胡小宁，郑立飞

（西北农林科技大学理学院 陕西 杨凌 712100）

全国研究生数学建模竞赛起源于2003 年，是“全国研究生创新实践系列活动”的主题赛事之一，由教育部学位与研究生教育发展中心主办。数学建模强调运用数学方法解决实际问题，培养人的理性思维、团队精神和创新创造能力。研究生通过参加数学建模活动极大地提高了分析问题、解决问题的能力，数学建模活动对研究生的动手能力和创新能力培养起到了强有力的推动作用，为提高研究生培养质量奠定了重要的知识和能力基础。

目前国内鲜有高校开设面向研究生的数学建模课程，并且在教学内容和方法上很少有深入的讨论和分析。一方面是人们关注的重点主要集中在学生数量多、影响较广的大学本科层次的数学建模教学上，对于研究生层面关注不够；另一方面是研究生的数学基础、专业以及研究方向各不相同，这也为数学建模课程的组织带来了不少麻烦。

研究生数学建模与本科生相比，对参赛者掌握知识的深度和广度提出了更高要求。研究生建模本质上来说更接近科学研究，解决的问题往往是科学前沿的问题，需要更为复杂和高深的数学工具。与本科生数学建模课程相区别，研究生建模课程更应该注重数学理论知识的讲解，使学生真正学会融会贯通。对于非理工类专业学生而言，其数学基础相对薄弱，如果授课中直接讲解枯燥高深的数学理论知识，势必会降低学生的参赛积极性。尤其是在新形势下，研究生数学建模中涉及诸多人工智能和基于大数据的机器学习方面的问题，故而培训过程中需要加强对研究生计算机编程能力的培养。

本文将结合多年指导研究生数学建模的经验，总结并提出研究生数学建模课程的教学规划和设计，发挥课程思政在数学建模教学中的作用，建立过程化考核的具体方案，以期助力研究生建模能力的培养和提升。

1 课程规划和设计

笔者通过对历年全国研究生数学建模竞赛题目的分析，总结出常用的建模方法，确定以软件操作、微分方程、统计模型、优化模型、综合评价和智能算法等6 个知识模块组成数学建模课程的授课体系。

1.1 软件操作

软件操作是数学建模必须掌握的内容，是求解模型的必备工具。MATLAB 是数学建模中最常用的软件，是备受大家认可的最优秀的数学模型求解工具之一。MATLAB软件语法命令容易上手，其数学函数非常齐全，可以求解绝大多数数学问题。该软件使用灵活，可以按照不同问题的需求，自主设计程序求解问题。课程中可以以MATLAB为例，讲解程序设计的基础语法、绘图功能和文件操作，以此为基础学生可以自学其他软件，如Python、R、SPSS 等，为求解数学建模问题打下良好基础。

1.2 微分方程模型

微分方程模型是数学建模的重要方法，因为许多实际问题的数学描述可转化为求解微分方程的定解问题。建立微分方程模型首先需要根据实际问题确定要研究的变量和参数，并确定坐标系，然后找出变量符合的物理学、生物学等客观规律，最后根据这些规律建立方程和定解条件并求解。如果所研究问题的客观规律并不清晰，则需要根据实际背景和数据资料提出假设，运用模拟近似的方法建立微分方程并求解。课程中需要讲解一阶常微分方程及其数值解法、高阶常微分方程及其数值解法、常微分方程组、时滞微分方程、一维偏微分方程、二维偏微分方程等内容，该部分内容数学原理性较强，难度稍大，可以基于软件讲解微分方程的解法，有利于学生直观地掌握微分方程及其解法，提升学生动手求解方程的能力。

1.3 统计模型

统计模型以概率论为基础，利用数理统计方法建立模型。统计模型研究的是随机现象，其变量一般不具有特定的值，而是满足某一概率分布。统计模型的思维方式是归纳法，即从数据中总结、提取规律性特征，建立反映客观现实的一般性模型。统计模型是整理、分析、描述数据的重要手段，是对研究对象进行推断和预测的有力工具。建立统计模型通常包括收集数据、数据预处理、寻找合适的模型、模型的验证和结果的解释等步骤。学生需要掌握线性回归、含定性变量的回归、非线性回归、方差分析、主成分分析、聚类分析和判别分析等模型的建立方法。该部分内容虽然数学理论相对复杂，但操作性强，可以采用案例教学法进行讲解，使得学生首先掌握模型的思想，能够熟练应用软件建立统计模型，然后在学有余力的情况下，尽可能了解统计模型的数学原理。

1.4 优化模型

优化模型所解决的问题是：在一系列约束条件下，确定可选变量的取值，使得所建目标函数达到最优。优化模型包括变量、约束条件、目标函数三个基本要素。优化模型在数学建模中占有举足轻重的地位，许多实际问题都可以转化为最优化求解问题。优化模型是运用整数规划、线性规划、非线性规划以及图论等方法所确定的求解最优方案的模型。建立优化模型需要根据题目要求制订目标变量和目标函数表达式，并建立约束条件。建立模型往往并不困难，如何求解才是困扰学生的难题。因此，优化模型的讲解重点在于模型的求解，该部分必须强化软件操作的训练。

1.5 综合评价模型

综合评价模型也是数学建模中常用的方法。综合评价模型包括两个内容，即指标体系的构建和权重的计算。其中权重的计算一般可分为两类方法，一类是主观赋权法，采用咨询评分或专家打分的方式确定权重；另一类是客观赋权法，根据指标之间的相关性或变异程度确定权重。常用的权重计算方法包括灰色关联分析法、主成分分析法、秩和比综合评价法、TOPSIS、模糊综合评价法。权重计算的数学理论虽然较为复杂，但实际使用中利用计算机软件进行求解反而显得较为简单。综合评价模型的难点是指标体系的构建，这部分内容需要结合实际案例强化练习，总结经验。

1.6 智能算法模型

随着大数据时代的来临，近些年来大数据分析越来越多地出现在数学建模竞赛题目中，智能算法就越发显得重要。智能算法又被称为“软计算”，其利用仿生学原理进行模型设计和计算，在解决一些复杂问题时起到重要作用。智能算法模型一般求解的是最优化问题，通常需要大量数据来建立模型。常用的方法包括模拟退火算法、遗传算法、支持向量机、神经网络、决策树、随机森林等。该部分内容对计算机编程能力提出了更高的要求，因此需要加强学生上机实习的力度，从而提高学生程序编写和纠错的能力。

2 数学建模课程思政

数学建模是将现实生活中的实际问题抽象提取为一个数学问题，并进行建模和求解的过程。数学建模和实际问题联系紧密，其中蕴含了丰富的思政元素。在数学建模教学过程中，可以充分发掘实际案例中的思政元素，既有利于提高学生解决现实问题的动手能力，也有利于正确价值观、人生观的培养和形成。数学建模课程可以从以下几个方面融入思政元素。

2.1 科学家精神中的思政元素

数学建模所研究问题涉及众多学科和现实问题，每个学科的发展和现实问题的解决都离不开科学家的身影，科学家的学习经历、科研历程中蕴含丰富的思政元素。他们心系祖国、不畏艰苦、敢于钻研、追求真理、淡泊名利、严谨治学、甘于奉献，形成了新时代伟大的科学家精神。在建模课程讲解的过程中，相应知识点可以引入科学家人物介绍，用科学家精神激励学生努力学习，在建模中勇于创新，获得更好的成绩。

2.2 科技史中的思政元素

每项科学技术的发明创造乃至科学技术的发展历史中都蕴含了思政元素。我国古代造纸术、印刷术、指南针、火药的发明，不仅对中国的经济社会发展作出了巨大贡献，也为世界的科技和文明史产生了重大影响。“两弹一星”、高铁、5G、载人航天等科学技术的发展，使得我国在多个领域跻身世界前列。建模课程中融入这些元素，可以激发学生的民族自豪感和自信心，激励学生以积极的姿态投身祖国的建设事业。

2.3 时事案例中的思政元素

数学建模是利用数学方法求解现实问题，因此实事案例是数学建模的研究对象。建模课程可以在案例中挖掘思政元素。如在讲解微分方程模型时，可以联系当下的新冠肺炎疫情讲解传染病模型，通过在传染病模型中增加参数实现模型的改进演化，介绍为什么要采取隔离措施，封控区、管控区和防范区所起的作用是什么。通过讲解，既能够让学生掌握建模知识，也能够让学生了解抗疫常识、自觉配合做好疫情防护工作。

3 过程化考核

数学建模是一门实践性较强并且具有开放性的课程，正式的竞赛需要3 人组成团队经历72 小时获得问题的求解方案，因此，其考核方式不易采用普通课程的试卷考试方式。经过多年的实践探索，过程化考核比较适用于本课程。

过程化考核方案包括以下3 个方面：①平时成绩占课程总评的10%，包括课堂提问和出勤记录，有利于提高学生参与课堂的积极性。②每个知识模块讲解结束后，针对该模块设计一个小型案例题，在规定时间内每个人单独作答，形成求解方案提交，并给出每个人的分数。6 个知识模块共占课程总评成绩的60%。这样做便于老师了解学生对每个模块的掌握程度，也便于学生查漏补缺，发现知识掌握的短板并在后续的学习中加以补齐。③课程讲解结束后，设计一个综合案例，按照数学建模竞赛的正式流程，让学生3 人一组组成团队，4 天时间内共同求解，并将求解方案写成论文提交。该部分占课程总评成绩的30%。这样做相当于正式数学建模竞赛前的一次预演，既考察了学生对建模知识的掌握程度和解决实际问题的综合能力，也锻炼了学生的团队合作能力，让学生发现团队合作中存在的问题，避免在正式竞赛中再犯同类的错误。

4 结语

本文围绕研究生数学建模课程的内容设置、思政元素融入和考核方式进行探讨，结合多年教学实践经验和对历年数学建模赛题的总结，提出了以软件操作、微分方程、统计模型、优化模型、综合评价和智能算法等6 个知识模块组成的课程设计方案；在课程讲解过程中融入思政元素，发挥思政的育人作用；采用过程化考核，提升学生学习积极性和课程参与度。对研究生数学建模课程的教学进行规划和设计，有助于促进学生对建模知识的掌握和理解，为研究生在全国数学建模竞赛中取得优异成绩提供助力。