筅江苏省如皋市港城实验学校初中部 陈晓红

1 引言

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（下称《课标（2011年版）》要求“学生掌握数学知识，不能依赖于死记硬背，而应以理解为基础，并在知识的应用中不断巩固和深化”．在数学概念教学中，经常会遇到学生不理解概念而经常犯同样的错误．为了帮助学生深入理解概念，笔者在教学中，常在概念的生长链上“链+”学生易于掌握的跨学科策略，如语文中的差异化停顿、理化学科的对照实验等，让学生在深度辨析中把握概念的本质，达成在理解中应用的目标．本文中拟结合-12与（-1）2的对比教学谈谈笔者的做法，供大家参考．

2 -12与（-1）2的对比教学

2.1 读式感知

教师投影-12和（-1）2，请学生读两式．

生1：负1的平方．

生2（笑）：负1的平方．

师：这么读，这两个式子好像是一样的！

2.2 跨科“链+”

生3：不一样！-12表示的是12的相反数．

师：很好！那（-1）2呢？

生4：（-1）2表示的是两个-1相乘．

师：能把它们的不同点读出来吗？

学生在下面与同桌交流自己的读法.

师：谁来试试？（无人举手）

师：可否在语句中加入停顿来体现呢？

生5：-12读作“负（停顿）1的平方”．

生6：（-1）2读作“负1的（停顿）平方”．

师：很棒！大家自己再读读．

学生各自读式子，并与同组同学交流.

师：两式的结果相同吗？

生7：不同！-12是-1×1，结果为-1；而（-1）2是（-1）×（-1），结果为1.

2.3 策略推广

师：那你现在能理解-an和（-a）n的含义吗？

生8：-an表示-a·a·a·……·a；而（-a）n表示（-a）·（-a）·……·（-a）．

师：太棒了！读一读这两个式子．

生（齐）：负（停顿）a的n次方；负a的（停顿）n次方．

随后教师布置两道含形如-an和（-a）n的式子的计算题，学生自主练习，并交流过程．

3 教学简析

数学运算是学生需要着力发展的核心素养之一，而发展数学运算素养需要依赖于算理、算法、算技、算序等多个方面的教学．其中，对算理的教学很大程度上依赖于学生对与运算相关的概念的理解．上面的片段是乘方概念的延续教学，是对-an和（-a）n的含义的深入探索．

3.1 初读：感知同中不同

-12和（-1）2，外形上是不一样的．教师引导学生初读两式，发现两者都被读作了“负1的平方”．不同的式子，相同的读法，这种“看到的”与“读出的”的不一致，对学生的认知形成了较大的冲击，在“会心一笑”中，孩子们已经体会到了“同中蕴含着相同”，如果不引入好的方法，对两式含义的辨析是有一定困难的．

3.2 再读：“链+”辨析方法

初读感知后，教师将乘方的教学资源链继续延伸，“链+”有差异的读法来体现“同中不同”．教师首先引导学生应用相反数的概念、乘方的概念明晰两式的含义：-12表示的是12的相反数；（-1）2表示的是两个-1相乘．接下来，对两式的读法进行再研讨，追问“能把它们的不同点读出来吗”，因为有了大家“会心一笑”的读法，学生很难迅速生成具有明晰差异的读法，无人举手．为了破解困局，教师随即提示“可否在语句中加入停顿来体现呢”，“语句中差异化停顿，会让同样的表述有不同的含义”的语文方法的“链+”，迅速激活了学生的思维．在两句话中加入了不同位置的停顿，相同的文本，有了不同的停顿，-12中的“-”和（-1）2中“（）”的含义得以凸显．不同位置上的停顿，让相同的文本有了不同的内涵，学生沿着两种不同读法顺利给出两式的运算过程和结果也就十分自然了．

3.3 三读：建构一般策略

此后的探索，是让特殊走向了一般．通过对-an与（-a）n的含义的辨析与读法的呈现，乘方的教学资源链进一步延伸，“链+”读法让学生对-an与（-a）n的认识进一步加深．

4 教学启示

4.1 循序渐进巧“链+”，让学生深入理解概念

一个新概念的出现，总会经历应用出错的心痛，之所以出错，除了“遗忘”这一客观规律，其根本原因还是对概念缺乏深入理解．概念教学，很多人图“新鲜”，一学就会，一做就错，为什么呢？没有真正理解啊！新概念出现后，只关注到几个关键词，而忽略了对概念内涵、外延的把握．在应用时，面对一些“长得比较像的”情境，无法做出准确判断，形成错误的结论．例如，对于-104，有不少学生给出-40的结果，也有不少学生给出10000的结果．这还是对乘方的意义没有理解，给出-40的学生认为104=4×10，这是不理解104表示的是“4个10相乘”这一含义；而给出10000的学生是把-104错误当成了（-10）4，这两个式子中幂运算的底数是不同的，-104中底数为10，而（-10）4中底数为-10．如此明显的差异，仍会出错，还是对概念理解不透．这也是笔者特地安排-12和（-1）2对比教学的原因．通过跨学科“链+”，语文方法的数学应用，给学生的听觉、视觉、理解形成了刺激，今后再面对这样的式子时，他们必然有警觉，会思考，自然对乘方的理解也就越来越深刻了．

4.2 注重实效真“链+”，让学生应用概念有路可循

应用概念解决问题需要有抓手，这个抓手可以是数学的，也可以是数学之外其他学科的．本文中给出的“差异化停顿”就是语文的一种阅读方法，这对于学生理解形如-an和（-a）n的式子的含义是十分有效的，而同时这也是学生应用乘方的定义求此类运算结果的抓手．事实上，对形如-an之类的概念复合体，需要教师从学生实际出发，选择其易于掌握的方法，在与概念相关的教学资源链上“链+”上理解抓手，为应用服务．以-12为例，这原本就不是一个概念，而是两种概念的复合体，（-1）2就是乘方，而-12则是乘方的相反数，两个概念混在一起，如果不深入理解，是极易出错的．在教学中，笔者以“差异化停顿”为抓手，让学生边读边想，形成对“乘方+相反数”这一组合概念的深入理解，从而为有序应用清除了障碍．当然，-an的读法“负（停顿）a的n次方”，不仅是学生理解这个式子含义的抓手，还是他们后续数学运算中回避错误的有效策略．试想，每遇到一个形如-an的式子，都能想到初读-12和（-1）2时的“会心一笑”，都能联想到两者“差异化读法”中的不同停顿位置，自然也就能给出规范的运算过程．所以不管是什么样的数学概念，想要让学生深入理解、准确应用，就应从学科内外给其“链+”一个切实可行的应用抓手．

4.3 适度训练多“链+”，让学生习惯辨析概念

传统教学强调“双基”（即基础知识和基本技能教学），《课标（2011版）》颁布后，“双基”变为“四基”，要求更多了．但“双基”的重要性没有改变．而基础知识的获得是容易的，但要把知识融入到技能中，成为学生思维的一部分，离不开适度的训练．我向来反对“题海战术”，但对“必要的训练能提升学生的数学能力”还是坚信的．无论多么简单的新知，给出适时、适量的配套练习让学生进行策略“链+”是不可少的：可以是匹配教材例题的题组，也可以是教材中的练习或习题．有一点必须坚守：题目要少而精，要有代表性．比如，在对比完成了-12和（-1）2的教学后，两道计算足矣．我们不可能也不要指望通过某一组题就能让学生一下子弄清-an与（-a）n的差别，永不出错．在他们差不多要忘“光”的时候，把两题变一变，拿出来再练一练，“链一链”，这样巩固的效果肯定比搞题海训练要好很多．

“链+”数学，注重以教学资源的环环相扣推动学生素养不断发展．我们在重视教学资源的学科内开发的同时，还不忘跨学科资源的挖掘．本文是笔者在概念教学中的一次尝试，取得了较好的教学效果．当然，这一做法的普适性未得到验证，仅是笔者个人的尝试，但文中的跨学科资源的课堂“链+”，应该是数学教学向外打开的一条有效路径，大家在教学中可以做一些尝试，让学生认知数学时多一些不一样的视角［1］．