杨兴升

莱布尼茨的微积分数学思想与其单子论有何关系、是否存在关系等问题，引发了不少争议。有学者将莱布尼茨微积分中的无穷小量概念视为其哲学中单子概念的对应物，甚至认为他的单子论影响了其微积分等数学思想，或者反过来，将其微积分数学思想视为单子论的基础。例如，波耶(Carl B.Boyer)认为，微分这一无穷小量对应着单子思想(1)[美]波耶：《微积分概念发展史》，唐生译，上海：复旦大学出版社，2011年，第206页。，莱布尼茨将其连续律思想作为其后期微积分研究的基础(2)同上，第212页。。罗素则认为，数学，特别是是微积分，极大地影响了莱布尼茨的哲学思想(3)[英]罗素：《对莱布尼茨哲学的批评性解释》，段德智、张传有等译，北京：商务印书馆，2010年，第19页。。也有学者认为，莱布尼茨的无穷小量概念不仅不是其单子概念的对应物，而且其数学思想与单子论无关。例如，蒙虎认为，莱布尼茨的数学工作与其哲学思想的关联，不是体现为本体论意义上单子与微分的相似，而主要表现为认识论和方法论上的“普遍文字”“数理算法”(4)参见蒙虎：《关于莱布尼茨微积分的哲学背景》，《首都师范大学学报》2004年第1期。。还有学者将二进制同“单子”的创造、微积分和连续律对应起来，认为莱布尼茨的单子论有其数学基础(5)参见朱新春：《“单子”哲学的数学基础初探》，《长春理工大学学报》社会科学版2010年第2期。。

无穷小量是微积分的核心概念之一，并同连续等概念挂钩，进而涉及不可分的点和连续性的关系问题，而后者恰恰是莱布尼茨单子论所致力解决的“连续体迷宫”。所以尽管学者们对无穷小量、微积分等数学思想概念与单子论的关系存在争议，甚至语焉不详，但提出了一个值得研究的问题：莱布尼茨无穷小量等微积分概念与其单子论究竟有何关联？如何关联？虽然这种关联不意味着“无穷小量”同“单子”相对应，但该问题对于把握莱布尼茨的“连续性迷宫”和单子论具有重要意义。本文尝试从无穷小量概念入手，分析其引发的连续性问题及其对莱布尼茨微积分工作和单子论的影响，以此定位这一概念甚至微积分对于莱布尼茨“连续体迷宫”和单子论的影响。

一、“无穷小量”及其哲学意义

早在古希腊时期，数学家和哲学家们就遭遇了数和直线的关系问题、离散和连续的关系问题、无限可分的问题，从而引出无穷小量概念。毕达哥拉斯学派曾把数实体化，认为线段不过是若干整数个单位的组合，所谓“万物皆数”，但不可公度比问题的出现使得这些信念遭到了沉重打击。危机让古希腊数学家意识到：全体正整数和任两个正整数之比组成的总体是离散的，而直线是连续的。对此，德谟克利特提出了几何原子论式的不可分量，欧多克索斯提出了能连续变动的“变量”概念，亚里士多德在二者的基础上区分了作为单位整数倍的离散的“数”和连续变动的“量”，从而把“量”的概念与连续、无限可分、运动等概念紧密联系起来，但它们都未能解答芝诺悖论。不过，亚里士多德的“量”概念与欧多克索斯的“变量”概念一道，隐含着“量”与直线上的点一一对应的思想以及将运动与变量相联系的思想。此外，亚里士多德还区分了潜无限和实无限两个概念，其中的潜无限概念强调了无限增大或无限减少的趋势性，从而蕴含了无穷小量概念。

中世纪后期，经院哲学家对无穷大、无穷小、连续、运动和变化等概念进行哲学思辨式的探讨。其中，最具代表性的人物是红衣主教尼古拉的库萨(Nicholas Cusanus)。在他看来，无穷大代表着上帝和真理，而有限代表着人以及人的知识与能力,人有限的智慧只能无限地趋近真理，永远不能达到真理，因此，无穷大成为所有知识的源泉和方法，但又是不可企及的目标。(6)[美]波耶：《微积分概念发展史》，第88页。他曾反对原子式的无穷小量——不可分量，却又认为连续的量可以在时间和空间当中被无限分割为一系列的静止状态，因而无法将两者有机统一起来。于是，他提出“连续性的桥梁”的观点，即多边形与圆之间、椭圆和抛物线之间、有限与无限之间、无穷小的面积和直线之间，不存在明显的差异。(7)同上，第88页。这深刻影响了后来的开普勒、莱布尼茨等近代数学家和哲学家。至此，无穷的问题、不可分量与连续的关系问题再次受到数学家和哲学家的关注。

无穷小量概念从一开始就与不可分的点与连续的关系问题存在内在的关联，因而不仅是一个数学问题，也是一个哲学问题。尽管古希腊和中世纪的数学家、哲学家最终未能解答这些问题，但他们的探讨和相关思想概念的提出，为后来莱布尼茨等人的微积分数学思想、哲学思想提供了准备。

对莱布尼茨而言，他对无穷小量的理解和处理涉及其微积分的基础稳固性问题，因此他多次对这一概念进行解释，以说明它和零之间的关系。在1675年10月25日的数学手稿中，莱布尼茨以“瞬”(moment)表示一个可以在最终的计算当中略去的面积微元，这是他第一次使用无穷小量的数学形式。(8)G.W.Leibniz, The Early Mathematical Script of Leibniz, trans.by J.M.Child, Chicago: Open Court Publishing Company, 1920, p.65.1690年，他在给沃利斯(John Wallis)的信中提出：无穷小量可以这样来考虑，当我们求它们的比例时不把它们视为零，但当它同极大的量一同出现时我们可以将之舍弃，例如，我们可以把x+dx中dx的舍弃，这种计算所产生的误差在任何情况下都小于任意一个有限的量。当然，如果我们求的是x+dx和x的差，情况就不一样了。(9)G.W.Leibniz, Mathematische Schriften, Band IV,ed.by C.I.Gerhardt, Hildesheim and New York: Georg Olms Verlag, 1971, p.63.

针对莱布尼茨时而把无穷小量当作零、时而不当作零的处理方式，纽纹提(Bernard Nieuwentijdt)提出了一系列质疑。对此，莱布尼茨回应道：无穷小量就是要多小有多小的量，其产生的误差可以小于任意指定的量，不过，该概念所表示的过渡状态或即将消失的状态实际上并没有完全相等或静止，其中的剩余量、剩余速度都是无穷小，至于这种过渡状态是否严密或具有形而上学的意义则是未解决的问题。(10)G.W.Leibniz, Mathematische Schriften, Band V,ed.by C.I.Gerhardt, Hildesheim and New York: Georg Olms Verlag, 1971, pp.320-328.

此后，莱布尼茨把无穷小量问题从数学当中剥离出来，将之视为形而上学问题。在1702年，他提出“数学家根本不需要讨论形而上学，也不必操心去管这种点，这种不可分的、无穷小的、严格意义上的无限的东西是否实际存在……只要不取‘无穷小’而取‘要多小有多小’就够”；也就是说，不应要求几何学去解决形而上学的问题(11)[德]莱布尼茨：《新系统及其说明》，陈修斋译，北京：商务印书馆，2002年，第125-126页。。之后，他在《神义论》当中将不可分的点和连续性的关系问题称为“让哲学家们费心”的著名“迷宫”，并认为该问题涉及到无限性的思考。(12)[德]莱布尼茨：《神正论》，段德智译，北京：商务印书馆，2018年，第61页。

可见，在对待无穷小量的问题上，莱布尼兹在数学上有了定性描述的极限概念，因而他十分确信自己以数学方式处理无穷小量时的正确性。但同时，他也承认这种处理方式仍然缺乏严密性和理论根据。于是，他将无穷小量概念及其引发的连续性问题归根为“形而上学”的问题，并同“连续体迷宫”关联起来，继而在其单子论中对这一问题进行探究。就此而言，数学史家克莱因(Morris Kline)的说法是有道理的，即莱布尼茨对无穷小量的数学处理不能满足他的批评者，因此他诉诸于其哲学中的连续性定律。(13)[美]克莱因：《古今数学思想》第1册，张理京、张锦炎等译，上海：上海科学技术出版社，2014年，第320页。但克莱因并未深究二者关联的具体方式，而后者同莱布尼茨的实体观念紧密相关。

二、“连续体迷宫”和“单子”的提出

莱布尼茨认为，连续性与不可分点的“连续体迷宫”问题“涉及到对于无限性的思考”，但人们对实体的本性缺乏正确的概念，因而导致了不可克服的困难。(14)[德]莱布尼茨：《神正论》，第61页。因此，要解决该问题，必须考虑“无限性”，并提出正确的“实体本性”。

在莱布尼茨看来，以往哲学家们提出的实体概念要么是连续的，要么是原子式不可分的，二者相互对立，前者的代表人物是笛卡尔，后者的代表人物是伽桑狄。笛卡尔认为：实体是不依赖其他事物而能自己存在的事物，因而上帝是唯一绝对独立的实体；不过，上帝还创造了物质和精神两种实体，其中，物质实体的本质属性是广延性，即空间性；因此，物质实体是连续的、无限可分的，不存在原则上不可再分的“原子”，也不存在只有广延性而无物质的“虚空”，世界是“连续”的。(15)[法]笛卡尔：《哲学原理》，关文运译，北京：商务印书馆，1958年，第20、35、44、42页。伽桑狄则认为，世界万物都是由不可再分的“原子”即“不可分的点”构成的，原子的基本属性是坚实性，同时具有广延性，原子和原子之间存在虚空，它们共同造就了一个不连续的宇宙。(16)参见王筱娜：《伽桑狄主动性物质初考》，《北京大学学报》哲学社会科学版2014年第3期。

莱布尼茨认为，笛卡尔的物质实体肯定了实体的连续性，却否定了实体的不可分性，即肯定“连续”而否定“不可分的点”；而伽桑狄不可分的点即“原子”虽然否定了实体的连续性，但其“原子”仍具有广延性，因而并非不可再分；他们两人在实体的连续性和不可分性方面，也就是整体和部分、一般和个别的实在性方面，各执一端，这是错误的，应该予以协调，因为我们不能这样说整体是真实的而部分是不真实的，或者部分是真实的而整体是不真实的。(17)Leibniz, The Monadology and Other Philosophical Writings, ed.by Robert Latta, Oxford: The Clarendon Press, 1898, p.22.换言之，实体作为世界的基本构成单元必然是不可分的，否则就不是单纯的实体，而且还必须具有连续性。

为此，莱布尼茨阐发了自己的实体概念，即“形而上学的点”——单子。单子是构成事物的最初本原，也是实体性东西分析到最后的元素，还是没有任何部分的单元和行动的根源。“我们可以把它们叫作形而上学的点，它们有某种有生命的东西以及一种知觉，而数学的点是它们用来表现宇宙的观点。”(18)[德]莱布尼茨：《新系统及其说明》，第7页。这里，莱布尼茨强调单子实体是一种“不可分的点”，即“没有部分”；单子的属性还包括具有动力、具有某种生命的东西、具有知觉等；此外，他还将单子的“知觉”属性同“表现宇宙”的“数学的点”进行关联。

三、单子的知觉属性和连续性问题

由于单子没有部分，是“不可分的点”，由此可引申出单子其他方面的一些规定性：第一，单子不像广延的自然事物那样因为组合、分解而生灭，只能由神来突然创造或突然毁灭；第二，由于没有“可供事物出入的窗户”，因此单子之间是相互独立的；第三，由于单子本身不存在量的差别，因此它们必然通过某些性质上的差异而相互区分；第四，因为一切被造物都有变化，且没有外因使之变化，所以单子有其变化的内在原则；第五，所有的单子都反映着同一个宇宙，遵守上帝的“前定和谐原则”，以上帝的全知状态为终极发展目标，并且符合“不飞跃”的连续律。单子的这些属性是相互关联的，它们共同构成单子论的主体内容。

(一)单子的知觉属性及其“数学的点”

莱布尼茨认为，单子的本性是“力”，这是单子的内在原则，也是单子变化的来源，它包含一种努力、作为和“隐德莱希”，使得单子及其构成的自然事物能够活动。(19)[德]莱布尼茨：《新系统及其说明》，第25页。因此，这种“力”既是单子的构成要素，也是事物行动的原则。单子的“力”是同其“知觉”和“欲望”联系在一起的。事实上，这种“力”就表现为单子的欲望对其知觉状态的推动。每个单子都通过其特定的知觉可以像镜子一样表象外在事物和反映整个宇宙，它们在各自欲望的推动下不断过渡到新的知觉状态，也因此相互区别。(20)[德]莱布尼茨：《莱布尼茨后期形而上学文集》，段德智、陈修斋译，北京：商务印书馆，2019年，第227页。

由于单子之间不存在量的差别，因此它们必须通过某些性质上的差别来相互区分和推动事物的变化，且这种性质差异主要是单子在知觉属性“清晰程度”上的差别。也就是说，单子实体本身并没有量的规定性，但其知觉的“清晰程度”可以表征为量的不同。正是单子之间知觉“清晰程度”上的“量”的差别，造就了单子实体之间“质”的不同。因此，莱布尼茨指出，“形而上学的点，它们有某种有生命的东西以及一种知觉，而数学的点是它们用来表现宇宙的观点”(21)[德]莱布尼茨：《新系统及其说明》，第7页。。

接着，莱布尼茨区分了“物理学的点”“数学的点”和“形而上学的点”(22)同上，第7页。。其中，“物理学的点”如原子，虽然被强调不可再分，但仍然具有广延性，并非不可再分，因而不是实在的；“数学上的点”精确，但只是样式，没有实在性；“形而上学的点”则既“实在”又“精确”，其实在性体现为不可再分，其精确性表现为通过其“知觉”上的“数学的点”(知觉清晰程度的“量”)来表现宇宙，如果单子之间丧失了这种“精确”，那么它们将无法区分。通过“形而上学的点”，莱布尼茨把不可分性、知觉上的精确性(数学的点)赋予单子实体。那么，这种“数学的点”是连续的吗？

(二)单子的知觉属性和连续律

为了应对“连续体迷宫”，单子实体在不可分的同时，也得具有某种连续性。由于这种连续性不能由单子本身体现，那就只能由它的属性来表达，且主要是知觉属性。为此，莱布尼茨论述了单子在其知觉属性上所表现的连续律。

莱布尼茨提出，上帝在能力、知识、意志等方面是绝对完满的，这种完满性体现为“全部数量的积极实在性”和绝对无限性，但是受造的单子在这些方面“只是这些属性的仿品，这些仿品的模仿程度依照它们所具有的完满性程度而定”，而且这些无限多的单子“都以混乱的方式追求无限，追求全体，但它们都按照知觉的清晰程度而受到限制，并相互区别”。(23)[德]莱布尼茨：《莱布尼茨后期形而上学文集》，第283、290-291、297、300页。也就是说，单子的等级越高，就越趋近于上帝，而上帝的知觉清晰程度是无限和无穷大。由于单子的数量是无限多，且其知觉清晰程度上的“数学的点”各不相同，因此若按照知觉清晰程度进行排列，这些单子可由最混乱意识的“零”趋近全知意识的“无穷大”，且两个相邻单子之间的知觉清晰程度的差异是无穷小。此外，每个单子在其知觉清晰程度的变化上也符合连续律的，因为“每个受造物，从而每个受造的单子，都是有变化的，而且，这种变化在每件事物中都是持续不断的”(24)[德]莱布尼茨：《莱布尼茨后期形而上学文集》，第260页。。

因此，莱布尼茨通过单子之间知觉清晰程度的不同、单子知觉清晰程度的变化论述了单子知觉上的“数学的点”的连续性，即它们都符合连续律。这样，他便在其单子实体概念中结合了不可分性和连续性，即单子是一个没有部分的“形而上的点”，且其知觉属性在清晰程度上具有量的连续性。

(三)单子的知觉属性与前定和谐原则

单子之间相互独立，但是它们各自变化之时又保持着连续律和秩序。这何以可能呢？也就是说，“不可分的点”和“连续性”存在分裂的危险。为此，莱布尼茨请出了上帝：上帝在创造单子之时就预见了所有单子的变化，并为每一个单子进行了安排。这样，每个单子只需按照其与生俱来的法则，就能同其他单子和谐一致，就像“上帝除了一般的维持之外还时时插手其间似的”(25)[德]莱布尼茨：《新系统及其说明》，第51页。。换言之，为了保证不可分的单子能够维持其在知觉属性等方面的连续性，上帝必须从在创造单子之时就给它们安排了先天的内在的法则，所谓前定和谐原则。

因此，尽管单子之间没有直接的相互作用，但它们各自以不同的知觉清晰程度反映着同一个宇宙，进而产生了主动性或受动性不同的相互影响。其中，知觉越清楚的单子，其活动的主动性就越强；知觉越混乱的单子，其活动的被动性也越强。(26)[德]莱布尼茨：《莱布尼茨后期形而上学文集》，第291-292页。正是通过这些主动或被动的相互作用，所有单子最终实现了它们本来就有的前定和谐原则。

此外，每个形体(复合实体)都由众多单子构成。其中，最为卓越的单子，即该形体、事物的中心与统一性原则，将通过自身的属性表象外在的事物。(27)同上，第228-229页。这样，世界万物都在不同知觉清晰程度的单子的相互作用之中实现和谐。换言之，正是前定和谐原则的存在，使得“连续性在时间、广延、各种性质以及运动中，实际上在所有的自然变化中，也都能找到，因为这些从来都不可能通过飞跃而发生”(28)[德]莱布尼茨：《莱布尼茨逻辑学与语言哲学文集》，段德智编译，北京：商务印书馆，2020年，第525页。；也正是连续律的普遍存在，使得前定和谐原则最终得以实现，进而造就整个宇宙的活力与秩序。

尽管莱布尼茨希望通过上帝的前定和谐原则来保证单子的不可分性及其知觉属性等方面的连续性，但他最终还是要以单子知觉属性的连续律来体现和实现这一原则，就此而言，他的前定和谐原则也终究未能脱离其无穷小量数学概念及其连续性问题的影响。