朱国强,徐 进,杨伟涛

(烟台大学土木工程学院,山东 烟台 264005)

地下水资源的过度开采和地下工程施工会导致土层内水位发生变化,进而诱发区域性的地面沉降[1]。地面沉降是一种严重的环境地质灾害,这种现象会对地面建筑、市政管线等设施和周围生态环境产生不利影响[2-4],因此,通过客观有效的方法计算和预测水位变化引发的地面沉降是十分必要的。

对于土体在荷载作用下发生固结沉降的问题,国内外学者已有较深入的研究。冯健雪等[5]在连续排水边界条件下得出线性加载的地基土一维固结解析解。谢康和等[6]讨论了在变荷载的条件下多层饱和均质地基的一维固结解析解。阎澍旺[7]在一维Terzaghi方程解答的基础上,通过叠加法推广出一定边界条件下多维固结的解,同时也给出多维固结时固结度及沉降量的计算方法。AI等[8]结合积分变换和解析层元等方法,解答了层状土体在不对称荷载下的固结问题,并获取了土体内部任一点的位移及应力的积分表达式。ZHANG等[9]利用积分转换及矩阵传递等方法讨论了对称荷载作用下均质和不均质土体的多维固结沉降规律,并给出土体内位移和孔压的解析表达式。

水位变化引起土体渗流固结的原理与荷载作用下土体固结的原理有所不同。在承压条件下,当土层内水位发生变化时,土体内部的总应力不变,而有效应力发生相应调整,从而使土体发生固结变形[10]。骆冠勇等[11]在Terzaghi一维固结理论的基础上,得出含水层排水时上覆土层的沉降和固结度的计算方法。CONTE等[12]讨论了一维情况下土体边界孔隙水压力改变导致的瞬态效应,并计算了抽水导致的软土层沉降。YANG等[13]利用Galerkin有限元法计算水位变化诱发的土层沉降的数值解,并使用移动网格法提升数值分析的精度。

目前渗流条件下土层固结的解析研究多集中于一维问题,对于多维情形,主要采用数值方法进行研究。因此,本文建立承压含水层水位变化的条件下弱透水层的二维渗流固结数学模型,并利用Laplace-Fourier变换及相应的数值反演,得出渗流固结模型在时域内的半解析解答。通过与一维固结解析解、有限元数值解及工程实例进行对比,验证该方法的正确性及实用价值。最后,结合算例进一步分析弱透水层参数对固结的影响。

1 问题描述

图1为承压含水层-弱透水层系统中承压含水层的水位变化,设弱透水层和承压含水层均为饱和的各向同性土,土体中渗流规律符合Darcy定律。弱透水层上部潜水补给充足,顶部水头保持恒定,承压含水层底部为隔水边界。弱透水层和承压含水层的厚度分别为M1和M2,渗透系数分别为k1和k2,初始水头均为h,t时刻承压含水层中水位变化为Δh(x,t)。

图1 承压含水层水位变化

1.1 控制方程

根据Terzaghi-Rendulic的二维固结理论[14],可得弱透水层固结的控制方程

(1)

式中,u是弱透水层中的超静孔隙水压力,z和x分别是距弱透水层顶面的垂直距离和距计算原点的水平距离,t为固结发生的时间,C是弱透水层土的固结系数。C的计算公式为

式中，γw是水的重度,取10 kN/m3,E是土体的弹性模量,v是土体的泊松比。

1.2 定解条件

(2)

(3)

式中,Δh(x,t)是承压含水层因井点降水、渗渠排水或地下管道渗漏等因素造成的承压含水层水位变化值。

2 问题解答

对于上述问题的求解,将采用积分变换法,通过对控制方程和边界条件进行Fourier和Laplace变换,将其中的变量x和t转换为Fourier-Laplace域内的参数s和w,根据变换后的边界条件,求得变换域内的方程解答,最后通过数值逆变换的方法,解得固结方程在时域内的解答。

对式(1)—(3)分别作Fourier和Laplace变换，得到

(4)

(5)

(6)

对式(4)求解得

(7)

式中，C1和C2为根据边界条件求解的常数,

将式(5)和式(6)代入式(7),并整理成矩阵形式可得

求解可得

(8)

对式(8)中的变换参数w和s进行逆变换,可解出弱透水层超静孔隙水压力时域内的解答

(9)

固结时弱透水层t时刻其顶部计算原点处的沉降量可用下式计算:

式中,Sc为弱透水层沉降量,εs是单元土体体积应变。

根据沉降量可以定义t时刻土体平均固结度的计算公式:

3 算例对比验证

式(9)给出了固结方程在时域内的解答,但其直接给出显示表达式存在数学上的困难,因此,将使用构造正则算子法、Stehfest法对Fourier-Laplace域内的解答进行数值逆变换,并用MATLAB编写逆变换程序实现数值计算,下面将通过算例,分别与一维解析解、二维有限元数值解以及现场实测数据进行对比。

3.1 与一维解析解的对比

假设承压含水层顶部水头瞬时均匀下降10 m,此时弱透水层底部应力分布情况沿水平方向相同,本文解可以与YAO等[15]提出的一维渗流固结的解析解进行对比,算例中的参数见表1。对比结果见图2,可以看出,在承压含水层水位均匀降低相同数值的情况下,两种解法具有较好的一致性,只在固结初期有少量偏差,主要由于数值逆变换中,t偏小时计算结果存在一些溢出,导致计算精度降低。

表1 算例计算参数

图2 本文解与一维解析解的对比

3.2 与二维有限元解的对比

(10)

(11)

(12)

式中，H是承压含水层中距降水中心x处的总水头,L是含水层中的越流因子,可用式(13)计算:

(13)

结合式(11)和式(12)对式(10)求解可得

此时承压含水层的顶部水位降深可用式(14)计算:

(14)

此时弱透水层的固结可以看做是二维轴对称固结问题,采用ABAQUS有限元软件[17]对渗漏处右侧0 m至15 m的弱透水层土体进行建模,土层使用线弹性本构模型,限制底面的竖向位移和左侧面的水平位移,其顶面和底面均为自由透水边界,采用四边形单元划分网格。算例计算参数见表2,计算结果见图3和图4,从结果中可以看出, 两种解法符合良好,在固结发生400 d时固结度接近100%,固结发展基本完成。在渗漏中心处弱透水层顶部发生最大沉降,随着距渗漏中心水平距离x的增加,弱透水层的沉降量逐渐减小,这与弱透水层沿水平方向的有限元结果保持良好的吻合性。

表2 土层参数

3.3 工程实例应用

宁波地铁站台为地下二层岛式车站[18],基坑建设过程中,富含孔隙水的承压含水层距基坑坑底距离较近,为防止基坑发生突涌对坑底产生破坏,在基坑内布设多处管井井点对承压水采取减压降水措施。在基坑中设置中标准段管井18口,井深36 m,设计降深为13.6 m,基坑东段顶部井2口,井深38 m,设计降深16.7 m,在基坑北部距基坑开挖边线7 m处设有一座观测井,基坑降水井及观测井的平面布设图见图5。将该长条形基坑近似成平面问题,对观测井处承压水减压造成的地面沉降进行计算,并与实际监测结果进行对比。

图3 固结度的对比

图4 弱透水层顶部0～15 m沉降分布对比

图5 基坑井点平面布设

基坑底部埋深16 m,采用地下连续墙的方式进行支护,根据现场地质勘测资料,施工区域内土层分布从上到下分别为人工填土、细砂、黏土、淤泥质黏土、粉质黏土、砂质粉土和粉质黏土,承压水主要赋存于砂质粉土层中,承压水位平均埋深为2.5 m。在下面计算时,对基坑及土层分布的地质模型进行简化,将砂质粉土视为承压层,其上覆的黏土、淤泥质黏土和粉质黏土层视为弱透水层,人工填土及细砂层视为潜水层,简化后的地质模型剖面见图6,计算时使用的土层参数见表3,对观测井处的地面沉降进行计算,并与实际监测的结果进行对比,结果见图7。结果表明,计算值与工程实测数据在沉降规律上体现了较好的吻合性,由于计算过程中对土层及参数进行了简化,在沉降值的计算中出现了一定的误差,最终沉降值的计算误差约为2.5 mm左右。可以看出,在确定合理地层模型和力学参数的基础上,本文建立的半解析解对水位变化下的地面沉降问题可以进行较精确的计算,同时相比于数值方法,在实际应用中也更加方便高效。

图6 地质模型

表3 弱透水层参数

图7 观测井处沉降值的对比

4 影响因素分析

4.1 弱透水层的弹性模量对固结的影响

弱透水层的弹性模量能够反映渗流固结时土体的应力与应变之间的关系,为了探究其对固结的具体影响,对弹性模量的取值逐渐增大,其余的参数与情况同“3.2”,对弱透水层计算原点处的沉降量进行计算。从图8可以看出,随着土体弹性模量增大,最终的沉降量分别减少33%和60%,说明土体弹性模量的增加,使一定应力条件下其抵抗变形的能力逐渐增加,沉降量就会相应地减小,其减小幅度与弹性模量的改变具有线性对应关系,符合线弹性应变的规律。

图8 不同弹性模量下的沉降量

4.2 弱透水层渗透性对固结的影响

弱透水层的渗透性是影响弱透水层内部渗流和排水固结的一个重要因素,渗透系数的大小反映土体渗透性的强弱。对弱透水层取不同的渗透系数,其余参数和情况同“3.2”,分析其对固结过程的影响。从图9可以看出,随着弱透水层渗透系数由8×10-4m·d-1增大至3.2×10-3m·d-1,其渗流固结完成时间分别减少280 d和413.3 d。这说明弱透水层的渗透系数增大时,土层内固结时的超静孔隙水压力的消散速度就越快,土层完成渗流固结所需要的时间就越短。

4.3 弱透水层厚度对固结的影响

弱透水层的厚度会在渗流固结时对土层内应力和应变的分布产生影响,进而影响总体的沉降量。为探讨这种因素对固结的影响,改变弱透水层厚度,其余参数和情况同“3.2”,对弱透水层计算原点处沉降量进行计算。从图10可以看出,随着土层厚度由10 m增大至25 m,其最终的沉降量分别增加43.8%和116%,固结完成的时间分别增加150 d和350 d,说明弱透水层厚度的增加会使土体在固结完成时的总体沉降量也增加,且固结时土体内超静孔隙水压力消散的速率变慢,进而使土层完成固结的时间变长。

图10 不同土体厚度下的沉降量

5 结 语

(1) 根据Terzaghi-Rendulic固结理论,结合弱透水层在承压含水层水位发生变化时的边界条件,建立弱透水层的二维渗流固结模型。使用积分变换与逆变换的方法得出固结模型在时域内的广义积分解答,并利用相应的数值反演方法及MATLAB编程得到数值解答。

(2) 将得到的数值解答通过具体的算例,与一维解析解和有限元数值解进行对比,验证解答的正确性。在此基础上,将该解法代入到工程实例中,从结果可以看出,理论解与实测数据吻合较好,并且实际应用中更为方便。

(3) 结合算例进一步地讨论弱透水层参数对固结的影响。结果表明: 弱透水层的弹性模量越大,土层完成固结最终的沉降就越小,而层厚增加会使其最终沉降量和固结完成的时间增加,弱透水层的渗透性增加会使土层内超静孔隙水压力的消散速度加快,从而减少土体固结完成的时间。