吕相红

换元法的应用原理是等量代换，即把一个式子或者其中的某一部分看成一个整体，用一个变量去代替它，从而达到化简式子的目的.在解题时，需根据实际情况选择合适的代数式，灵活进行换元，可以化簡代数式，转换解题的思路.下面谈一谈两种常用的换元技巧.

一、三角换元

三角换元是将变量用三角函数替换的方法.当遇到形如 a2 + b2 = r2 的代数式时，可将其与三角函数关系式 sin2 x + cos2 x = 1进行类比，令 a = r sin x ，b = r cos x ，通过等量代换将问题转化为三角函数问题，利用三角函数的基本公式、性质、图象解题.在换元的过程中要关注自变量和角度 x 的取值范围.

例1.已知 a2 + b2 = 1，x2 + y2 = 1，求证：ax + by ≤ 1.

证明：因为 a2 + b2 = 1，x2 + y2 = 1，

所以设 a = sin α ，b = cos α ，x = sin β ，y = cos β ，

所以 b = cos α ，x = sin β ，y = cos β ，

那么 ax + by = sin α sin β + cos α cos β = cos（α - β） ≤ 1 .

我们先将已知条件和所求目标关联起来，发现需要分别求得 a、b、x、y ，于是根据 a2 + b2 = 1 ， x2 + y2 = 1 的结构特征，进行三角换元，将目标式转化为三角函数式，根据两角和公式将其化简为余弦函数，再利用余弦函数的有界性证明不等式成立.

二、均值换元

均值换元是指将两个变量用其平均值和一个新元表示出来，以实现换元. 若 x + y = 2S ，则可设x2 + y2 = 1，其中 S 是x，y的平均值，t 是新元.这样便将变量用新元 t 替换，从而达到减少一个元的目的，使问题变得简单.

例 2.如果 （z - x）2 - 4（x - y）（y - z）= 0， 求证：x，y，z成等差数列.

证明：设 x - y = a ，y - z = b ，则 x - z = a + b ，可得 （a + b）2 - 4ab = 0 ，

所以 （a - b）2 = 0 ，解得 a = b ，将 x - y = a，y - z = b代入（z - x）2 - 4（x - y）（y - z）= 0 ，

可得 x - y = y - z ，

所以 x，y，z 成等差数列.

解答本题，需先仔细观察已知关系式的特征，明确 x - y 、y - z 、z - x 可轮换的特点，然后通过均值换元将目标式化简，从而明确 x，y，z 之间的关系.

例3.已知△ABC 的内角 A，B，C 成等差数列，且其对边a，b，c满足 2b2 = 3ac ，求角 A .

解：因为△ABC 的内角 A，B，C 成等差数列，

所以ìíîA + B + C = 180°， 2B = A + C，

可得 b = 60° ，A + C = 120°.

因为 2b2 = 3ac ，

所以由正弦定理可得 2 sin2B = 3 sin A sinC，得 sin A sinC = 12 ，设ìíîA = 60° + α， C = 60° - α，

其中 -60° < α < 60° ，

所以 sin（60° + α）sin（60° - α）= 12 ，

可得 cos2α = 34，解得 cos α = ± 23 ，

所以 a = ±30° ，可得 A = 90° 或 A = 30°.

在解答本题时，我们需先利用三角形的内角和为180o的性质以及正弦定理建立三个角之间的关系式，然后根据 A + C = 120° 这一关系进行均值换元，建立关于 α 的关系式，求得 α 的值，即可求得角 A 的大小.

换元法在解答高中数学问题中应用广泛，但在实际应用的时候要注意几个问题，如，是否选择合适的代数式进行换元，是否考虑变量的取值范围，新元的取值范围是否满足题意，换元后的代数式该如何处理等.只有处理好了这些问题，才能巧妙地运用换元法破解难题.

（作者单位：江苏省滨海县八滩中学）