筅甘肃省清水县第五中学 王建兰

1 引言

在教学中，要引导和鼓励学生参与学习，拓展学生参与的范围和程度，给予学生充分的思考空间和时间，在师生互动和生生互动中迸发智慧的火花，提高课堂效率[1].针对学生参与课堂学习，重视学习过程的教学方式，笔者进行了一些思考和实践，下面以“直线与圆的位置关系”一课教学为例，谈一谈自己的实践，与各位同行进行交流.

2 导入：提出问题——明确研究的方向

师：我们知道生活中处处都是数学，但是学习数学的最终目的都是服务生活，让我们看一看下面几个问题.

问题1：有一艘轮船的航线是往返于A和B两个码头，为了能缩短往返时间，现在需要设计一个最短的航线，请说一说你的理由.

生1：我觉得最短的航线是沿着线段AB两端点之间的直线航行，理由是两点之间线段最短.

师：讲得非常好，但是在A码头附近有一个圆形的海岛，阻碍了轮船的直线航行.

生2：那就只能绕着这个海岛航行.

生3：但是如果这个圆形的海岛不影响航行的话，就可以继续直线航行.

生4：我觉得可以分成两种情况，第一种，如果这条航线不经过这个海岛，轮船可以直线航行；第二种，如果要穿过这个海岛，就要改变航线.

师：大家讲得都有道理，那我们尝试把这条航线和海岛抽象成直线和圆，就可以探讨直线与圆的位置关系.（引入课题）

3 归纳直线与圆的位置关系

师：大家想一想，能不能描述一下点和圆的位置关系？一共有几种呢？

生5：点和圆的位置关系可以分为点在圆内、点在圆外和点在圆上三种.

师：非常好，那根据你的思考，直线与圆的位置关系有几种呢？能不能试试把图形画出来，并说明你的理由？

生6：我画出了直线和圆的三种关系.（如图1）

图1

师：你画的理由是什么呢？有什么标准吗？

生7：我是根据直线和圆的公共点的个数来分的，分为1个点、2个点和没有公共点.

师：好的，那为什么直线和圆不能有3个、4个……公共点呢？

生8：不在同一条直线上的3个点可以确定一个圆，所以直线与圆不能有3个公共点.

师：太精彩了，生8采用了反证法和我们说明，当一些问题正面无法证明的时候，我们也可以采取反证法进行证明.那么你能给直线与圆的位置关系下个定义吗？

生9：按照直线与圆的位置不同，利用直线与圆的公共点的个数，可以分为相交、相离、相切三种情况.

师：总结得很全面，那么生活中有没有直线与圆位置关系的例子呢？

生10：汽车的轮胎与地面就像直线与圆相交.

生11：从太阳日出的过程中就能抽离出直线与圆的相交、相切到相离.

师：你们讲得都很好，当锯子锯物体时，你们知道有哪些直线与圆的位置关系呢？

生12：锯子的刀刃刚接触到物体时是相切；当锯子开始切割时就成为了相交，而当锯完物体时就是相离.

4 直线与圆的位置关系的判定

师：刚才我们认识了圆与直线的位置关系，那么大家回忆一下，点与圆的位置关系是如何判定的？

生13：如果圆的半径是r，同一平面内点到圆心的距离表示为d，当点到圆心的距离大于半径，即d>r时，点在圆的外面；当点到圆心的距离和半径相等，即d=r时，点在圆上；当点到圆心的距离比半径小，即d＜r时，点在圆的里面.

师：很好，我们通过符号语言描述了点与圆的关系，那么我们进行联想和类比，能不能描述出直线与圆的位置关系呢？

学生进行讨论交流，画图探讨.

生14：如图2，如果圆的半径是r，圆心到直线的距离表示为d，若圆心到直线的距离小于半径，即d＜r，则直线和圆的位置为相交；若圆心到直线的距离等于半径，即d=r，则直线和圆的位置为相切；若圆心到直线的距离大于半径，即d>r，则直线和圆相离.

图2

师：有道理，那么你是怎么想到这样比较的方法的呢？你可以选择直线与圆的一种位置关系为例来说一说.

生15：我选直线和圆相离时来说一下我的做法，当d>r时，作l的垂线OT，点T显然在圆的外面，那么在这条直线上任意选一点A，连接OA，根据垂直线段最短的原理，可以得到OA比圆心到直线的距离长，也比圆的半径长，因此直线上的任意一点都在圆的外面，所以直线与圆的位置是相离的.

师：很好，当圆心到直线的距离比圆的半径长时，直线上的点一定在圆的外面，直线与圆没有公共点.反过来，如果直线与圆没有公共点，那么直线与圆相离还成立吗？

生16：成立，因为当直线与圆相离时，直线上的任意一点都在圆外.

师：很好，那直线与圆相切和相交的情况你们也能分析吗？

生17：我们可以采用同样的作l的垂线的方法，利用垂线段进行比较，就可以知道当d=r时，直线与圆相切，当d＜r，直线与圆相交，反过来也是成立的.

师：这样的证明方法是正确的.刚才我们利用了垂线段和垂足来表述直线与圆的关系，那么在这三种关系中，垂足和圆有什么关系呢？

生19：在直线和圆相交、相切及相离时，垂足分别在圆内、圆上和圆外.

师：很好，其实这里体现了数学的转化思想，我们把直线与圆的关系与点和圆的位置关系进行了相互转化.

5 解决直线与圆的位置关系的典型性问题

师：下面我们尝试利用刚才所学的知识完成练习.

（1）若圆O的半径为r，圆心到直线l的距离为d，根据下列条件，判断直线与圆的位置关系：

（2）在△ABC中，∠C为直角，AC的长度为8，BC的长度为6，若以C为圆心画一个r为半径的圆，当r分别满足什么条件时，直线AB与圆C的关系分别是相交、相切、相离？

师：下面请大家解答这样一道题.

已知如图3，∠ABC的平分线上有一点P，BC与圆P相切，求证：圆P与AB相切.

图3

学生思考、讨论.几分钟以后，有学生举手.

生20：设圆P的半径为r，点P到BC的距离为d1，点P到AB的距离为d2，因为BP是角平分线，所以d1与d2相等.由已知条件可得BC与圆P相切，所以d1与r相等，等量转换，可得d2也等于r，由此证明圆P与AB相切.

师：很好，由此我们可以总结判断直线和圆的位置关系时，既可以根据定义、直线与圆的公共点的个数判断，也可以根据圆的半径和圆心到直线的距离关系判断.让我们回到本课最开始的问题，往返于A，B两个码头的轮船能否直线航线，我们是否能抽离出数学的模型呢？

生21：我们可以利用刚才所学的知识进行求解.

师：很好，那么同学们尝试画图进行解决.

学生开始动笔.

师：很好，这道题的解决正体现了数学建模的思想.

6 总结反思

教师列出思考内容，学生对这些问题进行回顾与思考：

（1）本课我们学习了哪些内容？又是通过什么方法进行研究的呢？

（2）判断直线与圆的位置关系有哪些方法？

（3）如何应用直线与圆的位置关系解决实际问题？

（4）经过本课的学习，你掌握了哪些数学方法和数学活动的经验？

在学生进行总结的基础上，教师进一步予以归纳.

总之，在教学中，要从学生已有的生活经验出发，引导学生参与学习，自主构建知识体系，促进学生全面发展.