顾业清， 常婷婷， 鲍四元， 沈 峰

(苏州科技大学 土木工程学院， 江苏 苏州 215011)

梁结构作为工程中常见的结构单元，广泛应用于建筑工程、机械和航空航天工程等众多领域。梁结构的振动问题是常见的工程问题，一直受到众多研究者的广泛关注。

实际工程中，梁中的不连续主要分为4类：① 对应于梁截面形状引起的变化，如阶梯形截面梁，Lee等[1-2]讨论了阶梯形截面梁的自由振动和动力响应问题；② 不连续是由梁中的横向支撑引起；周渤等[3]利用改进傅里叶级数法研究两端任意弹性边界条件的连续多段梁，并基于瑞利-里兹法对其进行求解。谢秋林等[4]基于转换矩阵法对中间带弹性支承连续梁在不同边界条件下的自由振动进行了分析；Goranka等[5]用格林函数研究不同刚度下的弹簧支承的欧拉-伯努利梁的自由振动问题；③ 不连续可由裂纹引起，由于设备长期运转或其他原因，梁内可能出现裂纹等导致的不连续变形。对于单裂纹问题，王天宇等[6]基于梁裂纹的在荷载下的弯矩-转角曲线，建立了呼吸裂纹的瞬变刚度扭转弹簧模型，给出梁振动模态的显示表达并分析其动力特性和动力响应，但仅将裂纹等效为扭转弹簧。Kim等[7]基于超球多项式建立了裂纹Timoshenko梁模型，研究其振动特性。近年来也出现了多裂纹梁的振动研究，具体如：马一江等[8]基于传递矩阵法，用一种新的方法求解出内部含多条裂纹的梁的固有频率，但仅适用于简支梁。蒋杰等[9]将开口裂纹边缘以自由边界进行处理，利用Chebyshev-Ritz法分析了两端固支有裂纹梁的自由振动特性。陈得良等[10]基于Euler-Bernoulli梁理论，通过Taylor级数展开的数值方法，利用Hamilton变分原理建立了含多裂纹(群)钢筋混凝土梁模型，考察了含多裂纹(群)钢筋混凝土简支梁的振动特性。Caddemi等[11]给出了存在多个集中裂纹时欧拉-伯努利梁振动模式的精确封闭表达式，并分析了不同边界条件下不同裂纹数的梁的振动模态；④ 初始应力或初始缺陷问题。如焊接引起的初始应力圆板的自由振动问题。陈炉云等[12]建立含预应力薄圆板结构的运动控制方程，研究焊接残余应力对薄圆板结构振动特性的影响。本文主要研究“②”和“③”不连续梁的自由振动，在梁中不连续处引入旋转弹簧或横向弹簧加以模拟。

在模拟计算中，梁内部的不连续问题可看成多跨梁的问题。近年来，人们对于不含裂纹的常规已进行了研究，如王家乐等[13]对Winkler地基上修正Timoshenko梁的振动问题进行了解析分析。而多跨梁自由振动问题的求解有Chebyshev-tau级数展开和Dirac-delta函数法[14]等解析方法，以及基于有限差分的Hencky-bar模型[15]、受支座力单跨梁的受迫振动转化法[16]等数值方法。

对于实际工程中可能存在转角及位移等变形不连续的梁，为处理截面上含有多个不连续的情况，陈小超等[17]在将分布理论运用到振动分析的基础上引入广义函数，并利用Laplace 变换方法求解轴向力作用下不连续梁自由振动问题。文献[18]采用基于广义函数的统一函数法求解不连续梁的静动力学问题。

但上述文献中在引入函数表示梁段位移时，出现了含广义函数的微分方程，应用Laplace变换的求解过程复杂。且已有文献处理对象一般是等截面梁，对于含不连续的变截面梁振动问题的研究涉及较少。

近年来级数展开法在梁、板等结构中得到了应用，如Chebyshev级数展开法[19]和改进傅里叶级数法[20-22]。本文基于改进傅里叶级数方法提出梁振动位移函数的一种新型表示，即傅里叶级数和辅助多项式函数的组合形式，并应用伽辽金法处理振动微分方程，分析出变截面梁自由振动特性。

1 理论推导

1.1 梁自由振动的模型描述

建立端部弹性边界条件下跨中带弹性支撑和旋转弹簧的欧拉梁计算模型，两端受轴向荷载P的作用，如图1所示。梁段1的长度为L1、梁段2的长度为L2，密度为ρ，杨氏模量为E，截面的高度为h，宽度为b(x)，截面面积为A(x)，截面惯性矩为I(x)。在梁的左端A、右端B设置旋转约束弹簧，其刚度分别为KRA和KRB；同时在两端设置横向位移弹簧，其刚度分别为KLA和KLB。通过改变刚度KRA、KRB、KLA和KLB的值来模拟不同的边界条件。例如，当KRA和KLA的刚度值均趋近于无穷大可模拟A端为固定边界条件；当刚度值均为零时，可模拟自由边界条件。

梁跨中C点的耦合条件可类似地描述，即通过设置横向弹簧和旋转弹簧的刚度来实现，如图1所示。例如，当耦合弹簧的刚度KRC，KLC的大小趋近于无穷大时，跨中为刚性耦合，即两边为连续；当刚度值均为零时，两跨在该处分离(或无连接)；当刚度为有限值时，可模拟该处变形的不连续。

图1 弹性条件下带内弹簧的变截面欧拉梁受轴向荷载的 结构模型Fig.1 The structural model of a variable cross-section Euler-Bernoulli beam with inner springs under elastic boundaryconditions

对梁段1以梁左端A点为原点建立水平坐标轴x1，而对梁段2以C点为原点建立水平坐标轴x2。设梁在A截面的宽为b0，且AC、BC段梁截面宽度随x坐标的变化分别为

AC段：b(x1)=b0eαx10≤x1

(1)

BC段：b(x2)=b0eα(L1+x2)0≤x2≤L2

(2)

式中，α为变截面参数。AC、BC两段梁自由振动的控制方程分别为

(3)

(4)

式中：0≤x1

(5)

(6)

而跨中C处的内弹性约束对应的条件可包括如下的连续性条件式(7)和不连续条件式(8)。

(7)

(8)

1.2 梁振动位移容许函数的表述

1.2.1 位移函数采用正弦多项式展开

在梁的横向振动分析中，需要确保位移容许函数及其任意坐标处微分的连续性。基于改进傅里叶方法将梁的振动位移函数表示为傅里叶正弦级数和辅助多项式函数的线性组合，即

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

由梁的基本理论知，M1，M2，M3，M4与梁段端部的弯矩有关，Y1，Y2，Y3，Y4对应于梁段端部挠度。设a1(x)、a2(x)为四次多项式函数，代入式(11)～式(14)中，可解出a1(x)和a2(x)。整理后得辅助多项式a1(x)和a2(x)形式如下

(15)

式中：函数fi(x)(下标i=1,…,8)为

(16)

(17)

1.2.2 位移函数采用余弦多项式展开

梁的振动位移函数还可以表示为傅里叶余弦级数和辅助多项式函数的线性组合

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

式中，Qi(i=1,2,…,4)与梁端部的剪力有关，θi(i=1,2,…,4)与梁端部的转角有关。

设b1(x)和b2(x)为四次多项式函数，结合式(20)～式(23)，可求出b1(x)和b2(x)的表达式。整理后得辅助多项式的具体形式如下

(24)

式中，函数gi(x)(下标i=1,…,8)为

(25)

(26)

1.3 求解方案

(27)

由截面惯性矩表达式I(x)=h3·b(x)/12和式(1)、式(2)，可得

(28)

未知常数M1、M2、Y1、Y2、M3、M4、Y3、Y4、Am、Bm(m=1,2,…,N)形成向量X，即

X={M1,M2,Y1,Y2,M3,M4,Y3,Y4,A1,A2,…,Am,B1,B2,…,Bm}T

(29)

(30)

类似式(29)，令未知常数Q1、Q2、θ1、θ2、Q3、Q4、θ3、θ4、Am、Bm(m=0,1,…,N)形成向量X。将位移函数式(18)、式(19)和式(24)代入控制方程式(30)，并利用三角函数的正交性可得2N+2个等式，而式(18)、式(19)和式(24)代入边界条件式(5)～式(8)可得到8个方程。汇总可得2N+10个关于向量X的齐次线性方程。在上述计算过程中，不论采用改进傅里叶正弦级数展开或余弦展开，改进傅里叶级数式(9)和式(10)(或式(18)和式(19))都需进行有限截断m=N。

由上述伽辽金法所得的线性方程组写成矩阵形式为

(K-ω2M)X=0

(31)

式中：X为包含所有未知级数展开系数的向量；K为总体刚度阵；M为总体质量阵。

式(31)中X有非零解的条件是系数行列式为零，即

|K-ω2M|=0

(32)

轴力P已知时，梁结构的固有频率可以通过求解式(32)对应的矩阵特征值问题而获得。将所得的特征向量系数代入到相应的位移假设函数中，即可获得该阶模态频率所对应的模态。

从位移场的两种表达式：式(9)和式(18)(或式(10)和式(19))可知，不连续梁端部截面的的转角为0时，如位移函数采用余弦级数表示，在x=0或Li(i=1,2)处，只需要使θi=0(i=1,2,…,4)就可满足。而采用正弦级数展开时，需要取截断数N来近似满足该条件，显然此时位移函数采用余弦级数表示会更加合适。

2 数值计算与分析

假设变截面矩形梁的几何尺寸为：L1=L2=1 m，h=0.06 m，b0=0.06 m。而材料的力学参数为：E=210 GP，ρ=7 860 kg/m3。

(33)

式中，下标r=LA、RA、LB、RB、LC或RC。

(34)

式中，L=L1+L2。再引入无量纲频率参数Ω，其表达式如下：

(35)

式中：I0=b0h3/12，A0=b0h。

2.1 正确性验证

图2 跨中带弹性约束的简支梁Fig.2 A simply-supported beam with midspan elastic restraints

表1 不同刚度下跨中带刚性支撑简支梁的固有频率Tab.1 Fundamental frequencies of a simply supported beam with rigid support in the mid-span under differentstiffnesses

表1给出了不同刚度条件下，跨中带弹性支撑的简支梁前三阶固有频率的计算结果。在基于改进傅里叶级数表示位移研究振动问题中，随着截断数增大到一定限值后，计算结果的数值基本保持不变，且较小的截断数能够达到较高的精确度，甚至逼近理论精确解。其中振动位移容许函数的级数截断数N一般取10左右即可达到工程满足的精度。为保证精度，本文统一选取级数截断数N为25。

从表1可知，随着刚度的增加固有频率也随之增加，当刚度值增加到107时，频率值趋于稳定，其大小等于跨中带刚性支撑的简支梁的频率值。当弹簧刚度值从109增加到1013时，频率基本不变。因此，下文选取107作为弹簧刚度的无穷大值进行计算。

表2 振动频率计算结果对比Tab.2 Comparison of calculated results of natural vibration frequency

2.2 不同边界条件下梁的振动特性

2.2.1 跨中带内刚性支撑的等截面悬臂梁

图3 跨中含刚性支撑的悬臂梁Fig.3 A cantilever beam with a mid-span rigid support

梁的位移函数分别按正弦级数和余弦级数展开，得到前五阶固有频率的结果如表3所示。并与应用有限元法所得频率解进行了比较。

表3 跨中含刚性支撑悬臂梁的前5阶无量纲固有频率Tab.3 The first five dimensionless fundamental vibration frequencies of a cantilever beam with a mid-span rigid support

由表3可知，频率的误差在1.4%之内，从而验证了本方法的正确性。因为端点A(即x=0)处边界为固定，由前文知用余弦展开更加适合；余弦级数展开时频率的误差几乎为0，也说明位移函数采用余弦级数表示更合适。现给出位移函数为余弦级数展开情况下的前3阶的模态图，如图4所示。

图4 跨中刚性支撑悬臂梁的前3阶模态Fig.4 The first three mode shapes of a cantilever beam with a mid-span rigid support

2.2.2 跨中带内铰的变截面连续梁

图5 受轴压的跨中带内铰的固支梁Fig.5 A clamped-clamped beam with a midspan hinge under an axial compressive load

表4 带内铰的固支梁在不同轴压载荷时的无量纲振动频率Tab.4 Dimensionless vibration frequencies of clamped-clamped beam with internal hinges under different compressive loads

因为端点A处边界为固定，由前文知用余弦展开位移更加适合，故固支梁的挠度采用余弦级数展开的结果精度更高。在不同轴压荷载下，位移函数为余弦级数展开时的前三阶的模态图，如图6和图7所示。

图6 无轴压的跨中带内铰的固支梁的前3阶模态Fig.6 The first three mode shapes of a clamped-clamped beam with internal hinge without axial compressive loads

图7 轴压作用下跨中带内铰的固支梁的前3阶模态Fig.7 The first three mode shapes of a clamped-clamped beam with internal hinge under an axial compressive load

2.2.3 跨中带内旋弹簧和竖向弹簧的变截面简支梁

图8 受轴压荷载且跨中带弹性约束的简支梁Fig.8 A simply-supported beam with mid-span elastic restraints under an axial compressive load

位移容许函数的级数截断数N取25，随着变截面参数α的变化得到截面梁的前两阶无量纲固有频率的变化规律，如图9所示。从图9可知，变截面参数的变化对跨中带弹性约束的变截面简支梁的固有频率的影响非常大，当变截面参数α∈[-1.5，1.5]时，前两阶频率都随α的增大而先增大后减小，但取到极大值的截面位置却不相同。对于不同的变截面简支梁，当变截面参数α=-0.8时，第一阶固有频率比α为其他参数时梁的一阶频率都大；当变截面参数α=0时，第二阶固有频率较α为其他参数时变截面梁的二阶频率大。

图9 变截面参数α不同时前两阶固有频率的变化规律Fig.9 The first two dimensionless frequencies of the variable cross-section beam with different section parameters

当该变截面梁的变截面参数α=0.5时，不同轴压下的，变截面梁的无量纲前三阶振动频率Ω，如表5所示。从表5可知，轴压的变化对跨中带弹性约束的变截面简支梁的固有频率的影响也非常大。

表5 跨中弹性约束简支梁在不同压缩荷载作用下的无量纲基本频率Tab.5 Fundamental dimensionless frequency of simply-supported beams with mid-span elastic restraints under different compressive loads

无轴压和有轴压下的变截面简支梁的前3阶模态图，如图10和图11所示。对比图10和图11可知，有无轴压荷载对跨中带弹性约束的变截面简支梁的模态的影响不大。

图10 无轴压时跨中弹性约束的简支梁前三阶模态图Fig.10 The first three mode shapes of a simply supported beam with mid-span elastic restraints without axial compressiveloads

图11 轴压作用下跨中弹性约束的简支梁前三阶模态图Fig.11 The first three mode shapes of a simply supported beam with mid-span elastic restraints under an axial compressive load

3 结 论

采用改进傅里叶级数建立弹性边界条件下带有内弹簧的变截面梁受轴向压缩荷载的振动模型。所提变截面梁的位移函数是傅里叶级数和一个辅助多项式的叠加形式，该形式具有级数收敛速度快的特点，而且所添加的辅助多项式中的各系数具有明确的物理意义，即与梁段端部的挠度和弯矩(或剪力和转角)有关。采用伽辽金法处理梁的振动控制微分方程，简化了计算过程，并且求解过程只涉及多项式化简、积分等常规运算。算例验证了所提方法的计算效率和精度，得如下结论：

(1) 对于不同边界条件和跨中弹簧情形，本文方法得到梁的固有频率和振型。其中位移函数可采用傅里叶正弦级数多项式或余弦级数多项式形式展开。频率结果表明挠度为余弦级数展开时频率结果收敛相对更快，并且数值解具有更好的精度和稳定性。余弦展开时，频率的相对误差几乎为0；而正弦展开时收敛相对余弦展开时慢，但频率相对误差也较小，小于1.4%。

(2) 针对高度不变，厚度按指数函数变化的变截面梁，所提方法能够简单、有效地求解出跨中含弹性支撑的梁的固有频率，并且分析了厚度参数对固有频率的影响。

(3) 所提方法不仅对梁在经典的边界条件下成立，对内部设置旋转弹簧和横向弹簧的梁自由振动情况也能很好地求解，可进一步研究跨中带有其它内弹簧的弹性边界梁的自由振动问题。