王威昊,胡劲松

(青岛大学 商学院,山东 青岛 266071)

近两年来,受疫情的持续影响,消费者对网络购物的依赖性不断加深,这使得有越来越多的企业和行业开始采用双渠道的模式进行销售[1]。与此同时,学术界也针对这一模式以及涌现出的新问题展开深入研究。然而,在这些研究中较少有学者关注双渠道供应链中的品牌危机问题。事实上,企业在经营过程中不可避免地会遭遇品牌危机。一方面,危机的发生可能是由于产品本身的质量问题。2016年,三星Note 7手机因为电池存在致命缺陷,导致多起爆炸事件的发生。这引发了消费者对该品牌的信任危机,使得当年三星手机在全球高端手机销量中的占比由35%下降至17%。同时,危机发生的根源也可能来自于企业外部。如2020年上半年,直播+电商的销售模式迎来爆发式的增长,这一模式利用平台或明星的公信力为企业带货,但如果平台或明星自身遭遇危及信誉的负面事件,如拼多多的“假货门”事件以及辛巴的“燕窝门”事件,则其背书的品牌也会因此受到波及。上述事件都是随机发生的,而且都会对品牌的商誉、销量、甚至盈利能力造成影响。因此,有远见的企业在进行决策时应意识到危机发生的可能性及其后果,并对如下问题做出思考:面对危机是否应对其质量、营销决策进行调整? 应如何调整? 当危机发生的概率增大时,是应增加还是减少其投入? 为了回答这些问题,本文首先构建了具有随机危机冲击的双渠道供应链微分博弈模型,在对模型进行求解分析的基础上为具有危机意识的经营者提供决策依据。

与本文相关的研究涉及3个领域:①关于双渠道供应链合作广告的研究；②关于供应链随机微分博弈的研究；③关于品牌危机的研究。在双渠道供应链合作广告方面的研究有:张智勇等[2]分析了合作广告策略对双渠道供应链协调策略的影响,认为当制造商和零售商互相承担对方的广告成本时,供应链能够实现协调；陈国鹏等[3]在渠道竞争的背景下对双渠道供应链中制造商与零售商的合作广告问题进行了研究,并利用双向参与合作广告的方式实现了供应链的协调；林晶等[4]在考虑消费者支付意愿的情况下对双渠道供应链的合作促销问题进行了研究,并设计了两阶段成本分担契约来实现供应链的协调。上述文献主要探讨线上和线下销售同质品的情形,同时,也有学者对两个渠道销售异质品时的合作广告问题进行了研究。张旭梅等[5]基于制造商实施的品牌差异化策略,对双渠道供应链的合作广告问题进行了研究,并进一步分析了合作广告策略对渠道协调的作用。肖剑等[6]研究了线上与线下销售产品具有差异化的双渠道供应链合作广告问题,并设计了成本分担契约来实现供应链的协调。通过对上述研究成果进行梳理可以发现,关于双渠道供应链合作广告的研究中均假设商誉在计划期内是连续的,而随机出现的品牌危机有可能会使商誉受到折损,那么,商誉在计划期内连续的假设未必能够成立。因此,本文在以往文献的基础上放宽了商誉连续的假设并进一步对品牌危机展开研究。

另外,也有学者对供应链随机微分博弈问题进行了研究。文献[7-9]中研究了基于随机微分博弈的合作广告策略。马德青等[10]研究了考虑随机环境干扰和成员公平偏好的闭环供应链最优回收策略。朱怀念等[11]研究了随机因素影响下的协同创新知识共享策略。上述研究均将随机维纳过程引入供应链的研究,以探讨不确定性对成员决策和绩效的影响。然而,维纳过程刻画的是一些小的、持续的冲击,且这些冲击对状态变量的平均影响为零[12]。相较之下,品牌危机并不会每时每刻都会发生,其发生的时间是不确定的,并且它对商誉影响的均值不为零。维纳过程无法很好地表现危机事件的特征,因此,本文引入随机到达过程来刻画这种并不经常发生的危机事件。虽然文献[13]中利用随机到达过程对危机影响下的动态广告策略进行了研究,但该研究仅局限于单渠道供应链而没有在双渠道供应链的背景下开展研究,也没有考虑危机对制造商质量决策的影响。

另一个与本文相关的领域是关于品牌危机的研究。一方面,有学者认为品牌危机会降低消费者对该品牌的信任度。王晓玉等[14]对311名消费者进行了研究,发现产品危机会使消费者产生信任危机。崔保军[15]对群发性产品伤害危机进行了研究,认为一旦发生这类危机事件,将严重损害消费者对该行业的信任,短期内难以恢复并且会影响企业乃至行业的长远发展。崔保军[16]认为产品伤害危机不仅会引起公众心理恐慌,更会使消费者对危机企业和缺陷产品产生负面的态度和信念。另一方面,有学者认为品牌危机还会降低广告营销活动对消费者的影响力。Van Heerde等[17]研究发现,危机的发生不仅会损害企业声誉,而且还会降低其营销努力的效果。类似地,Mac Kenzie等[18]认为,当消费者对某一品牌失去信任时,即便接收到了广告信息也会存疑。同样,Ahluwalia等[19]认为,一旦类似于品牌危机这种负面信息被消费者所知,就会对于试图说服自己的广告更加抵触。另外,对该品牌不满的消费者会与其他消费者分享一些不愉快的购物经历,从而增加了该品牌争取潜在消费者的难度[20]。通过对上述文献进行梳理可以发现,关于品牌危机的研究较少从供应链管理的角度探讨危机对双渠道供应链系统及其成员决策造成的影响。因此,本文将在双渠道供应链的范畴内对随机的品牌危机展开研究,并在构建模型时借鉴已有的研究成果,即假设品牌危机会使企业商誉受到折损并削弱广告营销活动对消费者的影响力。

通过对之前研究成果的借鉴和发展,本文构建了随机危机冲击下的双渠道供应链微分博弈模型,研究品牌危机对供应链成员质量以及营销决策的影响,以期为具有危机意识的供应链成员提供决策依据。

1 模型与假设

1.1 基本模型的构建

考虑一个由制造商(M)、线上零售商(E)和线下零售商(R)构成的双渠道供应链销售系统。其中,制造商负责产品的生产以及质量控制,并将生产的产品同时经由线上和线下零售商进行销售。线上零售商利用其平台优势对产品进行推广和宣传,线下零售商通过促销进一步扩大需求。因此,在双渠道供应链系统中,制造商决定其质量改进水平IM(t),线上零售商决定其广告努力水平AE(t),线下零售商决定其促销努力水平PR(t)。受制造商质量决策的影响,产品质量的动态变化如下所示:

式中:Q(t)表示产品的质量水平；Q0＞0表示初始质量水平。这里的质量指的是产品的设计质量,即一系列能够匹配消费者需求的性能和样式[21-22]。由式(1)可知,制造商投入水平对质量的影响是线性的,以往对于动态质量的研究大多采用这种形式[23-26]。φ＞0是制造商决策对质量提升的影响系数,ε＞0是质量水平的贬值系数。质量之所以会贬值是由于消费者对产品质量的期望程度会逐渐增加,如果质量水平保持不变,则其价值会变得越来越低[27],故需要制造商进行质量投入以维持产品的质量水平。受质量和广告努力水平的影响,商誉的动态变化规律如下所示:

式中:G0＞0表示初始商誉水平；γ＞0是广告对商誉的影响系数；δ＞0是消费者的遗忘系数。式(2)表明,质量水平经由广告宣传之后能够影响商誉。实际上,表示广告宣传的影响力,即质量水平越高,则广告宣传的效果越好,同时表明,如果产品质量Q(t)=0,则即使广告做得再多也不会增加商誉。从另一角度看,γAE(t)刻画了质量对商誉的影响力,质量水平需要借助广告的宣传才能广为人知。因此,式(2)采取的形式实际上反映了质量和广告之间客观存在的依存关系。受文献[2,28]启发,在质量和商誉水平的影响下,将线上和线下渠道的需求分别刻画为:

其中:μ表示基准需求；π为线下渠道市场份额；α和β分别是商誉和促销对需求的影响系数；θ和η分别是质量水平对需求的影响系数。另外,由于质量、广告和促销决策存在边际成本递增的规律,故将供应链成员的质量、广告和促销成本分别刻画为:其中,kM＞0,kE＞0,kR＞0分别是各成员的成本系数。同时,令ρM ＞0,ρE ＞0,ρR ＞0分别为各成员销售产品的边际利润。

1.2 危机的发生过程

进一步将品牌危机纳入研究中。由于危机发生的时刻是不确定的,故利用如下随机到达过程进行刻画:

式中:T为危机发生的时刻；χ＞0为危机发生率。式(3)的含义是:危机在t时刻之前没有发生而在[t,t+Δt)内发生的概率,进而可以得到关于危机发生时间T的概率密度函数f(t)=χe-χt、概率分布函数F(t)=1-e-χt以及期望值E(T)=1/χ。因此,品牌危机在t时刻之前发生的概率为:P(T≤t)=1-e-χt,意味着当危机发生率χ增大时,危机在t时刻之前出现的概率就会增大,出现的时间将更早(E(T)更小)。另外,式(3)所表达的另一层含义为危机发生的概率是客观的,供应链成员都无法控制其大小。这一假设与Thirumalai等[29]的研究一致。Thirumalai等认为品牌危机这类严重事件的祸根实际上在产品上市发行之前就已埋下,因此,供应链成员需要客观地评估危机发生的可能性并做出相应的调整。危机的存在将整个计划期分为危机前和危机后两个阶段,并且使商誉在这一时刻出现折损,因此,危机前后的商誉不再连续,并且有

式中,ϕ为商誉的折损率。折损率越大,表明危机对商誉的影响越大,危机之后的商誉水平相较于危机之前的水平越低。不仅如此,危机的发生还有可能削弱供应链成员营销活动对商誉的影响力[17],从而危机前后商誉的变化规律会有所区别。因此,将危机影响下商誉的变化规律刻画为

式中,γ1≥γ2,δ1≤δ2,表明危机发生后广告对商誉的影响力低于危机发生之前,而消费者的遗忘程度高于危机发生之前。

1.3 供应链成员的目标泛函

当品牌危机不会发生即危机发生率χ=0时,商誉在计划期内是连续的,此时供应链成员在计划期内的目标泛函可以表示为

式中:j=M,R,E；Jj为计划期内成员利润在初始时刻的贴现值；r＞0为贴现率。然而,当危机确有可能发生时,企业需要对危机前后两个阶段分别进行考察,因为根据1.2节的分析可知,危机的发生一方面会折损商誉,使商誉在计划期内出现间断；另一方面,危机的出现会降低供应链成员营销努力的影响效果,使得商誉在危机前后按照不同的规律进行演进。因此,根据文献[30]中的研究,供应链成员应分别计算危机前后两个阶段的利润以最大化整个计划期内的期望利润。于是,危机前后供应链成员的利润分别为:

式中:Jj1为危机前阶段([0,T])成员利润在初始时刻的贴现值；Jj2为危机后阶段([T,∞))成员利润在T时刻的贴现值,并乘以贴现因子e-rT将它贴现至初始时刻。于是,成员利润在初始时刻的贴现值关于随机变量T的期望为

利用1.2节中危机发生时刻T的概率密度函数,计算式(8)的期望值,可得

由此可以得到危机预期下供应链成员在整个计划期内的目标泛函。进一步将对模型进行求解和分析。

2 随机危机预期下的最优决策

首先解决分散决策模式下供应链成员的最优化问题,此时供应链成员各自决策以实现自身利润的最大化。由前文分析可知,品牌危机的发生不仅会使企业的品牌商誉受到折损,同时还会使广告对商誉的影响力低于危机发生之前。因此,危机前后所要解决的最优化问题并不相同。这就使得企业需要制定危机前和危机后两个阶段内每一个时刻的最优决策以最大化整个计划期内的期望利润。用上标IM 表示这一模式。

2.1 危机后的最优决策

根据动态规划原理可知,不管在某个时期的初始条件和策略是什么,对于以早期策略带来的状态作为初始条件的剩余问题,剩余期的策略一定是最优的。因此,依据文献[13,31-33]中提出的方法,首先解决危机后阶段的最优化问题。令(2,Q,G)表示在该模式下供应链成员在危机后阶段的最优值函数,则危机后阶段供应链成员的HJB方程分别为:

通过对供应链成员危机后阶段的最优化问题进行求解可得命题1。

命题1危机发生后供应链成员的最优决策为:

通过对上述结果分析可知,制造商的最优质量决策由3个部分组成,分别为:φρMθ/[kM(r+ε)],其中,第1和第2项是由于质量水平能够直接增加线上和线下渠道的需求,因而这两项的大小与质量的需求影响系数θ和η成正比。第3项是由于质量水平经由广告宣传之后能够促进商誉水平的提高,因而当广告对商誉的影响系数γ2以及商誉对渠道需求的影响系数α增加时,制造商也应相应提高其质量投入。可以注意到,γ2越大,表明广告对产品质量的宣传效果越好,能够更有效地将质量水平转变为消费者对该商品的认知和好感。而如果线上零售商不对产品质量进行宣传(AE=0)或宣传的效果为零(γ2=0),则同质量水平不会影响商誉,从而制造商质量决策中的第3项就不存在,进而会导致制造商降低其质量投入。

线上零售商的广告决策是状态反馈的。从制造商的角度看,质量水平需借助广告宣传得以影响商誉；而从线上零售商的角度看,质量水平的提高也会增加广告的宣传效果。因此,当产品的质量水平提高时,线上零售商应对其进行更多地推广和宣传；而质量水平下降时,则应减少对该产品的广告宣传和投入。线下零售商的促销决策不依赖产品的质量水平,而主要是与其对需求的影响系数和边际利润有关。另外,无论是制造商、线上还是线下零售商,其最优决策都是其各自成本系数和以及遗忘系数的减函数,制造商质量决策还是质量衰减系数的减函数。

2.2 危机前的最优决策

上一节解决了危机后阶段供应链成员的最优决策问题,在此基础上进一步解决危机前阶段的决策问题。此时,企业需要统筹考虑危机前后两个阶段的利润以实现计划期内期望利润的最大化。令(1,Q,G)表示该模式下供应链成员在危机前阶段的最优值函数,则供应链成员在危机前阶段的HJB方程分别为:

通过对供应链成员危机前阶段的最优化问题进行求解可得命题2。

命题2危机发生前供应链成员的最优决策为:

最优值函数为:

计划期内质量的动态变化为:

通过分析可知,制造商危机前的质量决策也由3个部分组成。其中:ρM(θ+η)/(r+χ+ε)来自质量水平对需求的直接影响；一方面源于危机前的质量决策能够通过提高商誉而间接影响需求,另一方面,危机前的质量决策还能使危机发生后具有较高的商誉水平,从而对危机后的需求产生影响；χh1/(r+χ+ε)源于危机前的质量决策能够在危机后继续影响商誉,从而对需求产生影响。类似地,可以分析零售商广告和促销决策的构成。因此,可以看出,企业制定最优决策的依据是其投入所能发挥的作用,而且当危机可能发生时,企业还需要考虑其决策在危机后阶段所产生的影响。

另外,各供应链成员危机前后的最优决策具有类似的结构,因此也具有一些相类似的性质。如危机前后制造商的质量决策都是衰减系数ε和成本系数kM的减函数,同时也是影响系数η和θ的增函数,线上零售商的广告决策依然是状态反馈的。但是,不同的是,供应链成员在危机前进行决策时不仅要考虑危机前的市场经营状况,还要考虑危机后的市场状况。如危机前制造商的质量决策不仅受到危机前广告影响系数的影响,同样也会受到危机后广告影响系数的影响。线上零售商的广告决策同时是危机前后遗忘系数δ1和δ2的减函数。另外,由危机前的最优决策可以看出,企业在期初进行决策时需要考虑潜在危机的影响,当危机发生率χ和商誉折损率ϕ发生变化时,企业应相应做出调整以应对危机的发生。进一步分析χ和ϕ对成员危机前最优决策的影响,可以得到如下推论:

推论1制造商危机前的质量决策是商誉折损率ϕ的减函数,但关于危机发生率χ的变化规律是不确定的。结合命题1和命题2可知,制造商危机前的质量决策为

分别对F1(χ,ϕ)和F2(χ,ϕ)关于χ和ϕ求偏导数,可得:

显然,当商誉折损率ϕ增加时,制造商应该减少其危机前的质量投入,而其关于危机发生率χ的变化规律是不确定的。这主要是由于制造商危机前的质量投入能够发挥不同的作用。一方面,质量投入能够提高危机前的商誉水平从而影响需求,进而影响危机后阶段的初始商誉。但是,危机的出现会使累积的商誉受到折损。而且危机发生率越大,危机出现的时间也会较早(P{T≤τ}=1-e-χτ),危机前的阶段就比较短,此时即使制造商通过增加投入使商誉达到较高的水平,也不能维持很久。同时,商誉折损率的增加也会使得危机后的阶段很难具有较高的初始商誉水平。这就导致危机前的投入不能充分发挥作用。基于这一点考虑,制造商应该减少危机前的投入,所以当发生率和折损率增大时,F1(χ,ϕ)这一项是降低的(F1(χ,ϕ)所代表的这一部分体现了危机前质量投入的第1个作用)。另一方面,虽然危机会折损商誉,但不会对质量水平造成伤害,因此,在危机前保持较高的质量水平有助于在危机后帮助商誉更快的恢复,所以当发生率增大时,F2(χ,ϕ)这一项是增加的(F2(χ,ϕ)所代表的这一部分体现了危机前质量投入的第2个作用)。因此,制造商在危机前制定决策时需要权衡其投入的两个方面的影响,而权衡的依据在于危机发生率χ的大小。如果危机发生率较大,则危机后的阶段就会比较长,此时质量投入在危机后对商誉恢复作用占主导,从而整体上随着发生率的增加而增加,反之则减少。考虑两种极端的情形即当χ→0和χ→∞时,则有:

除非危机的发生使得广告的影响系数大大减少(γ2≪γ1),危机后质量对商誉的影响相较危机前的影响也可以忽略,那么,制造商需要更关注危机前的阶段,从而当危机发生率增大时减少质量投入,即

推论2线上零售商危机前的广告决策是商誉折损率ϕ的减函数,但关于危机发生率χ的变化规律是不确定的。危机前的广告决策关于危机发生率的偏导数为

由于δ2＞δ1且0＜ϕ＜1,则一定有H1(χ,ϕ,Q)＜0,而H2(χ,ϕ,Q)的正负具有不确定性。这是因为根据前文分析可知,当危机发生率较小时,随着发生率的增大,制造商会减少质量投入,从而质量水平也会降低,于是有∂Q/∂χ＜0；反之,当危机发生率较大时,随着发生率的增大,制造商会增加质量上的投入从而提高质量水平,于是有∂Q/∂χ＞0。这种不确定性是由于线上零售商的广告决策是状态反馈的、且制造商的质量投入关于危机发生率的变化规律是不确定的。但显然,广告决策是商誉的折损率ϕ的减函数。

3 结果的比较分析

这一节将对前面的结果进行比较以进一步分析危机对供应链成员最优决策和利润的影响。首先将危机影响下供应链成员的最优决策和利润与没有危机时的水平进行对比。没有危机时的决策问题实际上只是前面分析结果的一个特例,即危机出现概率为0的情形。只需令命题2结果中的χ=0(P{T≤τ}=0,∀τ＞0)即可得到确定条件下供应链成员的最优决策和利润。用上标AVG 表示没有危机时的情形。比较结果如下命题所示:

命题3有无危机时,成员最优决策的比较结果为:有无危机时,成员最值函数的比较结果为:

由此可见,对于制造商和线上零售商而言,当危机有可能发生时(χ＞0),无论是危机前还是危机后的投入水平均低于没有危机时的情形,故潜在的危机总体上会使制造商和线上零售商减少投入,而线下零售商的促销投入不受危机的影响。这是因为促销的目的是为了直接增加需求而不是为了提高商誉,所以线下零售商的促销投入中不包含用于提升商誉的支出(这与质量和广告决策不同,如危机前的最优质量决策包含这一项,体现了其对商誉的贡献,并且当危机发生率增大时这一部分是减少的),其决策的依据始终都是边际利润以及促销对需求的影响系数,所以即使危机会折损商誉,也不会影响线下零售商的促销投入。与此同时,质量和广告投入的降低必然会使整体的质量水平和商誉水平受到影响,从而使得供应链成员的利润也较没有危机时的利润要少。命题3主要对有无危机时的结果进行了比较,接下来将比较分析危机前后成员的投入水平。

命题4制造商危机前后质量决策的比较结果为:当

可以看出,制造商危机前后质量决策的大小关系取决于危机前后广告影响系数的比值γ1/γ2与阈值ω的大小关系。当γ1/γ2＞ω时,制造商在危机发生后应该降低其质量投入；而当γ1/γ2＜ω时,制造商在危机后应该提高其质量投入。这说明,制造商在决定两个阶段的质量投入时,需要权衡考虑危机前后广告对商誉的影响力。当危机发生率χ和商誉折损率ϕ一定的情况下,γ1/γ2越大,表明危机对广告效力所产生的影响也就越大,此时制造商在危机前的投入则更有效率,故应在危机前进行更多的投入,反之则应在危机后阶段投入更多。类似地,可以比较分析危机前后线上零售商的广告决策。由于其广告决策是状态反馈的,故在整个计划期内广告决策都是随着质量的变化而动态变化的。为此,首先比较危机发生时刻T前后的广告决策,比较结果如命题5所示。

命题5线上零售商危机前后广告决策的比较结果为:当

由于危机并不会对质量产生冲击,故危机时刻T前后的质量水平是相等的,即Q(T-)=Q(T+)。因此,线上零售商在危机后一时刻决定是否增加广告投入只需考虑γ1/γ2与ω的关系。当γ1/γ2＞ω时,则线下零售商在危机发生后应立刻降低其广告投入。同时,根据上文对质量决策的分析可知,在这种情况下,制造商同样会降低其质量决策,导致危机后质量水平的增加速度低于危机前。因此,当γ1/γ2＞ω时,危机后阶段的广告水平均低于危机前的阶段。同理,当γ1/γ2＜ω时,危机后阶段的广告水平均高于危机发生前。

综合命题4、5可以看出,无论是制造商的质量决策还是线上零售商的广告决策,其危机前后决策的大小关系与γ1/γ2和阈值ω的大小关系有关。这一结果体现了供应链成员在决策上的阶段倾向性,实质上与前文分析的结论一致。推论1分析了危机发生率χ对制造商质量决策的影响。结果表明,当危机发生率χ较小时,制造商应该更多地考虑危机前的阶段；而当危机发生率χ较大时,制造商应更多地考虑危机后的阶段。在这里,通过求解ω关于χ的偏导数可得

因此,当危机发生率χ减少时,γ1/γ2＞ω的概率就会增大,相应地,制造商更有可能会减少危机后的投入,此时危机前的阶段相对而言更重要。特别地,当χ→0时,ω→(r+δ1)/(r+δ2)＜1,此时γ1/γ2一定大于ω,意味着制造商不需要考虑危机后的阶段,也不需要考虑商誉折损率的影响。而当危机发生率χ较大时,γ1/γ2＞ω的概率就比较小,制造商更有可能增加危机后的投入,因此,危机后的阶段相对而言更重要。并且当χ→∞时,ω→1/(1-ϕ)＞1,只有当γ1/γ2＞1/(1-ϕ)时,制造商才会减少危机后的投入,但这意味着危机后广告的影响系数要大大小于危机前的水平。进一步,可以得到ω的取值范围为:

这种成员的阶段倾向性本质上来源于制造商质量决策的双重作用。其一方面有助于商誉在危机前的累积并为危机后的阶段提供更高的初始商誉,另一方面还有助于危机后商誉的恢复,所以制造商在制定决策时始终要权衡这两方面的影响。而线上零售商的广告决策是状态反馈的,故其投入水平在很大程度上受质量水平的影响。另外,当γ2→0时,供应链成员危机前的投入一定大于危机后的投入,因为成员的决策在危机后对商誉的影响力可以忽略不计,所以应该更重视危机前的阶段,即使危机可能会发生。因此,可以说,危机的存在迫使供应链成员具有阶段倾向性,而且危机发生率、商誉折损率以及广告在危机前后对商誉的影响力共同决定了哪个阶段更为重要。进一步分析可知命题4、5分为如下3种特殊的情形,如推论3～5所示。

推论3(情形1) 当γ1=γ2且δ1=δ2时,对于∀χ＞0,则有:

推论3所示的情形中,虽然危机的发生(ϕ≠0,χ≠0)会立刻导致商誉受到折损,但是并不会造成其他的长期的影响,如降低广告对商誉的影响系数以及增加消费者对该品牌的遗忘程度。因此,商誉在危机发生前后具有相同的演进规律。在这种情形下,制造商和线上零售商应该增加在危机发生后的投入以使受损的商誉能够尽快恢复。其结果就是无论危机发生率以及商誉的折损程度是多少,在第2阶段制造商的质量投入、线上零售商的广告投入均高于危机前的阶段。

推论4(情形2) 当γ1/γ2≥1/(1-ϕ)时,对于∀χ＞0,则有:

与推论1不同,推论2所示的情形中,危机降低广告影响系数的同时还会增加消费者的遗忘程度。而且,此时γ1/γ2≥ω的上限1/(1-ϕ),稍做变形可得ϕ≤(γ1-γ2)/γ1,其含义为广告影响系数的降低率大于商誉的折损率,即危机所产生的长期影响要大于其产生的直接影响。这说明,如果危机对广告效力的冲击较大,则供应链成员在危机后阶段所进行的投入不如危机前的投入更高效,此时需要向危机前阶段分配更多的资源。

与推论4讨论的情形相类似。从短期来看,危机会使商誉受到折损从而造成直接的损失。从长期来看,危机会使广告更难增加消费者对品牌的好感且使得商誉的衰减比以前更快,从而不利于供应链成员的长期盈利。但是,此时危机所产生的直接影响要大于其产生的长期影响((γ1-γ2)/γ1＜ϕ)。在这种情况下,供应链成员就需要考虑危机发生率的大小,当时,制造商和线上零售商需要增加危机前阶段的质量和广告投入,此时由于危机发生率较小,对应的危机发生的时间比较晚,从而危机前的阶段相对较长；而当时,制造商和线上零售商应增加危机后阶段的质量和广告投入,此时对应的危机发生的时间比较早,而危机前的阶段相对较短。

综合推论1～3可知,制造商和线上零售商在决定危机前后的投入水平时,应首先考虑危机对商誉和广告效力产生的影响。如果危机只对商誉有影响而对广告效力不产生影响(情形1),或者危机对广告效力的影响大于其对商誉的影响(情形2),则制造商和线上零售商可以直接决定其在危机后的阶段是否增加投入；而当危机对广告效力的影响小于其对商誉的影响时(情形3),则还需要进一步考虑危机发生率的大小。

4 成本分担

根据前面的分析可知,危机的预期会使制造商和线上零售商的质量和广告投入低于没有危机时的水平,从而影响质量和商誉水平。因此,这一节利用制造商分担部分广告成本的方式来抵消部分由危机造成的影响,实现供应链成员绩效的帕累托改进。此时,制造商不仅要决定其危机前后的质量投入,还要决定其对广告成本的分担比例λM。用上标S表示该模式。于是,供应链成员危机前的HJB 方程为:

命题6成本分担模式下危机发生后阶段供应链成员的最优决策分别为:

命题7危机发生前供应链成员的最优决策为:

显然,在危机后阶段,只有当2u2≥v2,即2ρM≥ρE(1-π)时,制造商才会选择承担线上零售商的部分广告成本,且此时不等式2x2-y2≥0也成立。因此,当2ρM≥ρE(1-π)时,制造商的成本分担决策在危机前后均能够实施。将该模式下危机前后供应链成员的最优决策与命题2、3的结果进行比较可以得到推论6。

由推论6可知,制造商的成本分担决策不仅能够促进线上零售商增加危机前后的广告投入,同时还会促使自身质量投入的增加。这是因为,由式(2)可知广告水平的提高相当于增加了质量对商誉的影响力。成本分担决策直接刺激了广告投入,并且随着广告水平的提高,也间接刺激了质量投入的增加。而线下零售商的促销决策保持不变。由于广告和质量投入较分散决策模式下的水平有所提高,使得该模式下的质量和商誉水平也会提高,从而使得供应链成员危机前后的值函数都较分散模式下的水平更高,实现了帕累托改进。因此,成本分担决策的实施能够抵消部分由于危机造成的损失。这说明,面对危机合作是有效的应对方法。

5 数值分析

文章第3节对供应链成员危机前后的决策进行了比较,并分析了3种特殊的情形。本节利用数值分析的方式呈现3种特殊情形下供应链成员危机前后的决策,以进一步分析危机对供应链成员决策的影响。基本参数设置为:r=0.1,G0=0,Q0=0,ε=0.2,φ=1,α=2,β=2,π=0.2,μ=0.2,θ=1,kM=1,kR=1,kE=1,ρM=1,ρR=1,ρE=1。首先分析制造商的质量决策,如图1～3所示。

首先对推论3 的情形进行分析(见图1～3)。对应该情形的具体情况,其他参数的取值为:γ1=γ2=0.1,δ1=δ2=0.05,ϕ=0.5,χ∈[0,4],此时一定有γ1/γ2=1＞ω。另外,由于危机不会对广告的效力以及消费者的遗忘程度产生影响,因而即使商誉水平会因为遭遇危机的冲击而受到折损,其在危机后阶段的演进规律与危机前阶段相同。因此,危机后阶段的质量投入水平等同于没有危机时的水平。由图1可以看出,的轨迹重合。图2中取χ=0.15,ϕ=0.5,所示为该情形下质量水平的时间轨迹,因为对于∀χ≥0均有,所以当χ=0.15时,制造商在危机发生后会提高质量投入,从而危机后的一段时间内质量水平的增加速度要快于危机发生之前,更有利于产品水平的提高。但是,根据式(1)可知,质量水平的增加会使其增速逐渐放缓,并且根据命题3 可知,质量水平最终收敛于φ2h1/(εkM)。图3同样取χ=0.15,ϕ=0.5,所示为线上零售商广告决策的时间轨迹,因为广告决策是关于质量水平的反馈决策,所以广告水平也随着质量水平的变化而变化。而且,由图3可以看出,线上零售商在危机发生后会立刻提高其广告投入,与命题5的结论一致。

图4～6分析了推论4的情形。对应该情形的具体情况,其他参数的取值为:γ1=0.1,γ2=0.04,δ1=δ2=0.05,ϕ=0.5,χ∈[0,4],此时不等式γ1/γ2≥1/(1-ϕ)成立。在该情形下,无论危机发生率的取值如何,制造商在危机发生后都应该降低其质量投入,如图4所示。此时,危机不仅会折损商誉,同时还会降低广告对商誉的影响系数。根据推论4的分析可知,广告影响系数的减少率大于商誉的折损率,危机后的质量投入水平会低于没有危机时的情形,即图5、6取χ=0.4,ϕ=0.5,分别研究该情形下质量水平以及广告决策的动态变化。由于制造商在危机后会降低质量投入,故危机后阶段质量水平的增速低于危机前；同时,线上零售商的广告决策也低于危机前的水平。

图7分析了推论4的情形,对应该情形的具体情况,其他参数的取值为:γ1=0.1,γ2=0.08,δ1=δ2=0.05,ϕ=0.5,χ∈[0,4],此时不等式

成立。当发生率χ小于阈值时,制造商应该降低危机后的质量投入,此时质量和广告的变化规律类似于图5和图6；而当发生率χ大于阈值时,制造商应该提高危机后质量投入,此时质量和广告的变化规律类似于图3和图4。此外,图1、4和图7研究了不同情形下制造商质量决策关于危机发生率的变化规律。由图1、4和图7可以看出,无论在哪种情形下,当危机发生率χ=0时都有,并且随着χ的增加都逐渐接近的取值,对此考察两种极端的结果可以得到:

根据前面的分析可知,发生率越大,则危机发生的时间越早,所以当发生率χ→∞时,危机几乎发生在计划期的初始时刻；危机前的阶段趋向于0,此时供应链成员所要解决的决策问题近乎确定型的决策问题,所以当χ→∞时,危机前的质量决策趋近于危机后的水平。

6 结论

本文利用随机到达过程刻画了品牌危机的发生,并以此建立了随机危机影响下的双渠道供应链微分博弈模型,研究危机对制造商、线上零售商以及线下零售商最优决策和利润的影响。首先求解了供应链成员在危机前后的最优决策,以此为基础对比分析了不同情形下供应链成员的应对策略,并利用数值算例对3种特殊情形进行了分析。同时,考虑到线上零售商的广告决策能够提高商誉水平,为了抵消由于危机产生的部分影响,提出了制造商对线上零售商广告的成本分担策略。最终,通过对模型的求解和分析,得到了如下结论:

(1)危机的发生将整个计划期分为两部分,供应链成员需要考虑两个阶段的不同特征并分别制定最优决策。而且根据对比分析可知,与没有危机时的情形相比,危机前后制造商的最优质量决策和线上零售商的最优广告决策均低于没有危机时的水平,而危机前后线下零售商的促销决策与没有危机时的情形相同。因此,危机的存在降低了制造商质量和线上零售商的广告投入,同时也使质量和商誉水平低于没有危机时的情形,进而影响供应链成员的利润水平。

(2)危机的发生不仅会使商誉受到折损,还可能会降低广告的影响效力,因此,危机既会产生短期影响也会产生长期影响。这使得供应链成员需要依据危机所产生的影响来分别决定危机前后阶段的投入水平。根据危机前后决策的比较分析可知:如果危机仅仅是折损商誉而危机后的广告效力不受影响(γ1=γ2,δ1=δ2,情形1),则在危机发生后制造商和线上零售商应增加质量和广告投入以使商誉能够尽快恢复；如果危机的长期影响大于其所产生的短期影响((γ1-γ2)/γ1＞ϕ,情形2),则在危机发生后制造商和零售商应降低投入并将资金更多用于效率更高的危机前阶段；如果危机的长期影响小于其所产生的短期影响((γ1-γ2)/γ1＜ϕ,情形3),则制造商和线上零售商在决定危机前后的投入时还应考虑危机发生率χ的大小,若χ较大(χ＞),则制造商和线上零售商应该降低危机后的投入,反之则应该增加。

(3)无论是危机前还是危机后,只要制造商和线上零售商的边际利润满足一定关系,制造商的成本分担策略就能够实施。而且成本分担的实施不仅能够直接促进线上零售商增加其广告投入,还能间接促使制造商增加自身的质量投入,在提高商誉和质量水平的同时,也一并提高了所有供应链成员的利润水平,实现了帕累托改进。因此,成本分担策略的实施能够在一定程度上缓解危机带来的影响。

本文仅仅考虑了单个制造商的情形,未来可以在有多个制造商进行竞争的情形下对品牌危机展开研究。此时,潜在的危机可能不仅会对自身和零售商的决策产生影响,也有可能对其他制造商的决策产生影响,如其他制造商可能会趁虚而入侵占原本属于危机企业的市场份额。除此之外,也可以在闭环供应链的背景下对品牌危机展开研究。当供应链系统同时出售新品和再制品时,如果再制品的质量不如新品,那么,再制品可能比新品更容易出现质量问题从而引发品牌危机。而一旦出现危机,则不仅会影响再制品的销售,也有可能对新品的销售造成影响。因此,在闭环供应链中对该问题进行研究也是有意义的。

附录

命题1的证明求解供应链成员HJB方程右侧的最优化问题,可得:

将最优决策分别代入供应链成员的HJB方程,可知成员的最优值函数形式分别为:

进而可将供应链成员的HJB方程分别化为:

求解可得值函数的系数分别为:

命题2的证明同命题1的证明。

命题3的证明假设没有危机时供应链成员的值函数分别为:

则可以很容易地得到系数的值为:

另外,由命题2可知,当危机可能发生时,计划期内供应链成员的最优值函数为:

根据本文的假设,危机发生后广告的影响力是降低的、而消费者的遗忘程度是增加的,故有γ1＞γ2,δ1＜δ2。因此,显然可知得到l1＞h1。根据推论1的分析可知e1关于危机发生率χ的变化规律是先减后增的,于是,当χ∈[0,∞)时,均有l1≥e1。同理可证:m1≥f1,n1=g1,进而可以很容易地证明命题3。 证毕

命题6、7的证明同命题1的证明。

推论6的证明同命题3的证明。