陈 鹏， 刘春华， 沈廷鳌， 乐开白

(1. 中国空气动力研究与发展中心 空气动力学国家重点实验室， 四川 绵阳 621000； 2. 中国空气动力研究与发展中心 设备设计与测试技术研究所， 四川 绵阳 621000； 3. 陆军勤务学院 油料系， 重庆 401311)

多频信号频率估计算法是对采样信号中多个分量的频率进行估计，广泛应用于电力系统数据分析、科氏流量计信号处理和风洞试验数据处理等诸多领域[1-3]。相比于时域法，频域法计算速度快、抗噪性好。因此，目前主要在频域DFT(discrete Fourier transform)法的基础上对多频信号频率估计算法进行研究[4-5]。

多频信号可分为多频复信号和多频实信号，相比于多频复信号，多频实信号不仅含有多个单频正频率分量，还含有多个对应的负频率分量。对多频实信号中某一正频率分量进行频率估计时，频率估计精度受其他非待估计分量和所有负频率分量频谱泄漏的影响[6]。目前，多频实信号频率估计算法大多是在单频分量频率估计算法的基础上，通过加窗抑制频谱泄漏、频谱泄漏校正(spectrum leakage correction, SLC)等方式实现的[7-8]。文献[9-10]提出RELAX(Relaxation)思想，先通过相减策略减去多频信号中的非待估计分量，再对待估计分量进行处理，抑制了频谱泄漏的影响、提高了多频信号频率估计精度。在此思想基础上，学者们进行了深入研究。

单频实信号含有正频率分量和对应的负频率分量，是一种特殊的多频实信号。为抑制负频率频谱泄漏影响，文献[11]利用RELAX思想，减去信号中的负频率分量，对正频率分量频谱进行两点插值计算，提高了频率估计精度；在此基础上，文献[12]通过信号补零、减去负频率分量和改变频谱插值间隔，进一步提高了频率估计精度，特别是在信号频率较低和中高信噪比(signal to noise ratio，SNR)条件下的频率估计精度。针对一般多频复信号，即信号中只含有多个正频率分量，文献[13-14]采用相减策略思想，减去信号中非待估计分量，抑制了频谱泄漏的影响，并结合HAQSE(Hybrid A&M and q-shift estimator)法[15]和迭代计算，实现了多频复信号频率高精度估计，称为CFH(Coarse-to-fine HAQSE)法。但该算法不具备负频率频谱泄漏抑制能力，在处理多频实信号时，受负频率频谱泄漏的影响，其频率估计精度受限。特别是在信号频率较小，信噪比较高，即频谱泄漏严重时，频率估计精度受影响严重。针对多频实信号，文献[16]中所提Ref[16]法与CFH法思路类似，先对信号补零1倍，利用相减策略减去构造的非待估计分量，并利用三点频谱插值和迭代计算实现了频率估计，提高了多频实信号的频率估计精度。但该算法对信号进行了补零计算，且将频谱插值点数增加到3个，增大了计算量，降低了算法实时性。

可以看出，利用RELAX算法的相减策略思想，能有效抑制多频信号中频谱泄漏的影响，提高多频信号频率估计精度，但针对多频实信号频率估计，仍受负频率频谱泄漏和计算量较大的影响。本文在利用相减策略的基础上，提出了针对多频实信号的频率估计算法，抑制了频谱泄漏的影响，提高了频率估计精度，且计算高效。

1 信号模型

在不同的应用场景中，采样信号模型可分为随机时变信号(非平稳信号)和周期信号，本文以周期信号为研究对象。在实际应用时，即使采样信号为周期信号，信号幅值和频率也会随时间发生波动或缓慢变化，但几乎不会发生突变。进行频率估计时，首先利用矩形窗对采样信号截短，由于信号长度非常短，则认为窗口内信号幅值和频率不变，视为平稳信号；然后采用高精度的实时性强的频率估计算法对截短后的短时信号进行处理，快速跟踪采样信号频率变化。

不失一般性，具有个频率分量的多频实信号模型如式(1)

(1)

根据欧拉公式，采样信号可改写为

(2)

多频实信号可理解为多个单频正频率复信号和多个对应单频负频率复信号的叠加。在对多频实信号第m分量进行频率估计时，受其他非m分量正频率频谱泄漏、所有负频率频谱泄漏和噪声频谱的叠加影响，从而影响频率估计精度。

频谱分析时，信号频率可表示为

(3)

因此，要得到精确的信号频率，需要得到准确的频谱最大值索引和精确的频谱偏移量。

2 所提算法

为提高多频实信号频率估计精度，利用相减策略思路，提出新的迭代频率估计算法，具体步骤如下：

(1) 为降低计算量，采用DFT法中的FFT (fast Fourier transform)法对信号进行处理，求取信号第i分量频谱最大值的索引。

(4)

(5)

式中，符号argmax(•)表示求序列•中最大值的索引。ki表示第i分量的频谱索引。

(2) 根据索引ki，求解第i分量的复幅值。

(6)

(3) 构造含M-1个非待估计正频率分量r+(n)和M个负频率分量r-(n)。

(7)

(8)

从而得到构造的参考信号

r(n)=r+(n)+r-(n)

(9)

并采用相减策略，减去采样信号中的非待估计分量，得到待估计的单频第i分量。

yi(n)=xM(n)-r(n)

(10)

(4) 针对待估计第i分量，在索引ki两边插值，间隔为0.5，计算插值点频谱。

(11)

利用两个插值点频谱计算频谱偏移量。

(12)

式中，Re[•]表示取复数•的实部。

(13)

并从信号xM-i+1(n)中减去构造的第i分量，得到含有M-i个分量的待处理信号xM-i(n)。

(14)

(6) 根据i=1,2,…,M的顺序取值，执行步骤(1)～(5)，逐步减少采样信号中的非待估计分量、抑制频谱泄漏的影响，得到每个分量准确的频谱最大值索引，粗略的复幅值和频谱偏移量。

(7) 迭代计算步骤(2)～(4)，进一步抑制频谱泄漏的影响，得到各分量精确的复幅值和频谱偏移量。

(8) 根据频谱索引和频谱偏移量，利用式(3)计算各分量频率，并根据复幅值，计算各分量幅值和初相位。

(15)

式中，|•|和∠•分别表示取复数•的模和角度。

综上，所提算法流程总结如下：

首先，在第1次迭代时，重复计算M次步骤(1)～(5)，得到各分量准确的频谱最大值索引、粗略的频谱偏移量和复幅值；

然后，迭代计算Q-1次步骤(2)～(4)，得到各分量精确的频谱偏移量和复幅值；

最后，利用式(3)、(15)计算各分量频率、幅值和初相位。

3 性能分析

为检验算法的性能，对算法收敛性和计算量进行分析。

3.1 收敛性

图1 不同迭代次数的频率估计结果Fig.1 Frequency estimation results on different iterations

随着迭代次数增加，算法的频率估计精度逐渐提高。当增加到5次迭代和8次迭代时，频率估计值的均方误差都靠近克拉美罗下限(Cramer-Rao lower bound，CRLB[17])，频率估计精度几乎不再提高，说明算法经5次迭代计算即可收敛。再增加迭代次数，会增加算法计算量，但几乎不再提高频率估计精度。综合考虑算法精度和计算量，后续仿真均采取5次迭代计算。

3.2 计算量

为检验算法的实时性，统计算法的计算量，并与SLC法[8]、CFH法[14]和Ref[16]法进行对比分析，结果如表1所示。

表1 算法计算量Tab.1 The Computation of Algorithms

4 仿真验证

为检验所提算法的频率估计精度，在不同条件下，以含有2个频率分量的多频实信号为例进行仿真试验，并与上述算法，以及CRLB进行对比分析。仿真时，在每个条件下进行2 000次独立试验，以减少随机误差，并将估计结果转换为均方误差(mean square errors, MSEs)的对数表示。

4.1 无噪声

图2 无噪声条件下的频率估计结果Fig.2 Frequency estimation results without noise

仿真信号第1分量频率较小，其正负频率分量间隔近，负频率频谱泄漏严重。CFH法只考虑了非待估计正频率频谱泄漏的影响，没有考虑负频率频谱泄漏的影响，降低了对多频实信号的频谱泄漏抑制能力。Ref[16]法考虑了负频率频谱泄漏的影响，频谱泄漏抑制能力明显强于CFH法，但在频率精估计时采取的3点频谱插值效果一般，频谱泄漏抑制能力仍有待加强。SLC法通过频谱泄漏校正策略，抑制了频谱泄漏的影响，优于CFH法和Ref[16]法。本文算法考虑了非待估计频率频谱泄漏和所有负频率频谱泄漏的影响，可逐渐降低频谱泄漏对每个待估计频率的影响，进一步提升频谱泄漏抑制能力，优于CFH法、Ref[16]法和SLC法，达到了算法的设计目的。

4.2 不同信噪比

图3 不同信噪比下的频率估计结果Fig.3 Frequency estimation results on different SNRs

仿真信号频率小，且频率间隔小，非待估计正频率频谱泄漏和负频率频谱泄漏严重。CFH法没有负频率频谱泄漏抑制能力，频率估计精度最差。在中低信噪比条件下，SLC法、Ref[16]法和本文算法具有相当的频率估计精度，频率估计值的均方误差均靠近CRLB。随着信噪比逐渐增加，噪声的影响逐渐减小，频谱泄漏的影响逐渐强于噪声，SLC法和Ref[16]法的频率估计精度分别逐渐趋于饱和。Ref[16]法通过对采样信号补零，提升了噪声抑制能力，提高了信噪比饱和阈值，高于SLC法的信噪比阈值。所提算法的频率估计结果一直靠近且跟随CRLB变化，提高了中高信噪比条件下的频率估计精度，优于其他几种优秀算法。

4.3 不同频率间隔

图4 不同频率间隔下的频率估计结果Fig.4 Frequency estimation results on different frequency intervals

处理多频实信号时，受负频率频谱泄漏的影响，CFH法的频率估计精度一直受限。在信噪比不变、不同频率间隔条件下，频谱泄漏的程度不同，对频率估计精度的影响也不同。当频率间隔较大时，频谱泄漏的影响较小，本文算法、SLC法和Ref[16]法具有相当的频率估计精度，相互之间的差别较小，但本文算法仍略优于SLC法，SLC法略优于Ref[16]法。当频率间隔减小时，频谱泄漏的影响逐渐增加，CFH法Ref[16]法的频率估计精度逐渐降低，而本文算法的频率估计结果一直靠近CRLB，保持了频率的高精度估计。

5 结 论

为抑制频谱泄漏对多频实信号频率估计的影响，提出一种新的频率估计算法。通过频谱分析、构造参考信号、相减策略、迭代计算等方式抑制了非待估计正频率频谱泄漏和所有负频率频谱泄漏的影响，得到各分量精确的频率、幅值和初相位估计值。经分析，所提算法经过5次迭代即可收敛，且计算高效。

不同条件下的仿真结果表明，所提算法的频谱泄漏抑制能力强，提高了多频实信号的频率估计精度。算法频率估计值的均方误差更靠近克拉美罗下限，优于现有优秀算法，特别是在信号频率间隔小、中高信噪比条件下，频谱泄漏严重时的优势更加明显。