西华师范大学 阮雯婧 孙 海

1 引言

20世纪80年代，美国教育家Shulman意识到了当地教师资格认证的缺失，在这一问题的催促下，“学科教学知识”(简称PCK)这一概念问世.Shulman对PCK的最初定义：教师如何将自己头脑中的学科专业知识以各种巧妙方式呈现给学生，又便于学生理解的教育形态的知识，也包括清楚学生在学习某节内容时所产生的疑难和困惑.在Shulman提出的PCK理论基础之上，我国著名教育学家黄毅英教授于2009年提出了MPCK理论.对于更具体的数学教师来说，黄毅英教授提出一个数学教师所应具备的教学知识包括三部分：数学学科知识(简称 MK)、一般教学法知识(简称 PK)以及学生数学学习的知识(简称 CK)，而这三者的交集便是MPCK[1].在教师的教学经验层层累积下，教师的MK，PK，CK慢慢增加，相应地，MPCK就越来越丰富.下面就根据黄毅英教授提出的MPCK理论，从MK，PK，CK三个维度分析“二次函数与一元二次方程”的有关教学.

2 从MK维度分析

MK(即数学学科知识)指数学学科自身的知识，教师不仅要知晓属于数学学科的知识，还要将之与其他学科联系起来.总的来说，就是教师要“教什么”的知识.

在义务教育数学课程标准中，二次函数这一章的学习目标除却二次函数本身的性质知识，还要求学生将其与一元二次方程建立联系，利用二次函数的图象求对应一元二次方程的近似解.随着新一轮基础教育课程改革的实施，在2017版高中数学新课程标准中，将原人教A版必修一第3章第1节的“函数与方程”部分的内容前置，放在新人教A版必修一第2章第3节“一元二次函数、方程和不等式”的位置，将其作为高中数学的预备知识进行学习[2].二次函数与一元二次方程的关系在初中高中都有设置，体现了其重要地位，这也是由学生认知发展决定的.这就要求教师在初中阶段讲授此内容时，不能只传授给学生这两块内容的表面联系，更重要的是要教会学生从整个数学知识体系以联系和转化的思想看待各知识点.

从教材的编写来看，编写者有意在本节内容多处渗透数形结合思想，结合实例引导学生从数和形两个方面分析、解决问题，自然地理解它，并逐步加以灵活运用.教材(这里说的是新人教版)十分注意数与形的互补作用，突出两者间的转化对分析问题、解决问题的特殊作用.因此，本节内容对教师的MK有以下几点要求：

(1)建立正确的数学观念，认清本节内容在整个数学体系中所处的地位及其重要性，理解其对发展学生思想方法、思维能力的影响；

(2)对二次函数与一元二次方程之间联系的理解不能浮于表面，要从一元二次方程和二次函数这两章的高度进行教学；

(3)能够提炼出其中蕴含的数学思想方法(包括数形结合、函数思想、类比、联系与转化思想).

3 从PK维度分析

PK(即一般教学法知识),具体来说就是教师根据MK确定教学目标、教学重点之后，依据CK确定教学难点，在此基础上创设教学情境，做好相关知识点对学生来说自然而有效的呈现，做好学生知识体系的建构.

3.1 二次函数与一元二次方程的教学问题串设计

问题1：y=kx+b(k≠0)与kx+b=0(k≠0)中字母x的意义有什么区别？

解：y=kx+b(k≠0)中x表示的是某个变量，其描述的是变量x对变量y的作用规律.而kx+b=0(k≠0)中的x是满足此方程对应数量关系的一个确定的值，也就是方程的解.

问题2：y=kx+b(k≠0)与kx+b=0(k≠0)之间的关系是什么？

解：二者能够互相转化，一元一次方程就是一次函数图象与x轴的交点满足的方程.而使得一次函数的函数值为0的自变量x的值即此函数对应的一元一次方程的解.

设计意图：这两个问题是人教版八年级下册的内容，放在正式讲解二次函数与一元二次方程的联系之前，加深函数和方程中各自的x的认识与辨析，为学生下一步探究正式内容提供了参考.问题1与问题2起点低、坡度缓，聚焦学生的生长点，突出新课注重基础、关注联系的特点.

问题3：分别判断方程x2-2x-3=0,x2-2x+1=0,x2-2x+2=0根的情况，并求解出来.

问题4：x分别取何值时，函数y=x2-2x-3，y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的值为0？

问题5：画出函数y=x2-2x-3，y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象，分别指出抛物线与x轴的位置关系和交点情况.你能发现这些函数和其对应的方程之间的联系吗？

问题6：更一般地，函数y=ax2+bx+c(a≠0)与方程ax2+bx+c=0(a≠0)之间有何联系呢？

本节课从一次函数与一元一次方程联系的回顾问题出发，让学生在类比中探究新知.问题3与问题4，设计出发点是启发学生从数的角度认识求方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解就是求对应函数y=ax2+bx+c(a≠0)取特殊值0值时x的值；从问题3、问题5与问题6来看，设计出发点是方便学生从形的角度了解一元二次方程的根的几何意义，同时总结归纳出第二点：二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴的三种位置关系(两个交点、一个交点、没有交点)对应着一元二次方程ax2+bx+c=0根的三种情况(两个不等实数根、两个相等实数根、没有实数根).

为了更好地帮助学生理清知识间的联系，以上所有问题都在幻灯片上展示.对于和学生一起总结出来的两点结论，教师也应该提前准备，将其转换成更直观的表格形式，以图表的形式帮助学生进行知识表征，加深印象.

出于“体验并理解函数与方程相互转化的数学思想和数形结合的数学思想”的能力目标，本节课的设计关注教学内容“数”与“形”融合这一特点，也注重学生的自主探究与教师引导相结合.从抛物线与x轴交点情况出发设计问题，通过在幻灯片上移动抛物线，自然而然地展示出抛物线与x轴的交点从两个到一个，再到没有交点的情形，让学生动态地感受抛物线与x轴的交点变化，引导学生对函数图象进行再认识,自主探究二次函数图象与x轴的交点的几何特征，领悟一元二次方程的根会出现三种情况的原因，建立二次函数与一元二次方程的横向联系，学会用函数图象的视角去分析问题和解决问题，也让学生认识到对问题的分析不仅可以从“数”到“形”，还可以从“形”到“数”，真正体会数形结合的思想.

4 从CK维度分析

CK(即有关数学学习的知识)包含3个维度：有关学生发展的知识、学生学习的影响因素以及有关学生学习环境的知识[1].其要求教师要从知识、思维方法和能力素养方面分析学生的现有水平，同时分析学生在学习新内容时可能遇到的阻碍和困难.

4.1 知识、思想方法层面

在八年级下册，学生已经经历过结合一次函数图象探究一次函数与一元一次方程及一次不等式之间的联系，对数形结合以及由特殊到一般的思想方法已经有自己的体会.本节内容鼓励学生将之前分析一次函数与一元一次方程联系的方法迁移过来，类比学习，进一步体会数形结合、由特殊到一般的思想方法.

4.2 学生可能共同存在的阻碍和困难点

学生可能共存的困难是：有些学生往往对单纯求解一元二次方程或二次函数的基础题型是没有问题的，但对一些有关一元二次方程的题目，虽然表面看起来跟二次函数没关系，本质却是用二次函数解决的题型难以下手(对于看起来是二次函数实际上应用一元二次方程的题型同样如此).其原因在于学生对一元二次方程与二次函数之间的联系的认识不够深入，以致于在解决具体的数学问题时难以将二者灵活转换、加以运用，教师可以从例1帮助学生突破.

例1若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根，且其中一个根为另一个的2倍，则称这样的方程为“2倍根方程”.

(1)判断方程x2-6x+8=0是否是“2倍根方程”，并说明理由；

(2)若关于x的方程ax2-3ax+c=0是“2倍根方程”，抛物线y=ax2-3ax+c与直线y=ax-2有且只有一个交点，求该点坐标.

解：(1)略；

(2)因为方程ax2-3ax+c=0是“2倍根方程”，设方程的两根为x1,2x1，由韦达定理可得c=2a，所以有y=ax2-3ax+2a.联立y=ax2-3ax+2a与y=ax-2,得ax2-4ax+2a+2=0.因为抛物线y=ax2-3ax+c与直线y=ax-2有且只有一个交点，所以Δ=(-4a)2-4a(2a+2)=0，解得a=1.联立y=x2-3x+2与y=x-2，解得交点坐标为(2，0).

这道题第(2)问的难点在于：如何将“抛物线y=ax2-3ax+c与直线y=ax-2有且只有一个交点”这一函数条件转化为方程条件，也可以说是如何将文字语言转化为具体的数字语言.

在具体实施教学时，还有些学生对于3.1中的问题3～5有疑问：“之前已经解出了问题3和问题4的答案，并且得出了一元二次方程的根其实就是对应的二次函数取特殊值0值时自变量x的取值，为什么问题5还要研究函数图象，得出‘抛物线与x轴的三种位置关系对应着一元二次方程的根的判别式的三种情况’这个结论呢？此结论有什么用？”对于学生提出的疑问，教师可以从具体的题目进行阐释.

例2已知m>0，关于x的一元二次方程(x+1)·(x-2)-m=0的解为x1,x2(x1

A.x1<-1<2

C.-1

解：如图1，函数y=(x+1)·(x-2)的图象与x轴的交点坐标为(-1，0)，(2，0).方程(x+1)(x-2)-m=0的解为x1,x2，从图象来看就是直线y=m(m>0)与二次函数y=(x+1)·(x-2)交点的横坐标，由图象可知x1<-1，x2>2，所以，x1<-1<2

图1

如果不从函数的角度出发，是很难下手的，而从二次函数图象分析，可以一眼看出答案.将这道题目呈现给学生，可以让学生体会到从函数角度考虑问题的极大优越性，并再次感受函数在代数领域的统领地位.

5 结束语

总之，帮助学生建构起良好的知识体系是教师永恒的任务.以MPCK理论角度出发，就帮助学生建构好一元二次方程与二次函数的联系来说，教师应当清楚认识、熟练掌握两者之间的联系、地位，通过教师掌握的CK知识预想学生的学习过程及可能遇到的障碍困难，结合自身PK知识、设计出合适的教学情境，做好相关知识自然而有效地呈现，同时在授课过程中，也应实时观察学生，获取学生遇到的知识表征障碍，及时解疑.教师若能在MK，PK，CK三个方面同时发力，才能达到满意的教学效果.