李春艳，李庚鹏，刘继红，罗豆，刘佳奕

（西安邮电大学 电子工程学院，陕西 西安 710121）

1 引言

径向梯度折射率（Gradient Index，GRIN）透镜是一种轴心折射率最大，折射率沿径向呈非均匀梯度变化，平端面的圆柱状透镜，光线在其内部呈曲线传播，具有以超短焦距即可实现光束准直或聚焦成像的特点［1-4］。随着光学系统的微型化、集成化、轻型化发展，径向GRIN透镜已成为光通讯、光传感及光学成像等领域中一种极为重要的光学元件［5-6］。精确的透镜厚度参数有助于指导GRIN透镜的应用，便于技术人员把控相关精密光学仪器的性能。

近年来，学者们提出了利用激光自动对焦扫描法、光谱干涉法、共面电容法、视觉图像法和光谱共焦法等来实现透明材料厚度的非接触精密测量。激光自动对焦扫描法将被测样品置于双向对射光学系统的工作范围内，轴向扫描透镜表面，令光学系统的物镜焦平面与被测样品的前后表面分别重合，光电探测系统获得最大轴向光强响应，进而根据样品前后表面的位置实现样品的厚度测量。光谱干涉法与共面电容法则分别利用低相干光的光程差变化与待测样品引起的电容差变化实现厚度测量。这些测量方法具有测量精度低，易受杂光、振动等环境因素干扰的缺点，难以满足高速、高精度、高稳定性的测量需求。2019年，尚名扬采用3D结构光成像结合多目视觉交会立体测量的方法［7］，实现了变折射率透明材料GRIN透镜厚度的测量。该方法借助结构光对GRIN透镜的外观进行3D成像，利用几何匹配、数据融合等方法，对图像信息进行分析得出透镜外观特征点的空间坐标，进而获得GRIN透镜厚度的高精度测量值，测量误差为±5 μm［7］。光谱共焦法是一种基于色散原理建立空间位置与各波长之间的精确编码关系，进而实现空间位置精密测量的方法。该方法具有超高的距离测量分辨率（nm量级）和多表面层析探测的特点，并且对环境与材料具有普遍的适应性［8-11］，可实现单层或多层透明材料厚度的精密测量，但目前使用该方法进行透明材料厚度测量的研究仅限于折射率分布均匀的材料，利用均匀折射率完成厚度测量数据的修订，对于变折射率材料厚度的测量还未见有报导。

本文基于光谱共焦法的光谱分析实现径向GRIN透镜的厚度测量，测量时GRIN透镜的偏心状态会改变色散光谱的聚焦特性，引起探测光谱的波峰漂移，进而影响厚度测量的准确度。针对该问题，推导了透镜偏心与厚度测量误差之间的关系，并将偏心状态与光轴对中状态下的厚度测量值进行对比，验证了透镜偏心对厚度测量的影响。

2 光谱共焦系统的构成及工作原理

2.1 系统构成

图1为光谱共焦厚度测量系统示意图。它主要由光源、色散选频光路、扫描控制及数据采集、数据处理等部分组成。光源部分由光源和光源控制器构成，选用Thorlabs光纤耦合式白光LED及LEDD1B驱动器；色散选频光路部分选用欧姆龙ZW-S5030光纤同轴位移传感器探头；数据采集部分选用分辨率为0.5 nm的CCS100小型光谱仪；选用TH200R5S2A多模光纤耦合器连接光源、色散系统与数据采集部分。将欧姆龙ZWS5030光纤同轴位移传感器固定于连胜LSSP-13XVR五轴精密位移平台上，将径向GRIN透镜固定于Newport公司的线性位移台（型号：MILS100LM-S，最大行程为100 mm，最小位移量为10 nm，精度为0.5 μm）上，实现径向GRIN透镜厚度测量，同时模拟透镜摆放状态对厚度测量的影响。

图1 光谱共焦厚度测量系统示意图Fig.1 Schematic diagram of spectral confocal thickness measurement system

2.2 工作原理

该系统中，光源发出宽光谱复色白光，经光路部分产生轴向色散，各光谱波长在一定范围内的出射光轴上形成对应的单色聚焦点，建立聚焦位置与波长之间的对应关系。如图2所示，被测样品径向GRIN透镜被置于光路中，上下表面分别反射回特定光波λ1，λ2，而其他光波无法在透镜表面聚焦形成弥散斑，反射后能够通过分光器件、圆孔光阑等到达光谱仪的光能极弱，因此透镜上下表面聚焦光波λ1，λ2在光谱图上以波峰形式呈现。提取峰值波长λ1，λ2，结合厚度模型即可实现被测GRIN透镜厚度测量数据的解算。

图2 光谱共焦法厚度测量的光谱响应Fig.2 Spectral response of thickness measurement by spectral confocal method

3 径向GRIN透镜的厚度测量模型

3.1 基于光谱共焦法的厚度测量模型

如图3所示，径向GRIN透镜的折射率轴心处最大，从轴心到边缘逐渐减小，沿径向梯度变化，等折射率面是中心轴对称的圆柱面。透镜折射率的连续变化，使入射光线在内部发生连续折射，呈曲线传播，光束平滑且连续地会聚到端面中心，因此GRIN透镜也称为自聚焦透镜。

图3 径向GRIN透镜中的光线传播轨迹及该透镜折射率分布Fig.3 Ray path and refractive index distribution of radial GRIN Lens

径向GRIN透镜的折射率分布函数为：

其中：n（r）为距离轴心r处的折射率，n0为轴心折射率，α为折射率分布系数，又称聚焦常数。通过对径向GRIN透镜的光线追迹，在笛卡尔坐标系下结合光学拉格朗日函数、光线弧微分方程建立了径向GRIN透镜基于光谱共焦法的厚度测量模型。

图4 径向GRIN透镜基于光谱共焦法的厚度测量模型Fig.4 Thickness measurement model of radial GRIN lens based on spectral confocal method

图4中，GRIN透镜中心轴与色散物镜光轴重合，光波λ1与λ2分别聚焦于透镜上下表面的O点与P点，透镜实际厚度H即为聚焦点之间的轴向距离OP。设Q点为下表面聚焦光束λ2在透镜上表面的入射点，Q点与色散物镜光轴之间的距离为OQ=y0，λ2的入射角和折射角分别为θ1，θ2，λ1与λ2在空气中的色散距离为h0，光线在透镜中传播时遵循微分方程d(ndr/dl)/dl=∇n，在笛卡尔坐标系下的形式为：

式中dx/dl，dy/dl，dz/dl为光线3个方向的余弦。由于径向GRIN透镜的等折射率面为旋转圆柱面，因此分析子午面内光线的轨迹具有一般性意义，即dn/dx=0，由式（2）得：

其中Q点的折射率nQ=n（y0），利用光线的弧微分，得：

对式（4）进行二次微分得到：

图4中，y也可表示光线入射至透镜时偏离中 心 轴 的 距 离r，由 式（1）得 到d(n2)/dr=代入式（5），得：

由式（6）得出GRIN透镜内的光线传播轨迹y（z）为轴向传播距离z的函数：

式中tanφ0=-n(y0)sinθ2/(αy0)，由入射光线的初始位置（y0，z0）和光线斜率dy0/dz0确定。图2中tanθ2，结 合 折 射 定 律sinθ1=nQsinθ2，得λ2到 达GRIN透 镜 下 表 面z=H时：

由于色散聚焦，y（H）=0，GRIN透镜的厚度H为：

设θ1=θλ2，h0=zλ2-zλ1，将各 项代入式（9），得GRIN透镜的厚度H为λ1，λ2相关的函数：

式中：θλ2取 决 于色散物 镜的数值孔 径NA，zλ为色散物镜各光线的轴向聚焦点位置，由光谱共焦色散物镜的色散性能决定，可通过拟合及精确标定得到。根据式（10），利用实际色散物镜的θλ与精确解调出的光谱仪两个峰值波长对应的色散距离，即可解算得到待测GRIN透镜的厚度H。

3.2 GRIN透镜偏心对其厚度测量的影响

GRIN透镜摆放偏离某一中心位置，会导致色散物镜光轴与GRIN透镜的中心轴之间存在一定的横向偏心，其折射率分布使得聚焦光线的传播特性变化，会影响厚度测量的准确度。GRIN透镜的等折射率面是旋转圆柱面，|x|=|y|位置处的折射率相等，在坐标系中以y表示偏离GRIN透镜轴心的距离r，Δy来等效偏心距离，在子午面内研究偏心对GRIN透镜厚度测量的影响。如图5所示，存在位置偏心误差时，GRIN透镜的中心轴O'z'偏离色散物镜光轴Oz的距离为Δy=Δr=OO'。根据光谱共焦探测原理，光波λ1仍聚焦于透镜上表面O点，而光波λ2由于透镜偏心以及径向GRIN透镜的折射率分布随离轴位置变化的原因，无法在GRIN透镜下表面实现聚焦。设λ3在下表面聚焦于P'点，在上表面的入射点为Q'，Q″，因透镜偏心导致Q'，Q″点的折射率不同，Q'P'，Q″P'两条光线的传播特性也不同。

图5 GRIN透镜偏心时的厚度测量模型Fig.5 Thickness measurement model of GRIN lens with eccentricity

由图5可知，λ3在GRIN透镜上表面Q′，Q″点处的入射角均为θ'1，两点的折射率不同，折射角不同，分别设为θ'2，θ″2。对于色散物镜，λ1，λ3之间的色散距离h'0=z（λ3）-z（λ1），入射点Q′，Q″与色散物镜光轴Oz的距离OQ′，OQ″为=h'0tanθ'1，偏离GRIN透镜中心轴O′z′的距离分别为点处的折射率分别为：

根 据 折 射 定 律sinθ1'=nQ'sinθ2'=nQ″sinθ2''，结合式（9），则Q'P'，Q''P'两条光线在透镜下表面z=H处聚焦时的坐标y（H）分别为：

由于yQ'(H)=-yQ″(H)，则有：

其中：

此时H为λ1、λ3及Δy的函数，即：

由式（14）～式（16）可知，对于同一GRIN透镜，利用光谱共焦法测量厚度时，透镜偏心导致聚焦于透镜下表面的光线波长改变。此时，利用光谱仪接收到的两个峰值波长及透镜光轴对中状态下的厚度公式（10）解算得出的厚度，与式（14）～式（16）式中与偏心距离Δy相关的实际厚度之间存在偏差，即由偏心引起的厚度测量误差ΔH。

色散物镜参考欧姆龙ZW-S5030光纤同轴位移传感器（中心工作距离为30 mm，量程为±2 mm），取传感器的零位工作点作为参考零点位置。由于欧姆龙ZW-S5030光纤位移传感器探头的线性度δ=±2.0 μm，GRIN透镜在量程范围内的轴向位置改变引起透镜表面聚焦光波λ1的不同，改变z（λ1），可能对测量结果产生影响。综合考虑位移传感器的量程，透镜的轴向放置位置为-2～-1.5 mm。参考现有的GRIN透镜产品参数，对厚度H分别为0.78，1.15，2.36，3.93 mm，直径d分别为0.35，0.5，1，1.8 mm的GRIN透镜，中心折射率n0分别为1.62，1.629，1.629，1.629，折 射 率分 布 系 数α分 别 为2.02，1.363，0.664，0.364 mm-1，在不同的轴向位置z（λ1）下由偏心距离Δy引起的厚度测量误差ΔH进行模拟，仿真结果如图6所示。

由图6可以看出，厚度H分别为0.78，1.15，2.36，3.93 mm的GRIN透 镜 偏 心0.05 mm时，厚度测量误差分别约为1.04，2.04，4.19，6.22μm；透镜偏心0.1 mm时，相应厚度透镜的测量误差分别约为4.15，8.16，16.61，24.35 μm。同一透镜的偏心距离Δy越大，ΔH越大，关于GRIN透镜的轴心对称分布；轴向放置位置z（λ1）的变化相比偏心距离Δy对ΔH的影响，可以忽略不计；相同的轴向放置位置z（λ1）下，透镜偏心距离一定，GRIN透镜的厚度测量误差ΔH会随厚度的增大而增大。

图6 偏心距离Δy及轴向放置位置z（λ1）针对不同透镜引起的厚度测量误差Fig.6 Thickness measurement errors caused by eccentric distanceΔy and axial location z（λ1）

4 测量实验与结果

4.1 系统标定

选用美国Edmund Optics生产的长度容差为5%的径向GRIN透镜作为被测对象。利用欧姆龙ZW-5000T光谱共焦位移传感器标定样品的实际厚度，该系统的光学镜头静止分辨率达到0.016 μm，系统的测量分辨率为0.25 μm。具体标定步骤为：（1）将置放被测样品的位移装置的平面移动至距离ZW-5000T色散探头量程内较远的位置，记录由ZW-5000T控制器解调得到的被测样品被置放平面的位置，该平面位置即为待测样品下表面的位置；（2）在位移装置的放置平面放置好径向GRIN透镜，探测光波在透镜上表面的聚焦反射形成光谱信号中的第一个波峰处，利用控制器解调第一个波峰的位置，即为透镜上表面位置。最后，计算待测样品的上表面位置与位移装置置放平面之间的距离，得到被测样品的标定厚度。待测样品的相关参数及标定厚度如表1所示。

表1 待测样品的相关参数及标定厚度Tab.1 Relevant parameters and calibration thickness of sample to be measured

搭建光谱共焦厚度测量实验平台并进行相关的实验，如图7所示。白光光源发出一束混合波长的光束，经过光纤耦合器到达传感器探头产生轴向色散，色散光波在GRIN透镜前后表面自动聚焦反射，由光谱仪分析反射光的光谱分布，定位波峰波长代入式（10），即可得到透镜厚度。

由于GRIN透镜的厚度解调算法依赖于色散光波波长与其聚焦位置的对应关系以及色散光波波长与其像方孔径角之间的关系，利用精密位移装置进行系统标定，得到如图8所示的拟合关系。图中，光谱共焦系统的工作波长约为500～650 nm，所对应的轴向色散区间为±2 mm，零点工作波长为573.6 nm，工作波长所对应的像方孔径角为12.7°～10.98°。

图7 光谱共焦厚度测量实验系统Fig.7 Experimental system for spectral confocal thickness measurement

图8 光谱共焦系统的标定曲线Fig.8 Calibration curves of spectral confocal system

4.2 实验结果

为分析偏心位置误差对不同GRIN透镜厚度测量的影响，实验以色散物镜中心轴与GRIN透镜轴心对准作为对中状态。具体操作为：采用平移台移动GRIN透镜偏离测量光束至透镜两侧边缘恰无接收测量信号，并重新回到中间位置，偏心距离Δy=0 mm。测量时，上下移动GRIN透镜至不同的轴向位置z（λ1），并左右平移透镜至不同的偏心位置Δy，在每个位置均测量6组数据。通过计算机利用式（10）进行数据处理，完成厚度测量数据的解算及折射率修正。将厚度测量值与透镜的实际厚度值进行比较，得到厚度偏差的绝对值Δ1～Δ6，即为透镜在偏心状态下厚度测量的绝对误差。然后，对多次厚度测量的绝对误差取均值表示为，将与光轴对中状态的厚度偏差均值进行比较，得到透镜偏心引起的厚度相对误差Δ，并验证Δ与3.2节中理论分析得到的预测Δ的一致性。为了说明光谱共焦法的测量精度，结合透镜偏心距离依据式（14）～式（16）校正透镜在偏心状态下的厚度绝对误差Δ1～Δ6，并对Δ1～Δ6的校正误差取均值得到校正。最后，计算透镜多个位置的校正的均值，即可得到光谱共焦法对每块GRIN透镜的测量精度。实验测量数据如表2所示，其中z（λ1）分别为-2，-1.8，-1.6 mm。

如表2所示，在相同的测量位置和偏心状态下，GRIN透镜的厚度越大，测量误差越大，且随着透镜偏心距离的增大，测量偏差增大，但轴向摆放引起的误差影响较小；其中，对实际厚度为4.012 6 mm的GRIN透 镜，偏 心0.1 mm的 厚 度测量值与光轴对中状态相比具有约25 μm的厚度相对误差，与理论分析及仿真结果基本符合。但由于透镜偏心引起的厚度相对误差较大，透镜的厚度测量值与实际标定厚度值具有约30 μm的绝对误差，在对偏心引起的误差进行校正后，绝对误差缩小至4.6 μm。实验结果表明，透镜在偏心状态下的厚度测量误差较大，为实现径向GRIN透镜厚度的准确测量，测量时需提前校准系统光轴，令GRIN透镜的轴心尽可能与色散物镜的中心轴线重合，或通过透镜的厚度误差补偿模型对透镜偏心引起的厚度测量误差进行修正。

表2 不同轴向放置位置及偏心距离下的厚度测量结果Tab.2 Thickness measurement result at different axial positions and eccentric distances

4.3 讨论

实际厚度测量值的变化趋势及范围与理论仿真结果相比，具有一定的偏差。综合分析其原因可能包括：（1）各波长λ与色散位置z（λ）之间不满足完全线性关系，实际选取的欧姆龙ZWS5030光纤位移传感器的线性度δ=±2.0 μm；（2）实验所采用的白光光源在整个光波谱段内出射光强不均匀，另外光源噪声及系统的暗噪声等也会影响实际检测；（3）测量时，由于GRIN透镜折射率梯度变化，透镜偏心时下表面光束并非完全沿原入射方向返回，导致接收光能减弱，以及透镜材质对光波的吸收也可能会造成波峰偏移或对比度下降，波峰定位不准确，提取的光谱响应的峰值波长不准确，进而影响检测精度；（4）理论分析时GRIN透镜的折射率分布公式为简化形式，推导光线传播轨迹时利用的是近轴条件下的光线微分方程，理论分析结果只能近似表示实际光线在下表面的聚焦位置。根据理论仿真及实验结果，可采取以下改进措施：（1）优化色散物镜设计，或选取线性度较好的色散选频系统，并通过标定对系统非线性系数进行修正；（2）宽谱段白光光源在500～650 nm波段内出射光强分布均匀，应充分利用该波段进行测量；（3）测量时尽量使光束入射至GRIN透镜中心；（4）改进数据处理算法，提高峰值波长提取精度；（5）修正非均匀折射率材料的误差补偿模型，优化厚度补偿算法。

5 结论

本文基于光谱共焦技术实现了径向GRIN透镜的厚度测量，并研究了透镜偏心状态对厚度测量的影响。实验结果表明：GRIN透镜厚度越大，因偏心引起的测量误差越大；而测量时轴向的位置状态对测量结果的影响较小，可忽略不计，但测量误差随透镜偏心程度的增大显著增加。实际厚度为4.012 6 mm的GRIN透镜在校正偏心对厚度测量的影响后，厚度测量误差为4.6 μm，光谱共焦法能够实现径向GRIN透镜厚度的无损快速测量。针对光谱共焦法实现径向GRIN透镜的厚度测量以及GRIN透镜偏心对厚度测量影响的研究，对优化光谱共焦测量系统结构，进一步提高系统的测量性能具有一定的指导意义，为光谱共焦法测量变折射率材料提供了一定的参考。