黑龙江省鸡西市第一中学数学教研室 王荣峰 158100

所谓题目的“结构特征”是指那些能够揭示题目的条件和结论间内在联系的结构特点，通过对这些结构特征进行分析、加工和转化往往可以探究到问题解决的突破口，本文仅就捕捉到结构特征后常见的解题路径加以盘点，以期能对大家有所启发.

1 类比公式

例1 已知f(x)，g(x)均是定义在R 上的函数，且满足f(x-y)=f(x)g(y)-g(x)f(y)，若f(-2)=f(1)≠0，则g( )1 +g(-1)的值为（）.

A.1 B.-1 C.2 D.-2

分析: 公式f(x-y)=f(x)g(y)-g(x)f(y)在结构上与两角差的正弦公式十分相似,因此我们猜测函数f(x)可能也为奇函数.

解: 事实上f(y-x)=f(y)g(x)-g(y)f(x)=-f(x-y) ，从而可知f(x) 必为奇函数，故f(1 ) =f(-2)=f(-1-1)=f(-1)g(1)-g( -1)f(1 )=-f(1 )[g(1)+g(-1)] ,∴g(1)+g(-1)=-1.选B.

点评:破解该题的关键是通过类比猜测到f(x)可能为奇函数，类比属于合情推理，是重要的解题思想和方法，它能为我们提供解题的思路和方向.

2 倒序相加

A.2019 B.2020 C.2021 D.2022

分析: 由M式的结构可挖掘到f(x)+f(1-x)可能为定值，这一隐含条件是采用倒序相加法妙解该题的前提.

点评:倒叙相加法源自教材中等差数列的求和，通过倒叙相加可以避开对M式中项的个数是奇数或偶数的讨论，进而优化解题过程.

3 分离常数

4 乘对偶式

分析:通过乘对偶式可达到分子有理化的目的，分子有理化后再去判断函数的单调性是最常见的思维路径.

5 构造向量

例5 已知数列{an} 是等差数列，其前n项和为Sn，若a+a≤0，则S4的最大值为（ ）.

分析: 能将S4用a1,a7来表示是实现构造向量破解该题的关键，当然该题也可借助数形结合等其它方法来求解.

6 建坐标系

分析: 向量具有几何与代数双重性质，而坐标法是解决向量题最有效的策略，由条件⊥自然联想到可建立坐标系来破解该题.

图1

点评:该题属于难题，但通过合理建立直角坐标系，再借助解析几何和不等式的知识找到了问题解决的突破口，实现了几何问题代数化.

7 特值分析

例7 已知二次函数f(x)=ax2+bx+c（a,b,c∈R,a≠0）满 足2a+3b+6c=0,则f(x)在区间上（）.

A.一定没有零点 B.必有唯一的零点

C.必有两个零点 D.可能有两个零点

分析: 在等式2a+3b+6c=0 中，字母a和b的系数比是2:3 ，而在解析式f(x)=ax2+bx+c中字母a和b的系数之比是x，借助这一信息可想到代入特值x=切入.

点评: 能由2a+3b+6c=0 中字母a和b的系数比是2:3 ，进而联想到代入特值x=进行分析，再借助根的分布原理来判断，需要具备较高的数学素养.

8 构造函数

例8 设a=2 ln 1.01,b=ln 1.02,c=-1，则( ).

A.a＜b＜cB.b＜c＜a

C.b＜a＜cD.c＜a＜b

分析：观察b=ln(1 +0.02 ),c=-1会联想到构造函数f(x)=ln(1+x)-+1，再由a=2ln(1+0.01)，c=-1可联想到构造函数g(x)=2ln(1+x)-+1，于是便可找到问题解决的切入点.解: 首先构造函数f(x)=ln(1+x)-+1，则b-c=f(0.02)，易求得

点评: 该题为2021 高考全国理科乙卷选择题的压轴题，有着很好的区分度.通过观察a,b,c的结构特征进而能想到构造函数f(x)和g(x)需要一定的解题积累和良好的数学素养.

通过挖掘题目的结构特征还可以探究出很多解题路径，限于篇幅，这里不再一一列举.只有平时勤于积累，善于总结，养成解题后反思的好习惯,才能在遇到具体问题时，快速、准确地捕捉到题目的关键结构特征，进而寻找到有效的解题路径.