王进

新一轮课程改革正在深入推进，笔者作为数学教师一直在研究新课标（《义务教育数学课程标准（2022年版）》）、探索新课程、尝试新教法。笔者尝试将教学课题化、理论化、模式化，这期间遇到三个问题：一是数学课堂活动有关的探究问题针对性弱；二是数学课堂活动的知识内在逻辑性弱；三是数学课堂活动对学生素养提升的实效性弱。笔者应用“溯源式”教学模式和策略，教学效果有所提升，但在分层教学方面仍存在不足。为了全面优化教学，笔者尝试借助云课堂授课，利用云课堂不受时间、空间限制的优势，来解决分层教学中的诸多问题。经过多年实践和研究，笔者探索出“线下溯源+线上分层：初中数学双线教学‘提质增效’策略”，并取得较为理想的成效。

一、线下溯源，贯彻新课标，聚焦素养

（一）线下溯源课堂教学策略

1.基于学情，深度学习，增强课堂活动中问题针对性

新课标实施后，各地中小学纷纷开展数学课堂探究活动。很多教师在课堂上调动学生学习主动性和能动性，充分尊重学生的主体地位，但数学探究课普遍缺少“数学味”，很多探究活动对发展学生数学素养价值不大。对学生而言，怎样的探究活动是有效的？笔者以学生视角，在探究活动中进行定性和定量评价。笔者通过学生的数学成长记录、章节思维导图、探究活动报告、成果自评和互评数据，掌握学情，研究教学，认识到基于学生实际与深度学习需要优化课堂教学是有价值的。

2.重视逻辑，关注本质，明晰知识內在联系

在新课程教学中，笔者注意到几种教学情况：数学课堂上教师提问显得突兀；教师对于开展数学探究活动的必要性甚少关注；较少呈现知识形成过程的逻辑性。知识的发生、发展过程以及学生的思维活动过程大多是被教师安排和设计的，至于为什么以这样的方式来研究、为什么以这样的方式来思考，则较少在课堂上呈现。

笔者深入研究，认识到“数学知识的成长和发展有其内在逻辑。数学教师只有追寻、遵循数学问题提出的内在逻辑、数学问题解决的内在逻辑和数学问题拓展的内在逻辑，才能有效引导和促进学生学会理性地、有条理地思考”[1]。笔者开展“基于数学知识内在逻辑的初中数学课堂设计研究”，构建了基于数学知识内在逻辑的“溯源式”课堂教学基本模型，即“理—联—提—探”。理：理清逻辑与思路，即理清所讲授知识点与前后知识点的联系（知识点内在逻辑）。联：联系实际与旧知，即联系学生实际学情、已有的学习经验、生活的实际背景。提：提出问题与途径，即提出数学问题，在理清逻辑的前提下，尝试让学生提出问题。探：探索知识与方法。

3.注重文化，提升素养，注重课堂活动实效

新课标强调培养学生数学核心素养，具体来讲就是以学生发展为本，以核心素养为导向，进一步强调学生获得“四基”（数学基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验），发展“四能”（运用数学知识与方法发现、提出、分析和解决问题的能力）。但现阶段大部分教师开展课堂教学，对“四基”中的基础知识、基本技能相关教学要求落实得较好，对基本活动经验、基本思想呈现不尽如人意；对“四能”中的“分析问题”和“解决问题”的能力培养要求落实得较好，对“发现问题”的能力培养要求落实不到位，对“提出问题”的能力培养要求几乎没有体现。

要解决上述问题，教师不仅要重视数学知识，而且要注重数学文化。以“数学文化”为切入点，笔者引导学生关注数学知识本质、数学基本思想、数学发展历程，提升学生的数学素养。

基于以上研究，笔者构建了“溯源式”教学模型，并进行了归纳总结。①一个认识：在数学教学中可适时开展探究活动，每节数学课由若干“微探究”活动组成。②一个模式：微探究活动中，基于数学知识内在逻辑、数学文化的呈现，结合学生实际和深度学习需要，开展“溯源式”教学，通过“理—联—提—探”，有效提高学生核心素养、学业水平、思维能力。③一条路径：教师开展“溯源式”教学，坚持“一线二中心”。一条主线就是“基于数学知识内在逻辑的教学”；两个中心分别是“学生实际和深度学习需要”与“数学文化的渗透”（如图1）。

（二）课例呈现：平行四边形教学（节选）

1.模式

教师用“理—联—提—探”模型教学。

（1）理（理清逻辑与思路）

人们认识特殊图形的逻辑往往是由“整体”到“局部”。以等腰三角形为例 ：按照从整体（轴对称性）到局部（边和角）的研究逻辑，借助于轴对称发现等腰三角形的性质，掌握通过添加辅助线进行证明的方法[2]。

（2）联（联系实际与旧知）

教师提问：此前，等腰三角形性质是如何研究的？

学生回答：根据轴对称性来研究等腰三角形边和角的性质。

教师点拨：对于等腰三角形，可按照从整体（轴对称性）到局部（边和角）的思路研究（如图2）。

（3）提（提出问题与途径）（可引导学生提出数学问题）

教师提问：平行四边形是特殊四边形，具有对称性（中心对称），类比等腰三角形的研究思路，能否对平行四边形提出一个数学问题。

学生提出数学问题：能否按照从整体到局部（边和角）的研究逻辑，用中心对称性来研究平行四边形边和角的关系（如图3）。

（4）探（探索知识与方法，如图4所示）

2.路径分析：“溯源式”教学活动中的“一线二中心”

（1）一条主线：数学知识的内在逻辑

逻辑一：平行四边形性质的探索是通过中心对称进行的，借助中心对称探究平行四边形的性质，是研究特殊图形整体到局部的逻辑。

逻辑二：借助中心对称探究得出平行四边形的性质时，学生也掌握了通过添加辅助线来证明性质的方法。

（2）二个中心：“学生实际和深度学习需要”“数学文化的渗透”

中心一“学生实际和深度学习需要”：学生已学习等腰三角形性质的探索，借助于轴对称探究得出等腰三角形的性质，掌握了添加辅助线的证明方法——将欲证明相等的两个角（或线段）置于两个全等三角形之中。这是证明两个角或两条线段相等的基本策略之一。

中心二“数学文化的渗透”：平行四边形性质的探索与证明，体现了研究特殊图形的方法，即从整体到局部进行研究。全等三角形的构建则体现了数学的转化思想，也呈现了研究数学问题的思想方法，即先观察后猜想再论证。

二、线上分层，重视差异，追求实效

分层教学难在实施。教育主管部门要求“严格执行均衡编班，不得以任何名义设置重点班；学校不得随意提高难度、加快进度等”。教师开展分层教学面临新挑战。初中数学分层教学难点有三。①学校使用同一素材，但学生能力不同：学生能力存在差异是不可避免的，学生在语言表达、形象思维、逻辑思维能力等方面都可能存在差异，但每所学校使用的是同一教材，甚至各班用的是同一课件和配套习题。②班级按同一进度教学，但学生基础不同：学生的差异是客观存在的，但教师课时进度是统一的，教师通常根据中等层次学生的接受情况把控进度。③班级在同一环境，但学生品质不同：同一个班级，同一个管理制度，同样的教学管理力度，但有的学生学得高效而轻松，有的学生听课不够专注，对数学学习信心不足，这些现象都是客观存在的[3]。

云课堂在新冠疫情初期大规模应用，其优点有三种。①时效性：云课堂环境下学生的学习不受时间限制，他们可以反复观看教师录制的视频课程，远程接受指导。②无障碍性：在特殊情况下（如居家）学生也可以学习。③共融性：云课堂系统支持学校之间资源共享；支持一师带多班[4]。

由于学生的基础、能力存在差异，在单位时间内、在固定的场室里、用同一素材，数学分层教学比较困难。教师如何利用云课堂不受时间、空间限制的优势，来解决分层教学中的诸多难于操作的问题呢？笔者经过一年多的探索、实践，总结出云课堂环境下初中数学分层教学策略：教师实施“分—调—备—学—馈”闭环式分层教学，对学生有效分层、对知识点针对性讲训，让各层次学生得到应有的发展。

（一）分：自主分层，动态管理

笔者采用自主报名、参考学情、动态分组的方式，将学生分为A（优秀）、B（中等）、C（较弱）3个组。分组原则：尊重学生实情、符合学生实际、调动学生积极性。

（二）调：分层调研，了解疑难

现有大部分云课堂资源存在针对性不够强的问题。笔者以问卷调查方式了解学生的学习近况，了解3个层次学生的知识漏洞与能力缺陷，精选云课堂教学素材。笔者根据问卷反馈情况，结合平时学生课堂表现、作业反馈、训练程度，为各层次学生准备相应难度的素材。教师准备素材应明确两个问题：①各层次学生的疑难点分别是什么？②若各层次薄弱处是同一知识点，不同层次学生素材难易度该如何区分？

教师要为不同层次的学生准备不同难度的、有针对性的微课和习题。例如，A类学生反馈“一次函数的应用”未掌握，C类学生反馈“一次函数与二元一次方程组”未掌握。笔者为A类学生准备综合性较强的、难度偏大的“一次函数的应用”的学习素材，为C类学生准备较为基础的“一次函数与二元一次方程组”的学习素材。

（三）备：精准备课，优化素材

通过以上两步，笔者了解学生有关章节的学习状况，并准确定位所需准备的素材。每个知识点的素材由两个部分构成：①视频素材，20分钟的微课讲解；②文本素材，10分钟的对应习题训练和微课课件（供学生查阅）。即便是同一知识点，由于学生层次不同，笔者准备的素材也是不一样的。笔者将素材准备好后，上传至平台。

例如，A类、C类学生都反馈：“一次函数的应用”掌握情况一般。

C类学生的学习素材（见问题1）如下：

1.如图5是汽车行驶时，油箱内的余油量Q（升）与行驶时间t（小时）之间的函数关系图象，试求行驶3小时后油箱还剩多少油。

A类学生的学习素材（见问题2）如下：

2.一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为y1（km），出租车离甲地的距离为y2（km），客车行驶时间为x（h），y1、y2与x的函数关系图象如图6所示：

（1）写出y1与y2关于x的函数关系式。

（2）设两车间的距离为s（km），写出s关于x的函数关系式。

（3）甲、乙两地间有A、B两座加油站，相距200 km，若客车进入A站加油时，出租车恰好进入B站加油。求A加油站到甲地的距离。

A类学生的学习素材综合性较强，侧重于提高综合解决数学问题的能力，对学生能力要求偏高；C类学生的学习素材较为基础，他们通过对知识直接运用的基础练习，夯实基础即可。

（四）学：在线学习，讲练结合

学生借助在线学习平台，输入账号进入对应界面，找到对应层次的学习资源，在线学习云课堂上的素材，完成后面的10分钟限时练习，并拍照上传系统供教师批阅。

（五）馈：及时反馈，掌握学况

教师登录系统批阅学生上传的练习，掌握各层次学生的在线学习情况。如果学生对某方面掌握得较差，笔者就将该知识点放到下一个章节的分层学习任务中。学生对重点问题“反刍式”学习，达到“闭环式”正反馈的效果。

三、有机融合，闭合提质

线下的日常数学教学中，笔者的课堂坚持基于数学知识内在逻辑、數学文化的呈现，基于学生实际和深度学习需要，以培养学生思辨能力为宗旨，结合数学微探究活动开展“溯源式”教学，有效传授了数学知识，提高了学生的数学核心素养，提升了教学质量。线上的云课堂分层教学是课堂教学的有效补充，笔者采用学生分层、资源分层、目标分层、测评差异化、闭环管理方式教学，达到全面提质的效果。这样有机融合形成了有效的提质增效模式——线下溯源+线上分层：初中数学双线教学“提质增效”模式（如图7）。

（一）模式的主要价值

一是线上、线下有机整合。笔者结合十多年“溯源式”教学经验，利用云课堂实现数学分层教学，实现了二者有机整合、优势互补。

二是提出了两个模式。①基于知识内在逻辑的“溯源式”教学模式：“理—联—提—探”。②云课堂环境下分层闭环教学模式：“分—调—备—学—馈”闭环式分层教学模式。

三是厘清“線下教学的三个维度”和“线上教学的四个策略”。教师开展“溯源式”教学要从三个维度去把握：基于数学知识内在逻辑；基于基本的数学文化呈现；基于学生实际和学生深度学习需求。云课堂环境下初中数学分层教学的四个主要策略：用端口实现学生分组；通过资源分层达到目标分层；差异化的测评使分层更有效；反刍训练下实现闭环管理。

四是搭建平台、均衡教育。在线资源建设工作量大，后来成立了区级“初中数学分层教学合作社”，共同开发、分享资源。云课堂教学可作为常态课的有效补充，用以解决“城乡差异”“师资水平不均”等众多地域差异问题。

（二）创新点

一是方式创新。“线下溯源+线上分层”双线教学是一种新方式，促进初中数学教学提质增效。新模式明确了线下“溯源式”教学的微探究路径，而线上云课堂分层教学作为课堂教学的有效补充，既保证了常态课的实效性，又解决了常态课难于实施分层教学的难题。

二是策略创新。新模式给出了初中数学“溯源式”教学的“一线二中心”的策略。

三是分层创新。笔者创造性用云课堂分层教学，并设计了“分—调—备—学—馈”的具体流程。

四是管理创新。线下常态化管理外，在云课堂管理方面，笔者通过平台开发，加强在线监管，强化章节的分层教学的衔接，让学生进行“闭环式”反刍学习。

五是模式创新。笔者通过实践，探索出可行的双线教学“提质增效”模式，既能提升学生的数学核心素养又能有针对性提高学生成绩。

四、反思与建议

双线教学中有以下问题值得思考和解决。

“溯源式”教学：①要求教师对于知识的本质、内在的逻辑、渗透的文化有比较深入的研究，对教师专业水平要求偏高；②对教师的驾驭课堂能力提出了挑战；③在新授课中取得明显效果，如何在复习课中应用、如何针对大单元进行设计，这些问题需要进一步研究。

云课堂分层教学：①云课堂环境下学生在线学习难以现场监督，笔者将进一步完善管理机制和方式，通过教师网上监督、家校合作共管、智慧平台监控等方式，以取得整体上更大的进步；②分层资源建设工作量大，需要更多人参与建设，才能保证质量；③学生的分层还不够合理，要让分层分得既有温度又有尺度，真正做到新课标要求的让“不同的人在数学上得到不同的发展”，坚持分层教学的初衷。

笔者通过“问题驱动，逐步构建”，最终构建并应用“线下溯源+线上分层”模式，取得以下主要成果：改变了教师教学行为，提高了教学质量；促进了专业发展，提升了业务水平；促进了分层教学，提高了学生学习效率。当然，很多地方仍需要完善和探索。笔者相信随着新课标的深入落实、教学实践的不断完善、信息技术的不断更新，初中数学教学将会在信息技术与教育教学深度融合的背景下不断完善、不断优化。

参考文献

[1] 李昌官.追寻知识发展的内在逻辑——以“方程的根与函数的零点”的教学为例.中国数学教育[J].2017（24）：30-33.

[2] 张鹤.数学教学的逻辑——基于数学本质的分析[M].北京：首都师范大学出版社，2016.

[3] 赵明亮.分层教学在初中数学教学中应用的思考与实践[J].课程教育研究，2020（15）：148-149.

[4] 韩爱学.“云课堂”：学校发展的必然选择[J].中国信息技术教育，2012（5）：79-80.

（作者系广东省广州市花都区教育发展研究院教研员）

责任编辑：祝元志