浙江省杭州市富阳区东洲中学 陆炜平 陈建国 寿云霞

1 引言

叶圣陶是著名教育家，他曾提到：教材仅仅只是授课的依据之一，要教得好，使学生受益，是要靠教师的整体把握和灵活教学.可见，教师对于教什么、怎么教要有一个整体的认识.章建跃博士也提出，基于全面实现数学育人目标的教学，必须强调数学内容的整体性、方法的普适性、思想的一致性、逻辑的连贯性、思维的系统性.数学课程标准也在“教材编写”的建议中指出，要注重知识的“生长点”与“延伸点”来开展数学知识的教学，应注重知识的结构体系和整体脉络来开展每堂课的教学，要处理好局部知识与整体知识的关系，让学生感受数学的整体性.

由此可见，单元整体教学，是要求教师对知识体系与逻辑有一个整体的把握，也就是站在数学全局的“高地”上，打破学生“只见树木，不见树林”的狭隘思维，培育学生大单元整体意识，有利于学生核心素养的养成.

2 教学策略与思考

笔者经过多年的教学实践，以浙教版“1.1锐角三角函数”教学为例，提出“明确单元目标，把握课时教学体系关联；聚焦知识体系，分解设计课时教学目标；创设问题情境，动态生成数学知识本质；倡导辨析探讨，建构学习框架明晰思路”四个方面的教学策略并进行实践思考，对单元整体观点下的数学教学颇有借鉴意义.

2.1 明确单元目标，把握课时教学体系关联

章建跃博士认为，加强对数学整体性的认识，要明确大单元和小单元目标，从各知识的联系性出发把握课时教学体系，聚焦关联开展教学设计、进行课堂教学[1].汪宗兴还在此基础上提出数学整体观分为“文化整体观”和“学术整体观”两类[2].可见，数学整体教学是以知识内在逻辑联系为起点，将数学方法、思想等置于课堂教学中心，为学生提供研究数学内容的思路，培养学生主动探索、自主构建知识的能力.因此，明确单元目标，把握课时教学体系关联显得尤为重要.

在初中阶段，课程内容设置是均匀而分散的.初中函数是代数式、方程与不等式三大概念的集成，主要是用于研究变量之间的依赖关系，大部分学者认为变量从属于辩证性概念，这也就要求学生学习并理解函数需达到辩证思维水平，因此在七年级学生概念形成水平较低时，教材仅安排了有理数计算、代数式、一元一次方程、二元一次方程组、分式等内容为后续的函数概念出现做好充足的准备.因此，教材中单元内的内容之间或者单元与单元之间的内容编排与呈现都具有一定的逻辑性、系统性、关联性.

实践1 “锐角三角函数”的单元体系关联.

笔者从初高中教材及相应课程标准进行研究，绘制了有关三角函数的学习路径和体系关联(如图1)，发现初中阶段只涉及锐角三角函数，内容简单具体、知识点较少，由于弧度制的产生，高中三角函数内容增加很多.

图1 初高中三角函数知识体系关联

立足初中阶段对三角函数内容的要求，结合初高中教材中的差异，笔者制订了“1.1锐角三角函数”单元目标：经历锐角三角函数概念形成过程，探索并认识sinA，cosA，tanA内涵，掌握30°，45°，60°的三角函数值，能够推导并应用三角函数公式，会用计算器求某锐角的三角函数值；反之亦可，能用锐角三角函数解决简单的实际问题，体会三角形边角关系可以转化，理解三角函数的函数本质.

思考：锐角三角函数的单元目标设计除参照初高中课程标准外，还根据初中阶段的整块函数内容进行了协调、整合.笔者认为明确单元教学目标首先需遵循数学的科学逻辑性、数学知识的系统性、学生对知识整合的接受度；其次要把握住知识发展的逻辑主线，找到知识网络中关联问题的核心和纽带，将单元主体知识逐渐展现在过程中.

2.2 聚焦知识体系，分解设计课时教学目标

数学大单元知识体系的前提下，数学中所有的知识点都是一个个小整体，各知识点之间相互逻辑交错形成知识网络，而这网络图中的每个节点也就是看似分散的小知识点，每个知识点的产生都有其所依赖的知识体系、背景和结构.因此，了解知识的前后联系，明白相应知识点在整个知识网络中的地位，成为教师备好一堂课的首要条件，有助于区分单元整体观点下的教学侧重点.聚焦知识体系，再分解设计课时教学目标，能帮助学生形成牢固、清晰的数学认知结构.

结合学生数学学习心理，一个单元的课时不宜过长、内容不宜过多，在保证单元内容完整性的前提下，通常需要对子单元做进一步的划分，如图2中的单元整体观点下的路径图.同样，子单元的进一步划分也不能破坏单元内容的整体性，并且要有明确的一般观念为统领.由此，教师要在单元目标的统领下，聚焦知识体系，分解设计课时教学目标，提炼出每一课时相应的数学核心知识，并围绕课时设计课堂活动.

图2 单元设计路径示意图

实践2 分解“锐角三角函数”的课时目标.

相比于之前所学习的一次函数、二次函数等基础函数，锐角三角函数比较特殊，它的变量是角度而不是具体的某一个值，函数表达式更不是简单的有关y和x的关系式，而是新引进了sinA，cosA，tanA标记符号，使得学生在学习三角函数时，并不能很好地将其与前面几块函数内容相联系.另外，在平常的教学过程中，很多老师可能会忽视其函数的本质，让学生熟记正弦、余弦、正切名称及对应概念，知道怎么求就好了，甚至未将其纳入函数内容.

根据以上两点分析结合现实教学情况，分解设计课时教学目标.如本起始课的课时目标如下：让学生经历并发现在直角三角形中，当锐角固定时，其对边与邻边、对边与斜边、邻边与斜边的比值都是固定的，形成锐角三角函数的概念，初步理解三角函数的本质，sinx实质是y=sinx，并能据此进行简单的计算应用.

思考：为了使学生对相同知识在其不同的认知水平分别进行不同程度的挖掘，教材各课程内容在不同时间段需有螺旋上升的呈现，教师要对课程目标有清晰的认识，对内在关联性强、共同特征多的知识内容进行整合、重组.在单元教学有了方向后，再逐步分解设计课时教学，充分发挥单元教学与课时教学的功能互补作用.

2.3 创设问题情境，动态生成数学知识本质

研究数学知识总是由简单到复杂，由一般到特殊.三角函数概念是以角度为自变量，比值为因变量的基本函数，是对函数概念的一种升华.这类函数与学生之前所学函数却有着很大区别，三角函数没有固定解析式，概念更加抽象，学生理解难度也相应提升.

当学生经历了直观想象的过程后，学生对知识不再是机械记忆，而是把每一个符号意义化，从而深度理解知识的本质属性，发展学生的创新意识.因此，三角函数的教学过程中，应当紧密结合图形，不断在三角形的结构中强调概念，而不是脱离实际，凭空背诵定义.在问题情境的创设中，需选择较为典型的图形，通过变式，循序渐进地“讲解”知识点，动态生成数学知识本质.让学生的深度学习发生在不知不觉之中，有利于培育数学核心素养.

实践3 新授课导入.

问题1：如图3，求出下面三角形中未知的角和边.

图3

设计意图：通过学生熟悉的特殊直角三角形引入，复习了直角三角形中特殊锐角与边长的关系，为接下来边角关系的学习埋下了伏笔，使得直角三角形中的新旧知识连接更为自然，相较于实际问题导入，学生学习更轻松.

问题2：从上题可得，特殊直角三角形中，已知一特殊角与边，求其他边我们通常利用比值，请问直角三角形的两边之比有哪些情况呢，假设右图4的Rt△ABC中∠A固定，以此为例.

图4

师：通过观察，我们可以发现前三种与后三种有什么关系？

生：后三种边的比分别是前三种的倒数.

问题3：请你利用上述概念，分别求出上图3中∠A的正弦、余弦、正切值，并观察其特征.

师：基于以上发现，如果已知角的大小固定为45°或者60°，相似变换三角形，对应的比值会改变吗？

追问1：那角的大小改成30°呢，结论会改变吗？再改为20°，10°呢？你有怎样的猜想？

追问2：确定一个∠A，sinA确定吗？∠A与sinA是怎样的关系？

设计意图：从学生计算过边角关系的直角三角形，体会当锐角确定时其对应两边之比确定这一结论，从特殊到一般，容易探索到问题本质.不断创设地追问，能动态地引导学生深入理解三角函数的知识本质.

思考：重新建构教材时，在单元目标、课时目标的引领下，往往需将知识的导出环节分成几个步骤，使课堂的探究步步递进，层层深入.站在学生的角度，将他们置于动态的知识链中，使知识的推动延伸跟随学生的思维而动，同时学生的思维也随着知识的展开不断深化.

2.4 倡导辨析探讨，建构学习框架明晰思路

单元整体观点下数学教学就应该让学生能够构建学习框架、明晰探索思路，这是有效发展学生思维的平台和载体，也是寻找解决方法解决问题的关键环节.因此，单元整体教学在学后思考与探讨上应该给予学生足够的空间与时间，倡导学生充分参与思考与辨析.

实践4 学后探讨.

探讨1：今天学习的锐角三角函数，反映哪个变量与变量之间的关系？自变量与因变量分别是什么？

探讨2：以前我们学习的函数有哪些？它们的一般表达式是什么？研究与学习的思路是什么？如：y=2x+1和sinx的研究框架你能用思维导图的形式画出来吗？

探讨3：为什么我们今天学习的是锐角三角函数，你觉得还有什么三角函数？

探讨4：既然锐角三角函数强调是锐角，按照函数的一般研究思路“背景—概念—图象与性质—应用”，我们会应用在哪些方面？

探讨5：由于初中阶段学习与研究三种三角函数，即sinx，cosx，tanx，那么今后(比如在高中)你觉得还会研究哪些内容？

…………

设计意图：通过对比性、过程性、开放性的学后探讨，代替知识罗列般的小结，促使学生进行有深度、有广度、有价值的思考，初步建构起学习框架.从而明晰研究思路，引导形成结构性的知识和方法链，领悟单元整体观点下的学习策略，培养学生主动探索的能力和整体建构知识点的意识[3].

思考：数学整体性单元教学的核心在于把同类研究对象、相似的研究内容整合在一起，形成具有思想一致性的学习单元，而单元之间又形成环环相扣、逻辑连贯的“单元链”，旨在让学生收获“研究对象在变，思想方法不变，研究套路不变”的切实体验.锐角三角函数是架构“数”与“形”的重要工具，三角函数的“形”不仅仅指代函数图象，更重要的是联系了三角形特别是直角三角形中的边角关系，是真正意义上数形结合的集中体现.

从研究方法看，三角函数没有一次函数那样具有一般性和代表性，但其研究路径与学习经验同样也可以仿照之前的函数学习展开推进.锐角三角函数作为浙教版最后一块函数内容倘若未进行完美收尾，变成一块独立的知识，将不利于学生形成整体的知识结构，因此在研究方法上需要不断向一次函数靠拢，有助于学生学习方法和经验迁移.

3 结束语

单元整体教学的提出破除了“一课一备”“一课一学”教学模式的局面，以课标与教材为基础，从数学逻辑结构出发，聚焦合适知识结构，明确目标重点，是备好课的先决条件.教师用系统、联系的观点看待课时教学，关注数学知识的整合设计，关注学生探究的完整过程，这是发展学生数学核心素养的有效途径.

上述课例的开展仅是关于初中锐角三角函数的探究，仍有许多值得深入思考的问题，比如单元目标确立依据需要回溯或延伸到何种程度，在前后知识的关联教学过程中时间又当如何把控，期待能有更多的同行积极实践，共同探讨，期待我们的孩子能学会思考、爱上数学.