甘肃省秦安县第二中学 罗文军 741600

圆锥曲线是高中数学主干知识，是高考考查的主干内容，本文对2021 年高考数学全国Ⅰ卷、全国Ⅱ卷、新高考Ⅰ卷和新高考Ⅱ卷中的圆锥曲线试题进行统计和命题规律分析，对部分试题进行赏析，并提出2022高考圆锥曲线试题备考策略.

1 2021 年高考全国卷数学圆锥曲线试题特征统计

2021年高考全国卷数学圆锥曲线试题特征统计

__类别 题型 题号 分值 考查的知识内容 考查的关键能力 考查的学科素养试卷考查的核心素养___全国Ⅱ卷理科选择题_填空______题11 13______________________________逻辑思维能力、运算求解能力____运算求解能力____理性思维、数学探索____理性思维____数学运算、逻辑推理数学运算解答题21 55_____________________________________________________________________________________1逻辑思维能力、运算求解能力、数学建模能力理性思维、数学探索、数学文化数学运算、逻辑推理、数学建模全国Ⅱ卷文科选择题_填空______题11 14______解答题20 2 5 5______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1 5新高考Ⅰ卷单项选__择题填空题14解答题单项选__择题填空题21 2 5 5 1 3新高考Ⅱ卷13逻辑思维能力、运算求解能力____运算求解能力____逻辑思维能力、运算求解能力逻辑思维能力、运算求解能力____逻辑思维能力、运算求解能力____逻辑思维能力、运算求解能力运算求解能力逻辑思维能力、运算求解能力____理性思维、数学探索理性思维理性思维、数学探索理性思维、数学探索理性思维、数学探索____理性思维、数学探索理性思维理性思维、数学探索解答题20 2 5 5 1 2椭圆的定义和几何性质、最值问题______________________________________________双曲线的几何性质___________________________________________抛物线的定义和几何性质、圆的几何性质、弦长公式、导数的几何意义、圆锥曲__________________________________________________________________________________________________________________________线的最值椭圆的定义和几何性质、最值问题____________________________________双曲线的几何性质_________________________________抛物线的方程和圆锥曲线最值问题、向量椭圆的定义、最值问题、基本不等式____________________________________抛物线的几何性质双曲线的定义和方程、圆锥曲线的定值问题抛物线的定义和标准方程双曲线的离心率和渐近线____________________________________________椭圆的标准方程和几何性质、椭圆的弦长公式、直线与圆相切、充分必要条件逻辑思维能力、运算求解能力理性思维、数学探索数学运算、逻辑推理__数学运算__数学运算、逻辑推理数学运算、逻辑推理__数学运算、逻辑推理__数学运算、逻辑推理数学运算数学运算、逻辑推理__数学运算、逻辑推理、直观想象

2 2021 年高考全国卷圆锥曲线试题命题规律分析

从上表可以看出，圆锥曲线的题型都是两道小题一道大题的形式，分值分布都为22 分.从考查的知识点来看，小题主要考查圆锥曲线的定义和几何性质，大题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系、圆锥曲线的最值和定值问题，考查的都是高中数学圆锥曲线部分的必备知识，体现了《中国高考评价体系》中要求的高考试题命制的基础性；部分圆锥曲线解答题和函数与导数、圆、充分必要条件等知识交汇考查，创新了高考数学圆锥曲线试题的结构，体现了高考试题注重在知识交汇处命题的特点，体现了《中国高考评价体系》中要求的高考试题命制的综合性和创新性.从考查的关键能力来看，主要考查逻辑思维能力和运算求解能力.从考查的高考学科素养来看，主要考查理性思维和数学探索的学科素养.从考查的核心素养来看，主要考查了数学运算和逻辑推理的核心素养.特别地，将圆锥曲线知识与其他高中数学基础知识综合在一起考查，增加了试题的难度，考查了考生灵活运用和整合高中数学知识的能力.从圆锥曲线在解答题中呈现的顺序来看，普遍在20 题或者21 题，属于解答题中靠后的位置，这些圆锥曲线解答题第二问普遍难度较大，具有很好的区分度和选拔功能.结合具体试卷，我们会发现全国Ⅰ卷理科与文科圆锥曲线填空题相同，理科和文科圆锥曲线解答题相同.全国Ⅱ卷理科和文科没有相同的圆锥曲线试题.

3 典型试题赏析

例1 （全国Ⅰ卷理科，5）已知F1,F2是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且∠F1PF2=60°,|PF1|=3|PF2|，则C 的离心率为（ ）.

分析:根据双曲线的定义及条件，表示出|PF1|,|PF2|，结合余弦定理可得答案.

解:因为|PF1|=3|PF2|，由双曲线的定义可 得 |PF1|-|PF2|=2|PF2|=2a，所 以|PF2|=a，|PF1|=3a；因为∠F1PF2=60°,由余弦定理可得4c2=9a2+a2-2×3a·a·cos 60°,

A.1 B.2 C.4 D.8

分析:设P(x0,y0)，由B( 0,b) ，根据两点间的距离公式表示出|PB|，分类讨论求出|PB|的最大值，再构建齐次不等式，求解.

评注：本题体现了圆锥曲线与函数的交汇.以上两种解法都是代数法求圆锥曲线的范围问题.解法1 利用了椭圆的几何性质和二次函数的最值，解法2 利用参数方程法，把问题化归为不等式恒成立问题，再结合二次函数的值域求解.

例3（全国Ⅱ理科21)已知抛物线C：x2=2py(p＞0) 的 焦 点 为F，且F与 圆M:x2+(y+4)2=1 上点的距离的最小值为4.（1）求p；（2）若点P在M上，PA,PB是C的两条切线，A,B是切点，求△PAB面积的最大值.

分析：（1）根据圆的几何性质可得出关于p的等式，即可解出p的值；（2）设点A(x1,y1)、B(x2,y2)、P(x0,y0)，利用导数求出直线PA、PB，进一步可求得直线AB的方程，将直线AB的方程与抛物线的方程联立，求出|AB|以及点P到直线AB的距离，利用三角形的面积公式结合二次函数的基本性质可求得△PAB面积的最大值.

例4 （新高考Ⅰ卷，21）在平面直角坐标系xOy中，已知点F1(-,0)，F2(,0)，点M满足|MF1|-|MF2|=2 ，记M的轨迹为C（.1）求C的方程；（2）设点T在直线x=上，过T的两条直线分别交C于A,B两点和P,Q两点，且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.

评析：第（1）问考查了利用双曲线的定义求轨迹，第（2）问考查了直线与双曲线的位置关系，利用韦达定理、弦长公式求解，即使运算能力达不到，按常规套路去做也可以得到一半以上的分数，着力考查了考生利用几何图形进行代数运算的能力，考查了综合思维能力，考查了考生分析问题和解决问题的能力.以上解法1 运算量较大，解法2 运用了参数方程法，运算量较少.本题可以看成源自人教A 版选修4-4 课本《坐标系与参数方程》直线的参数方程第38页例4.

试题评价：这道试题第（1）问考查了椭圆的几何性质和待定系数法求椭圆的标准方程，第（2）问将直线、椭圆、圆和充分必要条件有机结合，体现了《中国高考评价体系》中要求的高考数学试题命制的基础性和综合性，突出考查了数形结合思想和方程思想，考查了《中国高考评价体系》中要求的逻辑思维能力和运算求解等关键能力，着力考查了逻辑推理、数学运算和直观想象的数学学科核心素养.从试题的设计上来看，试题在考查基础知识和基本技能的同时，也考查了考生分析问题和解决问题的能力以及综合思维能力，试题第（2）问解法灵活多样，有利于不同学习程度的学生作答，具有很好的区分度和选拔功能.

评注：证必要性时，把点M,N,F三点共线转化为直线MN经过点F，设出直线MN的方程，根据直线与半圆相切则圆心到直线距离等于圆的半径，解出m2的值，再运用弦长公式，整体代换后可得出弦长|MN|= 3 ；证充分性时，根据直线与半圆相切和弦长公式可解出m的值，得出直线MN经过点F.

4 2022年高考圆锥曲线备考策略

另一面，教师要引导学生做近三年高考真题，把近三年的高考圆锥曲线真题按不同考点：椭圆的定义和标准方程、椭圆的几何性质、双曲线的定义和标准方程、双曲线的几何性质、抛物线的定义和标准方程、抛物线的几何性质和直线与圆锥曲线的位置关系分类整理，做成专题供学生练习使用.在圆锥曲线的复习中，也要渗透一定的数学文化，例如黄金分割椭圆和黄金分割双曲线、阿基米德三角形、蒙日圆、圆锥曲线中的蝴蝶定理和舒腾的椭圆规问题.