王狄建

（浙江科技学院理学院，浙江 杭州 310023）

线性代数是高等本科院校理、工、农、医、经济、管理等专业的一门重要的基础课程，它也是现代科学技术中一门非常重要的理论基础。线性代数的历史非常久远，如著名的“鸡兔同笼”实际上就是一个线性方程组求解问题，直到20世纪初，线性代数才作为一个独立的数学分支出现。线性代数在数学、物理、计算机等很多领域都有着各种重要应用，从一开始研究单个变量之间的关系，进一步研究多个变量之间的关系，再到研究非线性问题的线性化，都是将一个数学中的问题或实际应用中的问题转化为一个线性问题去讨论。

浙江科技学院的线性代数课程使用的教材是由薛有才教授主编[1]，该教材以高中知识点“解线性方程组的问题”为背景，进而介绍了线性代数的传统内容，如行列式、矩阵、线性方程组的解、向量与向量空间、矩阵的相似对角化、二次型、线性变换以及线性空间等；同时，为了适应科学技术的发展和结合本校应用性高校的需要，增加了相关的计算方法、程序设计语言和实验。线性代数作为必修的公共基础课之一，它的特点就是概念抽象、定理复杂、计算烦琐，因此这门课程的学习难度较高，学生在学习过程中也会感到乏力[4-5]。为了让学生能更快速更高效地掌握线性代数这门课程，线性代数的课程教学改革已经成为当下的必要任务。

1 线性代数课程教学现状

（1）线性代数主要为高校一、二年级学生开设的一门数学类公共基础课，它主要讲解代数学中一些基础的数学内容，如行列式、矩阵、线性方程组等。这些内容往往注重于理论知识而忽略了与实际应用方面的联系。特别是计算机类、机械类等专业的学生更关注的是线性代数的理论知识在他们各自专业中有什么应用？或者说，如何应用线性代数的知识来解决他们未来可能遇到的专业问题？然而这点往往是教师在教学过程中容易忽略的，教材中也对这部分的交叉内容涉及较少，从而导致学生对学习线性代数这门课程的预期值会降低，学习积极性较低，最终导致教师的教学效果不理想，学生的学习效果较差，不及格率较高。

（2）目前线性代数的教学现状是老师单向灌输知识，学生被动接受的局面。虽然学生是整个教学过程中的主体，但是始终处于一个被动接受知识的状态。不少学生普遍缺乏学习的兴趣和热情，课堂上玩手机、睡觉等现象时常发生。

（3）目前，线性代数的课堂是大班教学，基本上都是80人左右，某些班甚至超过百人。研究表明，若要保证教学质量，则课堂上师生互动比率的时间不应少于四分之一[10]。但对大班授课而言，做到这点非常困难。另外，每个同学的学习领悟能力和兴趣都有差异，按照大班开课的进度并非个个同学都能接受。有些觉得慢，感到沉闷；有些觉得快，未能跟上。因此教师对课堂的秩序维护比较困难，学生上课开小差玩手机，交头接耳，甚至旷课、逃课等情况屡见不鲜。

2 教学改革实践

2.1 构建资源平台

浙江科技学院《线性代数》课程教育改革的实施依托于《浙江省高等学校在线开放课程共享平台》，该平台向高校学生提供了非常优质的课程资源服务。同时，浙江科技学院《线性代数》教学团队录制了全课时的教学视频，并在平台上传了电子教材，电子习题，每章节的测验题等一系列资源。老师可以随时从平台上观察学生们的学习进度与学习效果，从而进行有效的监督和管理。此外，课程的最终成绩也采取线上线下结合的方式，即总评成绩=期末成绩×60%+平时成绩×30%+线上成绩×10%。

2.2 引入式教学法

在线性代数的教学中，引入式教学法是比较直观且有效的方法之一。通过案例的分析，能最大限度地培养学生发现问题、思考问题、解决问题的能力，更注重学生的主观能动性。此外，将线性代数中抽象的概念与实际问题相结合，能够加深对概念的理解，提高学生对线性代数这门课程的好感。

2.3 教学设计与组织

在教学过程中，对教学内容进行模块化，在每个模块中融入相关的实际背景或者具体的案例；在讲授理论知识的同时，重点介绍其背景和应用，突出工程数学中科学领域中的作用。线性代数中最核心的研究内容就是多元未知量的方程组及其解。本文以“线性方程组的解”为例，采用线上线下结合式的教学方案，具体教学过程如下：

2.3.1 课前布置

将“线性方程组的解”的课件，经典的例题，本节的重点、难点等教学材料发布到线上平台，学生按照要求有计划的完成课前预习。教师在线上平台发布讨论几个话题：方程组是否一定有解？方程组的解是否唯一？若方程组的解不唯一，则如何获得全部的解？学生可通过查阅资料，或者协同讨论来解决这三个问题，并举例论证自己的观点。

2.3.2 课堂教学

第一步，抽查学生回答课前的三个问题，这一步是检查同学是否课前认真预习。在黑板上给出三个分别是无解、唯一解和无穷多解的非齐次线性方程组，学生求三个线性方程组的解，这一步是回答课前布置的三个问题。

第二步，教师给出三个非齐次线性方程组的答案，再次提问：如果对上述三个例题分别做一次线性变换，线性方程组的解是否发生改变？学生进行讨论回答。

第三步，教师给出答案：线性方程组的解不会发生变化，并得到重要结论：对线性方程组施行初等变换，不会改变方程组的解。现在可以得到解线性方程组的主要方法：将方程组的增广矩阵做初等行变换化简为行最简形矩阵，得到较为简单的同解方程组，借此判断原方程组解的情况。以上述三个非齐次线性方程组为例，将各自的增广矩阵通过初等行变换化简为行最简形矩阵的形式，再次得到方程组的解。

第四步，回顾上节的一个重要定理：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。最终得到非齐次线性方程组无解、有唯一解和有无穷多解的充分必要条件。

第五步，讲解线性方程组的历史背景和应用前景。早在东汉初年的《九章算术》，第八章“方程”中列出了从二元到六元线性方程组对应的18个实际问题及其解答[2-3]。在方程组的表示中没有未知数，而是把系数和常数项都放在固定位置上构成筹算图，相当于现在的矩阵表示；求解使用筹算的遍乘和直除，对应现在的初等行变换。而西方直到17世纪才由莱布尼茨对线性方程组的研究，尽管国际上习惯把求解线性方程组的方法称为高斯消元法，但从历史来看，我国的线性方程组的求解法式领先于欧洲1000多年[6]。这也有利于弘扬中国文化，提高学生的文化自信和民族自豪感。同时，在科学、物理、航空航天领域中，许多大型问题都会简化成数学模型，而数学模型又可以转换为线性方程组，如隐形飞机设计、手机电磁辐射评估等相关运算，其核心都是麦克斯韦方程，都可归结为高维的线性方程组的求解[7，9]。因此，线性方程组的求解是数学领域的一项重要内容，借此增加学生的学习兴趣。

第六步，教师将知识点串讲，以流程图的形式着重讲解非齐次线性方程组的求解步骤：

第七步，学生自由提问，老师现场答疑。最后进行小测验，检验学生的学习效果。

2.3.3 课后答疑

本节课结束后留相关习题，但需加大难度与计算量。课后学生也可以通过线上教学平台进行提问，学生和老师都可以进行答疑，加强师生之间的互动，学生能对本节知识点进行再一次的消化。

3 结论

该文以线性代数课程中“线性方程组的解”为例，展示了混合式教学模式的教学设计与课堂设计，打破了传统教学模式在时间与空间上的局限性，学生在课前、课后都可灵活地进行线上学习，大大地延长了教学时间，课堂上师生之间的交流时间与机会明显增加，提升课中的学习效率和教学效率。同时，这种教学模式也是顺应时代的潮流，充分利用丰富的网络教学资源，将网络、现代化信息技术带入到课堂上，采用学生能接受、喜欢接受的教学模式，激发学生学习兴趣的同时，锻炼学生的自主学习能力，让学生在学习过程中能体会到学习的快乐，成为学习的主人。