牛丽娜，古丽米热·尔肯，热比古丽·吐尼亚孜

（新疆理工学院，新疆 阿克苏 843100）

众所周知，微分中值定理包含了罗尔中值定理，拉格朗日中值定理和柯西中值定理，是一元微分学中十分重要的结果.一般微积分（高等数学）教材[1-5]中对微分中值定理的证明都是采用以下步骤进行的:

在“函数f（x）和g（x）在[a,b]上连续，在（a,b）内可导”的条件下,应用费马引理证明罗尔定理→通过分析拉格朗日中值定理的几何意义构造满足罗尔定理的辅助函数来证明拉格朗日中值定理→通过分析柯西中值定理的结论构造满足罗尔定理的辅助函数来证明柯西中值定理.

长期以来,已经有许多学者对如何通过构造不同辅助函数来证明柯西中值定理提供了多种方法[6-13],但大多仍然是从分析结论出发来构造辅助函数.所以自然的问题是:

能否不从分析柯西中值定理的结论出发构造辅助函数,而是在给定的条件下使用已知的结论(比如拉格朗日中值定理),或者通过其它已知的知识来比较自然地导出满足罗尔定理条件的函数,从而实现对柯西中值定理的证明？

针对以上问题,本文的目的是采用两种不同的比较自然直接的方法证明以下结论：

定理如果函数f（x），g（x）在[a,b]上连续，在（a,b）内可导,那么至少存在一点ξ∈（a,b），使得.

此外,我们采用的两种证明方法提供了分析和证明柯西中值定理的比较自然的思路，使学生能够在学习一元函数的导数时更好地了解两条平面曲线在给定区间上导数之间的内在联系.

二、定理的两种证明

满足F（a）=F（b）.由定理的条件可知函数F（x）满足罗尔中值定理条件，所以至少存在一点ξ∈（a,b）使得F'（ξ）=0，即于是定理得证.

证法2注意到在定理的条件下我们可使用的只有函数f（x）和g（x）在[a,b]两个端点处的函数值f（a）,f（b）,g（a）,g（b），而点P=（f（a）,f（b））,Q=（g（a）,g（b））代表平面上两个向量，这两个向量是否共线，或者等价，对应坐标是否成比例，可由二阶行列式

是否为零来确定.虽然这两个向量是否共线与我们要证明的结论没有直接关系,但上面等式右端的表达式使得我们能够分析推导函数f（x）和g（x）在[a,b]两个端点的函数值之间的关系:

这表明函数F（x）=（f（a）-f（b））g（x）+（g（b）-g（a））f（x）满足F（a）=F（b）.由定理的条件可知函数F（x）满足罗尔中值定理条件，所以至少存在一点ξ∈（a,b）使得F''（ξ）=0，即（f（b）-f（a））g'（ξ）=（g（b）-g（a））f'（ξ），于是定理得证.

[注]如同证法2 所表明的那样，在定理给定的条件下，借助选定的P=（f（a），f（b））和Q=（g（a），g（b））两点代表的平面上两个向量，使用判别两个向量是否共线的二阶行列式的展开式来分析推导出两个函数在区间端点处函数值之间的关系,从而导出满足罗尔中值定理条件的函数F（x），与行列式是否为零没有直接关系.

三、定理的两个推论

推论1（拉格朗日中值定理）设函数f（x）在[a,b]上连续，在（a,b）内可导，则至少存在一点ξ∈（a,b），使得

证明在定理1 中，令g（x）=x 即可得该结论.

推论2（柯西中值定理）设函数f（x），g（x）在[a,b]上连续，在（a,b）内可导.如果在（a,b）上g'（x）≠0，那么至少存在一点ξ∈（a,b），使得

证明这由定理结论立即可得.