上海市松江二中 卫福山 201600

“DIMA”是“基于现代信息技术的数字化数学活动”的简称，即数字化（Digitization）、信息技术（Information technology）、现代（Modern）、数学活动（Mathematics activities）的简称.“DIMA 平台”是指以计算机或计算器为支撑，拥有智能软件和丰富课件，连接信息网络的、能够开展现代信息技术的数字化数学活动的数学教学软硬件设备系统. 基于DIMA 平台的高中数学实验教学，是指在高中数学教学过程中，为了达到数学实验的目的，根据我国高中数学课程标准和学生认知水平及学生的数学知识基础，选择适当的数学内容，创设一定的教学情境，设计一系列问题，经过某种预先的组织，充分地利用DIMA 平台等实践手段，增加辅助环节，通过学生自己操作或教师演示，以问题为中心，引导学生进行观察、发现、讨论、分析、归纳、猜想等思考与探究，完成某个数学实验任务，从而通过让学生亲身经历数学知识的产生过程，培养学生的数学思维能力、创新能力和探究能力，提高学生数学核心素养的一种数学教学活动.

笔者最近在教学中遇到一道高考试题，正常讲解学生比较难以理解，基于DIMA 平台利用几何画板演示后，学生便能正确而清楚地理解，学生在教师的启发引导下，又对此题作进一步的深入研究，收获很大.

问 题1 （2009 上 海 理14）将 函 数y=-2(x∈[0 ，6])的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角θ(0 ≤θ≤α)，得到曲线C.若对于每一个旋转角θ，曲线C都是一个函数的图像，则α的最大值为_______.

分析：本题有两个难点需要突破，其一，函数y=-2(x∈[0 ，6])的图像怎么画？其二，“对于每一个旋转角θ，曲线C都是一个函数的图像”这个条件如何理解？对第一个难点很容易突破，基础稍好的同学容易发现如下的变形：将y=-2(x∈[0 ，6])移项平方变形得(x-3)2+(y+2)2=13 (x∈[0 ，6])，结合关于解析几何中圆的基础知识易得以上函数的图像是以(3,-2)为圆心， 13 为半径的一段圆弧（x轴上方部分），如图1 所示. 因此本题是一道函数与解析几何综合性问题. 对第二个难点，虽然作为一个函数的图像利用函数的定义知对每一个x，总是存在唯一的y与之对应，也即垂直于x轴的直线与曲线C最多只有一个交点.但问题是曲线C是由函数的图像经过旋转而得到，这种动态变化特别要寻找旋转的临界位置（即α的最大值）让很多学生感到无从下手.

图1

如何突破第二个难点呢？

思路1：笔者在课堂上尝试在DIMA 平台下利用画板软件中图形旋转的动态演示，看上去一目了然.

如图2所示，函数y=-2(x∈[0 ，6])的图像即图2 中的曲线0，让它逆时针旋转到曲线1、2 时显然是函数的图像，而旋转到曲线3 时就不是函数的图像（曲线3 与y轴有两个交点，即x=0 时函数值有两个）. 因此通过这种几何画板动画演示学生不难发现只要曲线0 在逆时针旋转时，图像不越过y轴，所得的曲线还是函数的图像. 因此，临界位置应该是与y轴相切的位置. 如何求临界位置时最大的旋转角α呢？可以采用逆向思维，即图2 中曲线0 逆时针旋转最大角α时即与y轴相切，这相当于让y轴顺时针方向旋转角α时与曲线0 相切，即研究过原点的直线与函数y=-2(x∈[0 ，6]) 相切，设直线方程序为y=kx，结合直线与相切的基础知识易得于是切线y=kx的倾斜角为

图2

思路2：运动方向的相对性

函 数y=-2(x∈[ ]0，6) 的图像在逆时针方向旋转的过程中始终应该是函数的图像，通过思路1 的几何画板动画演示我们可以发现曲线C与y轴始终只有一个交点（有两个交点时就不是函数的图像，如图2 的曲线3）.结合运动的相对性，即让y轴按顺时针方向旋转如图3 所示的直线l相切位置时符合要求，于是可以求出

图3

思路3：旋转变换

问题1 关于函数图像的旋转问题将函数的概念与解析几何中曲线的运动变化联系起来，非常有新意.值得一提的是2018 上海高考又出现了与之类似的题目.

问题2（2018上海高考）设D是含数1的有限实数集，f(x)是定义在D上的函数，若f(x)的图像绕原点逆时针旋转后与原图像重合，则在以下各项中，f(1)的可能取值只能是（ ）.

分析与解：本题较问题1感觉更加开放，但作为数学选择题只有一个正确答案的前提下又有点匪夷所思，难道f(1)只能取某一个固定的值？而题目中的f(x)也没有确定.题目中关键的一句话“若f(x)的图像绕原点逆时针旋转后与原图像重合”理解很重要.既然点(1,f(1))在函数的图像上，依次旋转，记=r,tanα=，则根据三角比 的 定 义 有(1,f(1))=r(cosα,sinα) ，于 是都 在 函 数 的 图 像 上，由 于 cosα与cos(α+·n)可能相等，即这样的点的横坐标相等，一旦纵坐标不相等，就不符合函数的定义.因此不难得出f(1)的值只要使得点P(1,f(1))与原点组成的射线OA在逆时针旋转的过程中存在关于x轴对称的情况出现时，就肯定不能作为函数的图像了. 因此选（B）.

利用几何画板动画演示只要给定f(1)的值，让点P(1,f(1))不断逆时针旋转，观察P(1,f(1))旋转后是否有关于x轴对称的点出现即可.

关于曲线与函数的旋转，有一道类似的问题，即

分析与解：我们比较熟悉的反比例函数y=即是双曲线，其实就是坐标系旋转变换的典型例子（坐标系逆时针旋转45°即将y=化为双曲线x2-y2=1，反之类似）. 本题就是将双曲线旋转（逆时针或顺时针）成函数（反比例函数y=）的问题.利用几何画板旋转变换，让双曲线-y2=1 绕坐标原点O旋转起来，观察旋转到何时就是函数（垂直于x轴的直线与曲线至多一个交点），函数的性质一目了然.

通过问题1、2、3，在解析几何或函数中有关图形的旋转问题中，在DIMA 平台下利用几何画板等数学软件，有助于学生更清晰看清问题的本质，教师要在直观观察的背后引导学生进行严格的推论与计算，这里坐标系的平移变换将是非常好的拓展内容.