□韦志斌

如果把数学比喻成一株花，计算能力是茎，数学思维是根，计算结果就是花朵。没有茎的支撑，花便无法开放；没有根的支持，花便难以长高长大，更难绽放出艳丽的花朵。因此，让学生学好数学，无论老师还是家长，不能把学习的重点仅放在计算能力这个外显的“茎”上，更要注重对数学思维这个内隐“根”的培养，唯有两者共生共长，学生才会形成较强的可持续学力，越学越愿学，越学越会学，越学越好。

牛、羊与船长的年龄

多年前，一位法国教育心理学家曾给孩子出了一道题：一艘船上有86头牛、34只羊，这艘船船长的年龄有多大？90%的学生给出的答案是86-34＝52。笔者把这道题出给不少小学生，他们的答案也几乎如出一辙。

问他们：“为什么这样做呀？”

学生说：“这很简单呀，题目中有两个数，大数减小数就出来了。”

问他们：“为什么不用加法啊？”

学生回答：“用加法不行啊，86+34＝120，人没有活那么大年纪的。”

再问他们：“牛的头数、羊的只数和船长年龄有关系吗？”

学生回答：“有关系啊！”

追问他们：“什么关系啊？”

学生问答：“数量关系啊！”

学生的回答看似有道理，实际上却暴露出他们对数学的无知：他们以为解题列式，就是把数字用加减乘除等符号连起来，然后计算出结果就万事大吉，而不管数量之间是否存在关系。这种为做题而做题，为答案而答案的想法，折射出学生头脑中数学思维的缺失，照这样学下去，越是努力数学便会越差，这也是当今不少学生随着年级升高，数学渐渐跟不上的根本原因。

数学抽象思维是学好数学的先导

所谓数学思维，就是用数学思考问题和解决问题的思维活动形式，它是学习、学好数学的基础，这其中，数学抽象思维是先导。

众所周知，现实世界中，像1、2、3等纯粹的数字并非是客观存在的实物，是看不见也摸不着的。现实中只存在1个苹果、2个桔子、3根香蕉……数字是人们从具体实物中抽象出来的一种属性，是用来方便运算的。但这个运算，并非是脱离客观实物的纯数字游戏，每一个数字背后承载的仍是客观事物，所谓运算，其本质是同类事物间数量关系的一种映射。

所谓1+1=2，要么是指两个苹果相加，要么是指两个桔子相加，抑或是两根香蕉相加，一个苹果加一个桔子没有任何意义。这也就是说，所谓数的运算，一定是同类事物中抽象出来的数字才能运算，像“86头牛-34只羊=船长52岁”之类的运算是风马牛不相及的，荒谬而可笑。

所以，学习数学，一定先要让孩子学会数学抽象——从实物中抽象出数来。反过来，在运算时却要运用“逆抽象”——即运用数学想象，在头脑中时刻做到“见数见物”，将抽象出的数还原成具体事物，明白算式中每一个数字背后都对应着具体的同类事物。唯有如此，数量关系才不会乱，学生解应用题时才不会胡乱列式。

数字抽象能力和运算时的逆抽象能力，要从小培养。一年级学生开始学数学，要进行专门训练，不厌其烦地反复训练，要让学生在头脑中构建起牢固的数量关系。

一般说来，培养学生的数学抽象思维可通过“数学抽象4步法”来进行：

第一步，展示实物。

第二步，用学具小棒替代实物。

第三步，用符号代替小棒。

第四步，用数字表示。

在这个过程中，第一步是用实物感知数。可以是苹果，可以是桔子，也可以是学生喜欢用的任何东西，但注意，应该都是同一类事物。

第二步是初级抽象——用小棒代替实物。无论任何实物，都可以用小棒代替，这样一来，多种具体实物就“抽象”成了一种实物——小棒。

第三步是高级抽象——用符号代替小棒。这就让数脱离了实物，抽象成了可以写在纸上的符号，这个抽象就具有了质的飞跃。

第四步是数学抽象——用数字代替图形符号，只剩下纯粹的数字，这样就从具体实物中抽象出了数字，完成了数学抽象。要让学生知道，在同一个算式中，每一个数字背后对应的都是同一种事物。

这个数字抽象和算式逆抽象思维的形成，需要长期、大量、反复地训练才能完成，绝不能简单地训练一两次、一两节课就敷衍了事。当然，为了增加训练的趣味性，这里的实物、小棒和图形是可以根据具体的学习环境和学生的喜好，任意更换的。

小学生唯有形成了数学抽象思维能力，切实认识到“数是数，数是物”，在头脑中构建起牢固的数物相联的数量关系，才算是真正走进了数学大门，不会再把数学学习理解成单纯的数字计算，才会在做应用题时，先理清题目中每个数字背后所代表的事物，厘清数字之间的数量关系，列出正确的算式，不会犯用牛的头数、羊的只数，硬凑出船长年龄那样的低级错误。

建模思维是解决应用题的金钥匙

俗话说：“万变不离其宗”。现实生活中，无论是平房、瓦房还是楼房，我们一看都是房；无论是轿车、卡车还是火车，我们一看都是车；无论是钢笔、铅笔还是圆珠笔，我们一看都是笔……这个“各式各样房都归为房、各式各样车都归为车、各种各样笔都归为笔”的“归宗思想”就是一种建模思维——通过对事物的分析，去表存本，找到其所归属的“宗”，如房、车、笔等，这个“宗”，我们就称之为模型，这个寻“宗”的过程就称之为建模。体现在数学上，就是数学建模，遇到问题，通过分析，找到其所归属的模型，套用模型中的基本数量关系，列出式子。小学数学中常见的数学模型有总量模型、路程模型、工程模型等。

对一年级小学生来说，最简单的数学模型就是总量模型，即“加数+加数=和”，以及由此衍生出来的“和-一个加数=另一个加数（或被减数-减数=差）”，学生头脑中如果建构起这个模型，遇到应用题就可以快速厘清题目中所给的数量关系，列出算式，解决问题。图形表示如下：

遇到类似问题，都可以将数填到这个模型里。如：

1.买一个书包20元，买一个足球30元，问，买一个书包和一个足球需要多少元？

2.光明小学去植树，一年级1班和2班一共种了26棵，其中1班种了12棵，2班种了几棵？

3.小明到图书室来借童话书，图书室原有62本，小明借完后还剩55本，问小明借走了几本？

通过对具体问题的分析，比照总量模型，画出可视化图形，各种数量间关系便会一目了然：如果问号在下，则用加法，如果问号在上，则用减法，无论问题多么复杂，列式都不再是一件难事。从这个意义上来说，学生具有了建模思维，就等于手中握有了解应用题的金钥匙。