安徽省宁国中学 陈晓明 242399

参加各级各类联考是高考复习过程中重要的一个环节，笔者所在学校每届高三都要参加在安徽享有盛誉的“江淮十校”联考.2019 届高三第二次联考于2018 年11 月16日如期举行,理科数学第12 题（选择题压轴题）看似简单，但最后几乎令所有学生“崩溃”！有的同学花了很长时间却半途而废，只好乱猜一个答案；有的同学看完题目就乱猜一个答案；有的同学到最后做这一道题，眼看考试时间来不及了，连题目都没看，直接乱猜一个答案.因此这题的得分率不言而喻.笔者所在学校许多教师也没有做出来，包括笔者在内，都感叹道“史上最难数学选择题”！

题目 已知函数f(x)=x(e2x-a)-lnx，若f(x)≥1 在(0,+∞)上恒成立，则实数a的取值范围是（ ）.

A.( -∞,e-1] B.( - ∞,e-1)

C.( - ∞,2] D.( - ∞,2)

1 试题解答

2 分析与思考

2.1 关于知识，能力，方法，素养

本题是一道不等式恒成立问题，也是求参数取值范围问题.利用分离参数法将问题转化为求函数最值问题进行求解，属于通性通法.本题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性、极值、最值.考查学生的转化能力，计算能力，分析解决问题的能力，属难题.考查的主要思想方法有函数与方程思想，转化与化归思想，数形结合思想，设而不求法，整体代换法，构造法.

解决数学问题不是仅解决学会了多少知识点，而是研究在解决问题的过程中所涉及知识点上有多少思维点，有哪些关键点，蕴含了哪些数学核心素养.我们的课堂教学应该“慢”下来，教师要有意识地引导学生学习和掌握思维点，创造学生思考的时间和机会，放手让学生“大展拳脚”，触发学生的思维，激发学生的学习潜能，让学生学会思考，形成和发展数学核心素养.否则，在教师的“过度”指导下，学生更多地是模仿，而少有思考，能力得不到培养，素养得不到提升，结果出现“听起来头头是道，做起来莫名其妙”的现象！

2.2 关于“找点”

通过分离参数法将问题转化为最值问题是学生很容易想到的，而如何求最值呢？因为这里没有端点值，所以学生也很容易想到利用导数求函数的极值.因为导函数的变号零点才能成为原函数的极值点，所以我们要探究导函数的变号零点：是否有？有几个？“是否有”的问题可以通过零点存在性定理来判断；“有几个”的问题可以再次利用导数判断导函数的单调性、极值，从而确定导函数值的符号（可以借助导函数的图像，观察导函数的图像与x轴交点的个数，同时要注意是否为零点）.因为导函数的符号由分子h(x)=2x2e2x+lnx决定，因此只需判断分子的符号即可.于是想到对分子h(x)=2x2e2x+lnx求 导，易 知h′(x)=4(x2+x)e2x+＞0 ，所 以h(x)=2x2e2x+lnx在(0,+∞)上单调递增，因此分子h(x)=2x2e2x+lnx若有零点也最多只有一个.这里如果不是h′(x)＞0，从而得到h(x)具有单调性，那么问题就变得复杂.接下来再用零点存在性定理判断函数h(x)是否有零点，这时出现一个疑难问题，就是在定义域内“找点”（可确定函数值的符号），因为lnx的存在，导致无法取到定义域( )0,+∞的左端点值0，右端点值又是无穷大∞，那怎么办？所以学生普遍感到困惑！要找到正确的“点”，有时需要尝试，便于计算函数值是前提.这里容易发现h(1)＞0，于是我们可在1 的左右找，前面解法中找的是当然不唯一，例如还可取等等.由此也看出我们“找点”有时找的不一定是端点值，只要易于判断函数值的符号就行.

利用零点存在性定理判断零点的存在性时，有时“找点”是一个难点，很不好找.而这一难点的考查经常出现在各级各类考试中，特别是高考数学全国卷.

引例（2015 年新课标全国卷I 文科第21 题）：设函数f(x)=e2x-alnx.讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数.关于该问题的解决以及更多的例子可参阅笔者文章《对几道高考数学全国卷导数试题命题规律的探究》[]1.

2.3 关于隐零点

2.4 关于构造函数

仔细分析高考中的导数题的求解，经常会出现对问题进行转化，解题方法的选择，欲得结论的尝试等问题，这也是对学生创新意识的考查.这就要求学生在审题和探索解题思路时，要有足够快的反应能力，尤其是在发现已有的思路行不通时，要知道从哪些方面去转换思路，提出新的问题，寻找突破的途径.对于这些，如果学生平常有多次类似的解题经历，在考场上就不至于慌张，从而也就能想出创造性的解题方法来.这就要求教师在日常的教学中要多对学生鼓励，让他们敢于尝试，尤其是要容许学生犯错误，然后从错误中反思，再寻找正确解法.长此以往，学生的创新意识一定能得到培养,数学素养得到提升.

3 这样的题能考吗？

3.1 从核心素养视角看

通过前面的分析与思考，我们不难发现此题很好地考查了学生的数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算、数学建模等核心素养.检验学生核心素养的高低，不是让学生写核心素养的论文，而是让学生做数学题，会做数学题不一定说明核心素养高，但核心素养必须通过解决数学问题来实现.那就要看做什么样的数学题，是怎样做出来的.此题虽然难度大，但是它能很好地考查学生的能力、素养.

在目前高考指挥棒下，数学课堂存在着一种普遍现象：老师讲的多，学生听的多；老师展示的多，学生看的多；老师自问自答的多，学生随声附和的多；关键点、难点被老师直接点破的多，导致学生似懂非懂的多，这种现象产生的直接结果是：课堂上学生仿佛都能听懂，课后自己真正会做的少.课堂上有意挤占学生的思考空间和将学生的思维“模式化、标准化”，充分利用课堂向学生灌输更多的“知识”，这样的方式也许会有短期效果.但久而久之会让学生产生依赖心理，数学思维能力、解题能力难有实质性的提高，不能真正达到对问题理解的状态，在考试中遇到熟悉的题型还可能有一个模式化的反应，但遇到陌生的新情境问题，无“型”可套时，就难以做到随机应变，只得“束手就擒”了[]4.

因此，从数学核心素养的视角看，这道试题出得很有创意，是试卷的一个亮点，一道好题！笔者也从未看过这种通过再次构造函数法将条件化简再进行代换的题型，这在高考数学（特别是全国卷）的基础上更进了一步. 这样有价值的一道题，当然能考.

3.2 从考试区分度看