这样呢？需要检验。可见，实验本身就是一个富有期待的验证过程。而抛洒图钉实验则是鲜明的探索型实验。对于质地不均匀的图钉，学生就没有了预判力。事实也恰恰表明，各个小组预测的钉尖朝上的频数结果相差甚远。于是，此实验就具有了强烈的探索意味。

（二）课型结构

数学实验课的设计可以分为实验准备、实验操作、统计分析和实验成果四个环节。其中，实验操作是核心，具有实操性，它是统计分析和实验成果的认知基础，而实验成果是基于实验操作以及统计分析的理论提升。 努力做到“实验操作有信度，理论提升有高度”，四个环节之间的关系是递进的、相辅相成的和不可或缺的。一节数学实验课如果呈现的仅仅是实验操作环节，显然是有瑕疵的。

二、数学实验课型的教学案例

以下结合两个案例，探讨一下高中数学实验课的实施与评价。

（一）抛掷硬币实验

1.实验准备。（1）同桌两位学生组成合作小组。清空桌面，并将课桌相对摆放，形成一个方形的实验平台。（2）两位学生相对而坐，并填写《实验记录单》中的信息。（3）实验预测：抛掷100次硬币，正面朝上的频数是。

2.实验操作。（1）学生甲在桌面上方抛掷一枚硬币，让硬币做自由落体运动掉落到桌面上。（2）学生乙在《实验数据表》中，用“正字法”记录正面朝上的频数。

3.统计分析。将《实验数据表》中正面朝上的总频数报给科代表。

（二）抛洒图钉实验

1．实验准备。（1）同桌两位学生组成合作小组。清空桌面，并将课桌相对摆放，形成一个方形的实验平台。为防止图钉蹦跳落地，沿平台的四周用书或文具等围成一个封闭的区域。（2）两位学生相对而坐，并填写《实验记录单》中的信息项目。（3）实验预测：抛掷100次图钉，估计正面朝上的频数是。

2.实验操作。（1）学生甲在桌面上方适当的高度（30厘米左右）抛洒图钉。在每次抛洒实验中，要求学生手里放10枚图钉，一次性抛洒或者让图钉陆续从手中滑落，掉落到桌面上。（2）学生乙在每次实验后，将钉尖朝上的个数填写到《实验数据表》中。

3.统计分析：将《实验数据表》中正面朝上的总频数报给科代表。

（三）关于两个实验的几点说明

1.合作小组的划分。班额以50人为例，同桌的两位学生组成合作小组，共分为25个小组。

2.实验器材的准备。（1）抛掷硬币实验：准备硬币，面值不限，每组1枚备用。（2）抛洒图钉实验：准备图钉，每组10个图钉备用。

3.影响实验结果的因素分析。（1）平台质地因素。研究表明，当平台的质地比较光滑且硬质时，硬币和图钉都能够充分地碰撞、弹跳，满足实验的随机性要求。但当平台的质地比较松软时，就不能满足实验的场地环境要求。（2）器材选择因素。研究表明，硬币的材质、面值的选择对实验的结果没有影响。但图钉实验就不同，不同功能、不同品牌的图钉形状各异，所得到的实验数据客观上就会有差别。因此，同一实验必须采用同一种品牌的图钉，并且在数据表中需要注明图钉的相关信息。比如，本实验所使用的图钉是上海图钉厂生产的四方牌121型图钉。（3）抛掷方式因素。为了体现实验的随机性，让硬币、图钉有充分的碰撞、弹跳的过程，要求抛掷的高度不能过低，可结合实验环境的实际确定。若在课室内以课桌为实验平台，一般抛掷的高度以30～40厘米为宜。另外，硬币还可以采取高抛旋转的方式。

4.时间规划。数学实验课的每个环节可以进一步优化时间。实践表明，前三个环节可以在20分钟以内完成。再进行后续的实验成果的总结，时间就比较可控了。特别是，在下课前的2～3分钟，还要进行硬币（或图钉）與《实验报告单》的收集。

5.安全事宜。每次进行实验设计时，必须考虑安全问题。像图钉这一类器材，有一定的危险性，为了避免扎伤学生，在实验后及时回收，不可忽视。

三、数学实验的反思与评价

（一）数学实验符合学生的认知规律

感性认识是认识的来源，是理性认识的基础。 正如波利亚所说：“抽象的道理很重要，但要用一切办法使它们能看得见、摸得着。”对于学生来说，观察、体验、参与、从活动中获得直接经验是不可逾越的阶段。但反思我们的教学，往往是把很多直接经验尚且不足的学生，硬生生地拽到理论概括阶段，导致学生的认知懵懂，催生分化。而数学实验恰恰可以为学生的感性认识提供时间和空间，促进学生由感性认识转向理性认识。

（二）数学实验蕴含合作学习

组织学生进行实验探究是数学教师的重要教学行为。数学实验不仅丰富了学生的实践活动，而且为开展数学探究教学提供了一种有效途径。不仅丰富了感性认知，更重要的是感受到了合作的惬意。在分工合作的同时，还可以互换角色，每位学生都能完整地经历实验的全过程，充分发挥学生的主体性和教师的主导性。另外，学生还可以在自评、互评以及教师的综合评价中学会反思、收获友谊和快乐成长。

（三）数学实验要基于教材，立足课堂

首先，数学实验要源于教材。从教材中挖掘素材，不断充实数学实验内容。据统计，在教材的第十章《概率》的章节中，以抛硬币、掷骰子、摸球为背景的举例说明、探究活动、例题、练习、习题累计有45处之多，几乎贯穿章节的始终。可见，硬币、骰子、球是展示随机现象的既简单又重要的概率模型，这启发教师应当充分利用好这些素材，发挥它们对知识的承载作用。 其次，数学实验应当基于教学的需要。要体现数学实验的必要性，不能为了“实验”而实验，不能让数学实验成为课程的附属品。第三，数学实验是一种教学形式，应当根植于课堂这个主阵地，尽量不要额外占用时间和空间，这就需要教师合理地规划时间，高效地开展实验活动，让数学实验由“塞入”“加入”“嵌入”，过渡到“整合”，逐步向“融合”迈进。

（四）加强思辨，培养学生的学科素养

教师可以抓住实验中随机出现的一些现象，让学生充分感知，引导他们进行思辨。以抛掷硬币为例，在实验开始之前，让学生预测：实验100次，硬币正面朝上的频数是多少？在实验结束后，可以随机调查几个小组的预测数据，体会实际与预想的差距。在实验过程中也可能会出现几次、十几次，甚至更多次的连续正面朝上的现象，而不是想象的那种正面朝上和反面朝上交替出现，让学生懂得这些现象在实验过程中都是客观存在的。

在统计分析环节，教师利用Excel软件预制好《实验数据与频率统计表》和《频率折线图》，投放到白板上。在统计分析环节，由各小组报出正面朝上的频数，由科代表录入数据。在屏幕上，每录入一组数据，统计表就会自动运算，同时，频率折线图也随之有了动态改变。然后，教师引导学生结合统计表的数据和频率折线图的走势进行思辨。当实验的频数较少时，频率呈现不够稳定的态势，上下振荡，振幅比较宽。而当实验频数足够多时，频率值基本在0.46至0.48之间振荡，振幅较窄，频率逐渐呈现出稳定的态势。通过分析，让学生懂得频率的稳定性是建立在大数量级实验基础上的概念，从而引导学生较好地理解概率定义的本质。在总结实验成果环节，教师可以比较直观地引导学生理解频率的稳定性，学生会很自然地理解用频率来估计概率的合理性，从而增强对概念的深度认知，完成从感性认识到理性认识的过渡。

四、结束语

数学实验是一种活动化教学，能很好地激起学生的求知欲和好奇心，激发学生对数学学科的兴趣，增强数学表达能力，提高计算能力、数理统计与分析能力。严谨的实验过程操作、客观的实验现象观察、真实的数据统计以及对数学本质的抽象表述等，都在潜移默化地感化学生，不仅提升了学科素养，也培养了实事求是、求真务实的科学态度。

數学实验教学具有直观性、情境性、探索性和实践性，高中采用实验教学方式不仅可以改变学生的学习方式，促进学生的全面发展，还可以转变教师的思想观念。高中数学实验教学的发展需要广大一线教师集思广益，结合高中数学教学实际，在理论研究和实践课例中找到符合现实需求的教学策略，为高中数学实验课程实施开辟广阔的道路，这对推进高中数学以及基础数学教学都具有开创性意义。

责任编辑 罗 峰