数值模拟在连续介质力学教学中的应用

2023-03-26常孟周李璐璐范飞高

科教导刊·电子版 2023年2期

常孟周，李璐璐，范飞高

（沈阳理工大学瞬态物理力学与能量转换材料重点实验室，辽宁沈阳 110159）

0 引言

连续介质力学是普遍适用于物质四态（固态、液态、气态以及等离子态）的力学理论，是力学学科最重要的理论基础之一，由法国数学家奥古斯丁·路易·柯西于19世纪提出[1]。连续介质力学主要研究质量连续分布可变形物体的变形与运动规律，并讨论一切连续介质普遍遵从的力学规律，例如，质量守恒定律、动量和角动量定理、能量守恒定律等[2]。

连续介质力学是我校力学/火炮、自动武器与弹药工程/武器系统与运用工程/兵器工程专业学位研究生的一门专业方向课，以力学理论为主框架，为后续弹性力学、弹塑性力学以及工程流体力学等相关课程的开展奠定了理论基础。

《连续介质力学》以物理力学为基础，以复杂的数学运算为方法，授课内容广泛、问题抽象，且系统性、理论性与逻辑性较强，许多理论需要借助多媒体教学（PPT、视频等）展示大量图形与数学物理实证，便于学生理解与解释。连续介质力学的课堂教学中，基本概念与重要公式较多，并且许多公式与定理的推导过程十分复杂，采用传统板书教学，具有理论推导讲解与呈现同步的特点，但并不能生动形象展示本课程的抽象概念。可借助数值模拟的方法进一步将张量、应力应变、变形位移等内容具体化，提高学生的积极性。

1 数值模拟软件简介

结合我校力学/火炮、自动武器与弹药工程/武器系统与运用工程/兵器工程专业的学科设置特点与研究方向，重点介绍ABAQUS、LS-DYNA、AUTODYN以及COMSOL等数值模拟软件[3]。

ABAQUS是广泛应用于工程模拟的有限元软件，可以进行相对简单的线性分析与复杂的非线性分析。尤其针对工程上常用的材料，如金属、橡胶、复合材料以及土壤岩石等，ABAQUS凭借其丰富的材料库与分析模块成功分析了复杂载荷下诸多材料的结构力学特性。此外，ABAQUS软件还可以解决其结构优化、热传导以及多物理场耦合等问题。

LS-DYNA则以其强大的通用非线性功能而闻名于世，能够较真实地模拟复杂非线性问题，具有匹配材料与结构的大变形、损伤断裂以及表面接触的物理现象的多种物理模型，可用于解决多结构、多步骤以及多尺度的结构动力学问题。目前，LS-DYNAY已经广泛应用于航空航天、汽车、船舶、电子、土木工程等领域。与LS-DYNA相比，AUTODYN具有丰富的炸药材料库，更擅长处理爆炸、冲击等流-固-流复杂耦合问题，在高速、瞬态动力学的分析领域占据领先地位。

与上述软件相比，COMSOL软件内部预制多种物理场模型与数学模型，可以任意设置物理场之间的耦合形式，实现力学、热力学、声学、光学以及电磁学等方面的耦合仿真分析。

2 材料本构模型

应力与应变之间的物理关系，即本构关系，对应的函数即本构方程。结合本课程授课重点，选取典型弹性本构模型、弹塑性本构模型以及超弹性本构模型进行研究[4]。

2.1 弹塑性本构模型

2.2 超弹性本构模型

橡胶类材料通常具有不可压缩性、大变形以及非线性等特点，可采用基于应变能函数的唯象模型表征其力学行为，例如，Mooney-Rivlin模型、Yeoh模型、Valanis-Landel模型以及Ogden模型等。

Yeoh模型具有形式简单、精确度高的优点，其材料参数可通过单轴压缩实验确定，Yeoh模型应变能密度函数U表达式为

3 算例分析

案例：正方形板均匀地由构型I变形至构型II，确定拉格朗日应变分量E与欧拉应变分量e。

图1 典型案例分析

此外，针对小变形情况，可将上述公式简化为

采用传统的公式计算方法可以获得案例的整体应变，但无法直观观测材料的应力、应变分布特性。考虑到课堂实例的普遍性与基础性，可采用上述任意一款数值模拟软件对材料的应力应变场进行分析。本文选取 COMSOL Multiphysics，对案例的应变与应力分布特性进行分析。

对于各向同性弹性材料（以6061 Al为例），取参数E=71GPa，，；对于各向超弹性材料（以橡胶为例），取参数C10=0.6465MPa，C20=-0.3968MPa，C30=0.2040MPa[5]。数值模拟过程中，通过设置边界OA、AB、BC与OC的变形定义边界条件。图2为各向同性弹塑性材料的应力应变数值模拟结果（上标e表示弹性，上标p表示塑性）。

图2 各向同性弹塑性材料的应力应变数值模拟结果

此外，分析图2（b）与图2（c）可知，在构型II条件下材料已发生塑性变形，基本保持一致。应变分析可知，弹性应变均在10-3量级，与发生塑性变形对应的变形值匹配；而塑性应变，与表现出明显的不均匀分布特性，且三者的平均值分别为0.17，0.27与0.24。

此外，超弹性材料由于其刚度小、抗剪切能力弱且易大变形的特点，基于COMSOL数值模拟得到的应力应变分布特性均呈现均匀分布状态，且，，与，不再赘述。为了进一步阐明材料特性对变形特点的影响，设置AB与OC的变形条件，而将OA与BC设置为自由状态，研究不同类型材料的应力应变特性。以超弹性材料为例，其应力分布如图3所示。