邵光华　张妍　程玉婷

摘要：数学语言是伴随着数学学科的发生和发展而逐渐丰富、系统起来的储存、传承以及加工、创造数学思想和内容的工具。数学语言的特殊表现是数学模型，也就是数学的应用。数学语言具有准确性、简约性、应用广泛性等特点﹐从形式上可以分为文字语言、符号语言和图表语言三类，并具有表达功能、应用功能和思维功能。培养学生的数学语言能力，除了常见的指向日常表达或口头表达的做法之外，还需要注意依据不同的数学语言形式采取不同的教学策略，加强数学阅读，重视模型意识培养，使学生学会“用数学的语言表达现实世界”。

关键词：数学语言;数学语言能力;数学核心素养﹔数学建模

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“2022年版课标”）明确给出了数学核心素养的基本构成（凝练表现）：“会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界。”这就将数学语言的重要性抬到了一个前所未有的高度，让我们不得不重新审视数学语言及相关能力培养的问题。

其实，长期以来，数学语言都备受关注，关于数学语言的研究一直没有停止过。目前，中国知网数据库一共收录了3000多篇主题为“数学语言”的文献（详见下页表1）。分析发现，这些文献多集中于数学语言的特征、能力结构，影响数学语言能力发展的因素以及一般意义上的教学策略研究。本文试从核心素养的角度，对数学语言的内涵、特点、形式、功能及能力培养等，再做一些深入思考。

一、数学语言的重审视

（一）数学语言的内涵解读

2022年版课标指出：“数学语言主要表现为：数据意识或数据观念、模型意识或模型观念、应用意识。”①这个表述比较独到，但也比较晦涩，可以理解为：处理数据使用的是数学语言，构建模型使用的是数学语言，利用模型分析、解决问题使用的是数学语言。对此，2022年版课标在进一步解释中指出：用数学语言表达现实世界中的简单数量关系与空间形式，运用数学语言表达现实生活与其他学科中事物的性质、关系和规律，使用真实数据表达、解释与分析现实世界中的不确定现象。这便在一定意义上表明了数学语言的内涵，即数学语言是表达数学思想和内容的载体，是表达事物性质、关系和规律的工具，是表达、解释与分析不确定现象的数据及其处理工具。可以说，数学语言是伴随着数学学科的发生和发展而逐渐丰富、系统起来的储存、传承以及加工、创造数学思想和内容的工具。因此，数学语言与数学内容之间有一种互为表里的对应关系。学习数学（内容），在某种层面上也是学习数学语言，即理解、领会数学语言所表达的含义。

2022年版课标修订组组长史宁中教授从表达的内容上，对数学语言做了进一步的明晰和强调。“数学语言由数学的基本概念、符号表达、运算规则、形式逻辑、模型构建等基本元素组成。”②这一阐释较为具体地呈现了数学语言的内容构成。“数学的语言是什么呢？主要是数学模型（包括用于数据分析的统计模型）。（抽象的）数学借助于数学模型回归现实世界，数学模型搭建了数学与现实世界的桥梁。一方面，数学发展的真正动力是其在现实世界中的应用，数学要有重大发展，必须并且只能靠研究者在现实世界中获取灵感，并在不断应用的过程中汲取养分……另一方面，在现代社会，几乎所有的学科在科学化、条理化的过程中都要使用数学语言，并借助数学符号构建数学模型，以此揭示研究对象的性质、关系和规律。”③这一解读强调了数学语言的特殊表现，就是数学模型，也就是数学的应用。学习数学，归根结底是要解决问题;掌握数学语言，才能构建数学模型解决问题。而且，数学模型是由数学符号语言构成的特殊的关系结构，是作为一个符号语言组合体而存在的。

可见，数学语言的内涵似乎更加丰富了，既指通俗的与数学及数学教育相关的言语及表达，又指数学高度专业化的科学语言，如准确的概念、规范的符号、形象的图形、直观的表格、抽象的结构、复杂的模型等，典型特征是严谨的逻辑和特有的句法。

（二）数学语言的特点分析

数学语言与日常语言不同。“日常語言是习俗的产物，也是社会和政治运动的产物，而数学语言则是慎重的、有意的而且经常是精心设计的”①，是一种高度抽象的专业语言。基于表达具有数学学科特征的内容的需要，数学语言具有如下特点：

一是准确性。作为一门人工语言，数学语言的显著特点是含义的准确性。在数学中，没有外延模糊、内涵不定的概念，也没有模棱两可、似是而非的结论，每一个符号、式子等代表的意义都必须是确定的。如果数学语言不准确，就很难保证推理的严谨性以及结论的确定性。人们在进行科学表达时，通常用最精确的数学语言传达最准确的信息。即使对于“偶然”发生的随机现象，对于具有“不确定性”的随机事件，也要提出精确的概念和研究方法，来准确地回答这个随机现象或事件发生的可能性大小。

二是简约性。数学语言应该尽可能清除表达过程中的冗余信息，使自身变得简洁、精炼，更具有一般性。不同于文学语言需要修饰和描述，数学语言则直接揭露事物的数学本质和意义，在用词上几乎少到不能再少一个字。②有人用“一个公式胜过一打说明”来表达数学语言的简约性。例如，欧拉用小写字母a、b、c表示三角形的三条边，相应的大写字母A、B、C表示对应的三个角，使三角形诸公式表达起来显得整齐、简单。③数学中，绝大部分公式都体现了形式简洁、内容丰富的特点，而用基本的数学符号语言单位建构的数学模型显得精致、简练。

三是应用广泛性。数学的广泛应用带来的就是数学语言的广泛应用，主要表现在作为数学语言主要成分的数学符号语言的以下两个方面的功能：（1）数学符号语言是各门科学的通用语言。数学符号语言在物理、化学、生物学、地理等学科中都发挥着重要作用，它们把数学符号语言作为表述自身科学理论的工具。（2）数学符号语言是世界的、公共的、共同的语言。数学符号语言是世界各个国家、各个民族的通用语言。尽管各个国家可能使用着各自的语言，同一国家的不同民族也可能使用着不同的语言，但看到数学符号语言，比如阿拉伯数字1、2、3、4……尽管读音不同，却都能明白其意义。“数学无国界”，数学符号语言具有跨地域的通用性，这给数学的国际交流、传播带来极大的便利。

（三）数学语言的形式分类

为了清楚地表达数学思想和观点，除了数学符号语言，还可以使用文字或图表。这些经常出现在数学研究成果或数学教材中的语言，我们都称为数学语言。这样，从形式上看，数学语言就可以分为文字语言、符号语言和图表语言三类。

1.文字语言

数学中的文字语言是自然语言中用于表达数学概念、思想、关系、结构等的语言。它通常不是自然文字语言的简单移植，而是经过一定的数学加工、改造（如精确化、限定、特指等）而形成的，且以数学概念、术语等形式被界定。例如，“直线”“全等”“相似”“连续”“区间”“排列”“组合”“极限”“轨迹”等都是自然文字语言的精确化;“绝对值”“正值”“中线”“负数”等都是对自然文字语言进行限定的结果;而“倍”“系数”“指数”“无理数”“概率”“正弦”“对数”“函数”等都是具有特定含义的数学文字语言。有些数学文字语言还具有比喻或象形意义，如“扇形”“中位线”“平行线”“射影”“倒数”“锐角”“参数”等，能展现某种直观，使人较为形象地理解和领会。

数学文字语言不仅是对自然文字语言的借用，而且是对自然文字语言的发展和丰富，同时遵循自然文字语言的语法规则。这也是大多数情况下两种语言的语义基本相同的原因。例如，在“两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等”这一表达里，“两”“平行直线”“第三”“直线”“同位角”“相等”是数学语言，而“条”“被……所截”是非数学语言。显然，只有数学语言，可能构不成具有明确意义的句子，需要非数学语言的辅助。当然，数学语言丰富后，就可以表达了。例如，“平面上两条平行直线被第三条直线所截”可表示为“直线a、b、ca，a∩b=?，c∩a≠?，c∩b≠?”。

2.符號语言

符号语言是数学特有的通用语言，是人类数学思维长期发展形成的一种语言表达形式，是数学语言的典型代表。很多时候谈论的数学语言都会被默认为数学符号语言。按感知规律，数学符号分为三种：象形符号、缩写符号、约定符号。单独的符号只是字符的一种，数学符号语言的根本在于符号构成的具有数学意义的关系、结构、模型，这是数学语言用于表达世界的基本形式。常见的身份证号、车牌号等，严格来说，都不是数学的应用或数学语言的表达，因为它不具有数学意义，只是按某种构成规则使用或部分使用数学符号来表达而已，是数学符号非数学意义上的使用方式。同一个数学对象的数学符号语言表达，可能因不同背景而有不同形式。例如，单位圆在直角坐标系中的符号表示形式，与在复平面中的符号表示形式，以及与在极坐标系中的符号表示形式极为不同。

数学语言是一种以符号表达为主的特殊语言。“数学的效能来自数学符号。”在影响数学发展的因素中，符号化是一种重要的力量。①正是由于数学的符号化，才得以形成数学特有的符号语言。数学的符号化可以理解为用一套含有数学意义的符号体系来表达数学对象及其关系、结构、规律。通过符号化，数学对象被符号形式表达，数学研究也就转化为对符号形式的研究。数学模型建构使用的都是这种符号化语言，数学模型本身可以看成数学语言的一种应用，也可以看成一种特殊的数学语言表达形式，是用数学语言表达世界的一种结果。没有数学对象的符号化表达，数学不会走得这么快、这么远。

3.图表语言

数学图表语言是指包含一定数学信息的各种图或表，可以细分为图形语言（几何图形、统计分析图、集合维恩图等）、图像语言（函数图像或统计线图等）和表格语言（统计数据表、分析表、框图等）。它是数学形象思维的材料和结果，也是数学抽象思维的重要工具;它既是一种直观表达的语言，也是一种概要表达（隐藏密集信息）的语言。它与数学概念、术语、符号、式子、模型等一起构成数学语言系统。有时，在一定意义上，根据一定的几何关系要求构建的几何图形，可以看成一种几何模型。

图表语言释义是复杂的，因为有时候含有丰富的信息。例如，一条抛物线的图像中，直观的开口方向蕴含着二次项系数的正负信息，再结合顶点的位置又可以知道一次项系数的正负信息，而与纵轴的交点包含着常数项的正负信息等。掌握图表语言是现代社会的要求，学生必须学会读图（表），能读出图形、图像和格表中蕴含的数学信息来。①

（四）数学语言的功能解析

与日常生活中所使用的语言一样，人们可以借助数学语言进行思维、表达和交流，也可以借助数学语言认识、理解和反映现实世界。

1.数学语言的表达功能

数学语言能够简明扼要地表达数学思想和内容，丰富语言文化素养。2022年版课标指出了数学的语言属性：“数学不仅是运算和推理的工具，还是表达和交流的语言。”②并且进一步阐述了数学语言的表达功能：“数学为人们提供了一种描述与交流现实世界的表达方式。通过数学的语言，可以简约、精确地描述自然现象、科学情境和日常生活中的数量关系与空间形式;能够在现实生活与其他学科中构建普适的数学模型，表达和解决问题;能够理解数据的意义与价值，会用数据的分析结果解释和预测不确定现象，形成合理的判断或决策;形成数学的表达与交流能力，发展应用意识与实践能力。”③

作为科学的语言，数学语言自身就是一种数学应用，其重要作用就是表达自然界的规律，构建自然界各种相关量之间关系的模型，从而解决问题。围绕一个问题构建数学模型，在一定意义上讲，就像围绕一个主题写一篇作文一样。语文讲究写作能力，将想表达的思想感情表达出来;数学建模就是一种用数学语言“写作”的能力，准确地表达出某一情境中若干量的数学意义及相互关系。“数学建模能力就是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养。”④从中也可看出，数学语言在构建数学模型过程中发挥的重要的表达功能，对于培养学生的建模能力有着至关重要的作用。2022年版课标也特别提到：“通过欣赏数学语言的简洁与优美，逐步养成用数学语言表达与交流的习惯。”⑤

2.数学语言的应用功能

数学语言是数学知识的载体，各种定义、定理、公式、法则和性质等，无不通过适当的数学语言来表述。从数学学习的角度看，学生“数学语言”的特点及其掌握水平决定了学生能否准确、迅速地理解问题，也是决定学生数学学习效率高低的重要因素。

关于数学语言在其他方面的应用价值，其实很早之前，伽利略就给出过论述：“哲学被写在展现于我们眼前的伟大之书上，这里我指的是宇宙。但是，如果我们不首先学会用来书写它的语言和符号，我们就无法理解它。这本书是以数学语言写的，它的符号就是三角形、圆形以及其他几何图形。没有这些符号的帮助，我们简直无法理解它的片言只语;没有这些符号，我们只能在黑暗的迷宫中徒劳地摸索。”⑥数学是一切科学和技术都使用的语言和工具。正如马克思所说：“一门科学只有当它达到了能够成功地运用数学时，才算真正发展了。”数学语言之于科学的重要性不言而喻。华罗庚先生所说的数学应用的广泛性，也在一定意义上表达了数学语言的应用价值。此外，“伴随着大数据时代的到来，人们常需要对网络、文本、声音、图像等反映的信息进行数字化处理，这使数学的研究领域与应用领域得到极大拓展”①。

3.数学语言的思维功能

思维是语言的内核，语言是思维的外壳，思维和语言之间是相互促进的辩证关系。除了表达和应用这样的显性功能之外，数学语言还有培养数学思维的隐性功能。②首先，数学语言具有含义准确的特点，使其在培养思维的严密性方面有独特的作用。③数学是一门逻辑性极强的学科，作为反映数学内容的语言，数学语言从形成之初就烙上了逻辑严谨的印痕，一字之差、符号的一笔不同，就可能使表达的意思相差甚远甚至截然相反。例如，“除”和“除以”表达的意义正好“倒过来”;集合运算的符号“U”和“n”方向相反，而表达的意义也完全不同。因此，學习、掌握和运用数学语言的过程，必然能够锻炼思维的严谨性。其次，数学语言的直观性有助于形象思维的培养。数学图表语言具有高度的直观性，其识别、理解、应用既离不开形象思维，同时又能训练形象思维。再次，数学语言表达的内在逻辑性有助于一般化的逻辑推理（有条理地思考），前因后果、相互联系等语言分析能够使学生养成科学思考的习惯，发展理性思维。

二、数学语言能力培养的再思考

关于数学语言能力培养的终极目标，2022年版课标明确提出“会用数学的语言表达现实世界”。为了提高学生用数学语言表达现实世界的能力，很多数学教育研究者和数学教师都已意识到，要重视课堂上数学语言的交流，鼓励学生数学语言的表达。在注重数学语言的教学、引导学生重视数学语言的学习方面，一些数学教育研究者，特别是数学教师，总结了很多有效的策略。例如，从教学方式上讲，在概念教学中，重视让学生说出概念的本质;在计算教学中，重视让学生说出算理;在几何教学中，重视让学生说出图形的特征;在“用数学”的教学中，重视让学生说出思路。④从语言训练上讲，加强数学阅读，让学生会听数学语言、听懂数学语言、有思考地听数学语言⑤;加强数学词汇、语义和句法的教学，让学生会说数学语言、说清数学语言，说概念的本质和关键词句、说近似概念中的异同及易混淆之处、说方法;让学生熟记重要概念、性质，做到“咬文嚼字”，用仿述、讲述、概述、扩述、辩述等方法进行不同数学语言之间的互译训练，用多种反馈方法开展使用数学语言的数学课外活动，帮助学生形成语法的“网络”⑥;实行说理训练、默思训练、复述训练、辨析训练、概述训练和讲述训练⑦;在对数学语言的词素、单词和词组、句子和句群、段落、篇章等特点准确把握的基础上，深刻揭示数学概念的本质属性，加强数学语言语义和句法的教学⑧。但是，这些基本上都指向数学语言的日常表达或口头表达，离“用数学的语言表达现实世界”的素养要求还存在一定的距离，因为没有触及用数学语言表达世界的最根本之处—构建数学模型，解决数学问题。因此，除了上述做法之外，还需要注意以下几点：

（一）依据不同的数学语言形式采取不同的教学策略，打好数学语言基本功

常见的文字、符号、图表三种形式的数学语言的学习是相互制约又相辅相成的。

文字语言是基础。人们常常将符号表示的关系转化为文字语言。例如，通过多项式乘法公式推导出平方差公式（a+b）（a-b）= a2—b后，常将其用文字语言描述为“两数之和乘以两数之差，等于这两个数的平方差”。这表明，人们习惯于用文字语言表达数学关系。对于图表中的数学信息，也需要用文字语言表述给其他人听。数学文字语言要借助自然文字语言的意义来学习，并重在数学的严谨刻画。例如，“圆”作为自然口头语言表达，儿童很小就会，对于“圆”的形象理解和口语意义也基本一致。作为自然文字语言学习058

的时候，也能很好地建立起字面意义与“圆”的形象之间的关联。作为数学文字语言学习的时候，显然是以自然语言的意义为基础的。但关键是建构起数学的刻画：有一个圆心，可视为圆周，圆周上的每一个点到圆心的距离都相等，这个都相等的距离称为这个圆的半径。如此，“圆”的数学意义才能算是被真正理解，成为数学文字语言。

符号语言是抽象的，每一个符号所表示的都是一个确定的数学概念（关系）。概念来源于现实世界，经过多次抽象而形成，而符号就是概念的一种规定表示，是抽象基础上的一种特殊规定。例如，“圆”的概念抽象出来后给予符号记法“⊙”，“全等”的概念抽象出来后给予符号记法“≌”。符号语言的学习关键是建立起符号与符号表达的数学意义之间的联系。

图表语言是直观的，图表常是根据其他语言表达的意思画出来的，也就是说，图表是一种数学意义的表征方式。例如，函数y=2x2-3x+x+1的图像只能是那样的形状和位置。那么，反过来，给定一个图像，应该能够估计出这个图像的解析式大致是什么样的。所以，图表语言的学习不同于符号语言的学习，重在“数形结合”、意义相通。例如，“圆”的图形学习，除了建立这个图形与圆的本质的联系之外，还要认识这个图形的性质特点，设计含有这个图形的图案等。深度的图表语言学习，是要运用图表表征关系和结构。例如，根据问题信息，列表给出清晰的数据与关系，通过数据表看到或算出数据背后的东西;反过来，根据图表，也能够解读、挖掘出一些隐含的信息。

数学思维活动是以数学语言为工具进行的，数学学习活动在某种意义上就是一种语言活动。教会学生用数学语言来表达自己的思想和认识，描述现实世界中的数量关系，构建现实问题的数学模型，并分析、推理和证明，需要循序渐进。开始以自然语言和图形解释，构建数学文字语言和图表语言，渐渐渗透符号语言，并在学习的过程中经常将数学语言转为自然语言，通过“通俗化”手段建立数学语言的意义，慢慢促使文字语言、图表语言、符号语言不断进阶，逐渐丰富数学语言。通过解决问题，应用数学语言，逐步逼近“用数学的语言表达现实世界”的素养目标。

（二）加强数学阅读，提高数学语言表达能力

语言的学习离不开阅读，数学语言学习也离不开数学阅读。通过阅读，理解文中的数学意义，体会文中的数学思想，掌握文中的数学方法，感悟数学语言的运用。数学阅读是一个复杂的思维活动过程，既有知识的同化和顺应，也有内部的语言转化，如把一个抽象的内容转化为具体的内容，把用符号语言或图表语言表述的关系转化为文字语言的形式，把用文字语言表述的关系转化为符号语言或图表语言的形式等。在数学阅读中，要注意训练学生用数学语言清晰、有条理地表达思考路径、解答过程，把数学语言表达能力的培养融入数学知识学习和问题解决的过程中。

学生仅靠听教师讲授，是难以丰富和完善自己的数学语言系统的;只有通过阅读，做好与标准数学语言的交流，才能规范自己的数学语言，增强数学语言的理解能力，从而建立起良好的数学语言系统，提高数学语言的表达和交流能力。①通过数学阅读，不仅可以训练数学语言能力，而且能够训练从用一般语言描述的具体材料中捕捉各种数学信息（包括数量关系、空间结构、数据信息等）的能力，从而提高将日常语言抽象、转化为数学语言并用数学语言表达数学关系和结构的能力。

（三）突破狭隘的数学语言能力培养观，重视数学模型意识培养

学习数学，根本上是为了应用数学知识解决问题。仅肤浅地看懂一些数学语言表达的东西，是形不成“用数学的语言表达现实世界”素养的。所以，要突破传统的数学语言能力培养观，不能止步于背背概念、读读定理，知道概念的含义、数学符号的意义，而要更深层次地理解数学语言的用途，加强“数学化”练习。所谓“数学化”，就是将非数学问题转化为数学问题，用数学的语言表达数量关系、构建模型解决问题，是数学语言应用的根本和核心。②训练数学语言应用能力，根本上是训练建立模型解决问题的能力，数学建模是最好的数学语言练习项目。因此，教师应该加强应用数学解决问题方面的教学，在解题教学中渗透数学建模（包括数据处理）意识的培养，经常引导学生根据现实问题的数学意义，用数学语言表达问题，用数学模型构建问题中变量之间的关系结构，进而解决问题。

也就是说，数学教师必须清楚，真正“用数学的语言表达现实世界”的素养是学会面对现实世界的现象或问题，用数学的思维方式“抽象化，运用符号表达、建立模型，进而对模型进行逻辑分析、推理和计算”，从根本上说，是用数学的语言描述、刻画、建模、求解的能力。例如，一位小朋友在路边散步，他能数出“一棵树，两棵树……一共十棵树”。这是一种数学语言表达。他又能估计“每相邻的两棵树之间的距离一样，大概是10米，这样，从第一棵树到第十棵树之间的距离就是90米”。这便是一种更为高级的数学语言表达。他还能说出“我们来回走10趟，便走了900米;再走一趟，就接近1000米了”。这也是一种更为高级的数学语言表达。最后，他思考了一个模式：“每相邻的两棵树之间的距离一样，都是10米。对此，人们常误以为第一棵树和第十棵树之间的距离是10个10米，其实是9个10米。一般地，第一棵树和第n棵树之间的距离是（n—1）个10米。”这才达到了用数学的语言表达现实世界的水平。

此外，数学建模首先要用数学语言把实际问题抽象成纯粹的数学问题，然后通过模型构建、分析和求解，把结果用一般人所能理解的语言表述出来。因此，语言的互译能力也很重要。

（邵光华，宁波大學教师教育学院，二级教授，博士生导师。教育部高等学校教学指导委员会委员。主要研究方向：数学教育和教师教育。张 妍，浙江省宁波市东恩中学。主要研究方向：数学教育。程玉婷，宁波大学教师教育学院。主要研究方向：数学教育。）