筅江苏省常熟市沙家浜中学 曹鸣军

1 引言

初中阶段“数的开方”并没有安排在有理数的乘方之后立即进行教学，而是“过了很长一段时间”（人教版教材安排在七年级下学期，苏科版教材则安排在八年级上学期）才引出数的开方，对我们开展平方根的新知引出来说，有很多数学情境可供选取，比如，基于平方运算的逆运算，运用勾股定理计算直角三角形的边长，等等，都可以成为引出数的开方的“数学现实”．本研究基于苏科版教材八年级上册研发的平方根（第1课时）课例，并跟进阐释笔者的教学立意，供研讨．

2 平方根（第1课时）教学设计

2.1 创设情境，引入新知

问题1（七上教材内容）如图1，把两个面积为1dm2的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2dm2的大正方形（如图2）．如果设图2中大正方形的边长为x，那么x2=2，你们能求出x吗？

图1

图2

预设：学生可能会感到困难，因为在七年级上学期只是给出图2中正方形的边长不是一个有理数，并且通过大量举例、运算、猜想得出上面设出的x是一个无限不循环小数（教材上给出无理数的名称）．

问题2（八上勾股定理教材习题）如图3，AD⊥BC，垂足为点D．如果CD=1，AD=2，BD=4，那么∠BAC是直角吗？请说明理由．

图3

追问：你能求出边AC，AB的

长分别是多少？

预设：学生会根据勾股定理得出AC2=5，AB2=20，由于5，20不是一个“完全平方数”，继续求解就会出现困难，这样就引出本课的新知讲授．

2.2 讲授新知，初步运用

求一个已知数（如3或-3）的平方的运算，是乘方运算，结果（幂）是9.

逆过来：

取一个未知数（如x）的平方，若结果（幂）是9，则x是3或-3.

取一个未知数（如x）的平方，若结果（幂）是a（强调a是非负数），求底数x的运算是平方的逆运算，叫作开方运算；

进一步用符号简化表示开方运算的定义，如下：

设计意图：这个过程中，先用文字，再代入字母表示这个数，使得定义的表述更加简明，让学生体会符号表达的必要性．

练习：下列各数有平方根吗？如果有，请写出来；如果没有，请说明理由．

教学组织：这组练习不难，教学时，注意引导学生“回到定义”解释．随后师生共同小结出：“一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．”

接着安排教材上“例1”及一组练习讲评．

2.3 运用新知，解决“问题”

解决问题：回到“问题1”“问题2”，请同学们分别写出x的值，AC，AB的长是多少？

学生如果写出正、负两个方根，则提醒实际问题中要舍去负值．

继续安排教材上例2（求一组数的算术平方根）、例3（判断一些算式是否有意义），并组织学生讨论交流，突出强调被开方数不能为负数．

2.4 课堂小结，训练巩固

小结问题1：本课学习了哪种新的运算？你觉得这种运算与之前哪种运算有关？你是如何理解它们之间的关系的？

小结问题2：对一个数a进行开平方运算时，要注意什么？

小结问题3：展望一下，你觉得后续如何研究对一个数开立方、开四次方？你能否举例说说你会如何研究？

作业巩固：

题2：教材上的“例4”．（例4的情境文字内容较多，限于篇幅，这里不做摘引）

3 教学立意的进一步阐释

3.1 精选数学现实，引出新知“数的开方”

3.2 重视例题选编，前后环节“关联呼应”

本课教材上的例题共有4组，但我们并没有全部照搬，而是选取了前三组例题，将例4作为课后作业进行训练．课堂进程中将开课阶段的“问题1~2”作为一道例题进行“新知运用”，并且让学生研究“含30°角的直角三角板”的三边之比．这组“问题”的解决既过渡到新知“算术平方根”的引出，又关联呼应了开课阶段的情境，实现了运用新知解决问题的教学目标［2］．笔者认为，新知课中的例题、习题选编要贴近教学目标的达成、围绕教学主线展开，对于偏离本课教学主线，或者习题内容效度并不贴近教学目标的大容量习题，可以在后续的习题课上再进行考虑．基于以上认识，由于本课是平方根教学的第1课时，所以我们将阅读量偏大的“例4”后置在作业训练中，在后续平方根的第2课时安排习题讲评时，可以进行必要的小结提炼，并给出同类再练．

3.3 预设小结问题，回顾展望“成果扩大”

课堂小结是目前课堂教学研究中一个相对比较薄弱的环节，我们常常见到的课堂小结是“百搭式”的，比如：“这节课你们学到了什么？”“这节课你还有什么疑惑？”然后少数学优生把知识再说一遍，就完成了课堂教学任务．在上面课例的课堂小结阶段我们预设了3个小结问题，分别引导学生回顾本课所学内容，问题比较开放，教学时，如果学生感觉不好表达，可以提醒学生举例交流，因为由能举例（特别是举出恰当、适切的例子）往往可看出学生对新知的理解程度．对于课堂小结的第3个问题，我们安排学生展望“数的开方”、成果扩大，猜想开三次方、开四次方等内容，学生根据本课学习的路径，应该能初步说出什么是开三次方（或开立方），结果是三次方根（或立方根）等等．这就从授人以鱼走向了授人以渔，也就是说，向学生传递如何研究数学是更高立意的教学设计．

4 写在后面

以一节单元起始课为例，概述了笔者的教学设计，由于平方根、算术平方根在有些教材中安排了多个课时进行学习，我们在一节课中将数的开方、平方根、算术平方根等概念都带领学生进行学习，教学容量偏大，具体教学实践时，还要注意结合学情适当取舍，并跟进必要的习题课讲评训练．笔者在文中针对课例教学立意的阐释多为个人观点，抛砖引玉，期待大家的课例实践与观点研讨．