曹妍妍， 陆炎珂， 魏俊潮

(扬州大学数学科学学院，江苏扬州 225002)

1 引 言

AGA=A，GAG=G， (AG)H=AG， (GA)H=GA，

则称G为A的Moore-Penrose逆矩阵，简称MP逆矩阵.众所周知，任意复矩阵A有唯一的MP逆矩阵，通常记为[1].

若存在复矩阵X，满足条件

AXA=A， XAX=X， AX=XA，

则称A是群可逆矩阵，并称X是A的群逆矩阵.但并不是每个矩阵都是群可逆矩阵.一个复矩阵A是群可逆矩阵当且仅当rank(A)=rank(A2).若A是群可逆矩阵，则其群逆矩阵是唯一确定的，通常记为A#[2].

设A是群可逆矩阵，且A#=A+，则称A是range-Hermitian矩阵(简称EP矩阵)[3].近年来，关于EP矩阵及环上EP元的研究很多，有兴趣的读者可参考文献[4-7].

设A是n阶复矩阵，若AAH=AHA，则称A是正规矩阵[8-10]，受参考文献[9-11]的启发，本文主要借助EP矩阵的构造，研究正规矩阵的性质刻画，这是研究正规矩阵的新方法.

2 主要结果

引理1设A是群可逆矩阵，则AAH(A#)H是EP矩阵，且(AAH(A#)H)+=AA+A+.

证因为

(AAH(A#)H)(AA+A+)=AAH((A#)HAA+)A+=A(AH(A#)HA+)=AA+，

且

(AA+A+)(AAH(A#)H)=AA+(A+AAH)(A#)H=A(A+AH(A#)H)=AA+，

所以

(AAH(A#)H)(AA+A+)=(AA+A+)(AAH(A#)H)=((AAH(A#)H)(AA+A+))H，

因为

(AA+A+)(AAH(A#)H)(AA+A+)=AA+(AA+A+)=AA+A+，

且

(AAH(A#)H)(AA+A+)(AAH(A#)H)=AA+(AAH(A#)H)=AAH(A#)H，

AAH(A#)H是EP矩阵且(AAH(A#)H)+=(AAH(A#)H)#=AA+A+.

定理1设A为n阶群可逆矩阵，则A为EP矩阵当且仅当(AAH(A#)H)+=A+.

证必要性.假设A为EP矩阵，则AA+A+=A+.故由引理1知(AAH(A#)H)+=AA+A+=A+.

充分性.假设(AAH(A#)H)+=A+.则由引理1知AA+A+=A+.右乘AAH得AA+AH=AH，取共轭转置得A=A2A+，故A#A=A#A2A+=AA+.因此A为EP矩阵.

定理2设A∈n×n为群可逆矩阵，则A为正规矩阵当且仅当(AHA(A#)H)+=AA+A+.

证必要性.由于A为正规矩阵，则AAH=AHA，故AHA(A#)H=AAH(A#)H，由引理1知

(AHA(A#)H)+=AA+A+.

充分性.假设(AHA(A#)H)+=AA+A+，则

AHA(A#)HAA+A+=(AHA(A#)HAA+A+)H，

(1)

且

AHA(A#)HAA+A+AHA(A#)H=AHA(A#)H.

(2)

由(1)知

AHA(A#)HA+=(A+)HA#AHA，

(3)

将(3)式右乘En-AA+得

(A+)HA#AHA(En-AA+)=O.

(4)

将(4)式左乘(A+)HA+A2AH得A(En-AA+)=O，故A为EP矩阵.由(1)知

AHA(A#)H=AHA(A#)HA+AHA(A#)H，

(5)

(5)式左乘(A+)H，右乘AHA+A得

A=A(A#)HA+AHA，

(6)

(6)式左乘A+，右乘A+得A+=(A#)HA+AH.故AHA+=AH(A#)HA+AH=A+AH.由于A为EP矩阵，故

AHA#=A#AH，

(7)

将(7)等式左右两边同时右乘A得

AHAA+=A#AHA.

(8)

将(8)等式左右两边同时左乘A得AHA=AAH，从而A为正规矩阵.

定理3设A为群可逆矩阵，则(AHA(A#)H)+=AA+AHA+(A+)H.

证因为

(AA+AHA+(A+)H)(AHA(A#)H)=AA+AHA+A(A#)H=AA+AH(A#)H=AA+，

且

(AHA(A#)H)(AA+AHA+(A+)H)=AHA(A#)HAHA+(A+)H=AHAA+(A+)H=A+A.

所以

(AHA(A#)H)(AA+AHA+(A+)H)=((AHA(A#)H)(AA+AHA+(A+)H))H，

(AA+AHA+(A+)H)(AHA(A#)H)=((AA+AHA(A+)H)(AHA(A#)H))H.

由于

(AHA(A#)H)(AA+AHA+(A+)H)(AHA(A#)H)=A+A(AHA(A#)H)=AHA(A#)H，

(AA+AHA+(A+)H)(AHA(A#)H)(AA+AHA+(A+)H)=AA+(AA+AHA+(A+)H)=AA+AHA(A+)H，

故

(AHA(A#)H)+=AA+AHA+(A+)H.

由定理2及定理3可得下面的推论:

推论1设A为群可逆矩阵，则A为正规矩阵当且仅当A+AHA+(A+)H=A+A+.

证必要性.假设A为正规矩阵，则由定理3知(AHA(A#)H)+=AA+A+，又由定理3知

(AHA(A#)H)+=AA+AHA+(A+)H，

因此AA+A+=AA+AHA+(A+)H，左乘A+得A+A+=A+AHA+(A+)H.

充分性.假设A+A+=A+AHA+(A+)H，则由定理3知

(AHA(A#)H)+=AA+AHA+(A+)H=AA+A+，

由定理2知A为正规矩阵.

引理2设A为群可逆矩阵，B为n阶方阵，若A+A+B=O，则A+B=O.

证由于A+=(A#)HAHA+=(A#)HAHAA+A+，故A+B=(A#)HAHAA+A+B=O.

定理4设A为群可逆矩阵，则A为正规矩阵当且仅当AHA+(A+)H=A+.

证必要性.假设A为正规矩阵，则由推论1知A+AHA+(A+)H=A+A+，故

A+A+(En-AAHA+(A+)H)=O，

由引理2知A+=AHA+(A+)H.

充分性.若A+=AHA+(A+)H，则A+A+=A+AHA+(A+)H，由推论1知A为正规矩阵.

引理3设A为群可逆矩阵，则AHA+(A+)H是EP矩阵且

(AHA+(A+)H)+=AHA(A#)HA+A.

证因为

(AHA+(A+)H)(AHA(A#)HA+A)=AHA+((A+)HAH)A(A#)HA+A，

AHA+((A+)HAH)A(A#)HA+A=AHA+A(A#)HA+A，

AHA+A(A#)HA+A=AH(A#)HA+A=A+A，

所以

(AHA+(A+)H)(AHA(A#)HA+A)(AHA+(A+)H)=A+AAHA+(A+)H=AHA+(A+)H.

又因为

(AHA(A#)HA+A)(AHA+(A+)H)=AHA(A#)HAHA+(A+)H=AHAA+(A+)H，

AHAA+(A+)H=AH(A+)H=A+A.

所以

(AHA(A#)HA+A)(AHA+(A+)H)(AHA(A#)HA+A)=AHA(A#)HA+A，

且[(AHA+(A+)H)(AHA(A#)HA+A)]H=(A+A)H=A+A=(AHA+(A+)H)(AHA(A#)HA+A)，

(AHA+(A+)H)(AHA(A#)HA+A)=(AHA(A#)HA+A)(AHA+(A+)H)，

故AHA+(A+)H为EP矩阵且(AHA+(A+)H)+=AHA(A#)HA+A.

定理5设A为群可逆矩阵，则A为正规矩阵当且仅当AHA(A#)HA+A=A.

证必要性.若A为正规矩阵，则由定理7知，AHA+(A+)H=A+，又由引理4知

AHA(A#)HA+A=(AHA+(A+)H)+=(A+)+=A.

充分性.假设AHA(A#)HA+A=A，所以由引理4知

(AHA+(A+)H)+=A=(A+)+， AHA+(A+)H=A+，

由定理3知A为正规矩阵.

推论2设A为群可逆矩阵，则A为正规矩阵当且仅当AHA(A#)HA+=AA+.

证必要性.若A为正规矩阵，则由定理5知， AHA(A#)HA+A=A，右乘A+得

AHA(A#)HA+=AA+.

充分性.若AHA(A#)HA+=AA+，右乘A得AHA(A#)HA+A=A，由定理5知A为正规矩阵.

推论3设A为群可逆矩阵，则A为正规矩阵当且仅当AHA(A#)H=A.

证必要性.若A为正规矩阵，则A为EP矩阵，且由定理5知，AHA(A#)HA+A=A，由于(A#)HA+A=(A#)HAA+=(A#)H，故AHA(A#)H=A.

充分性.若AHA(A#)H=A，左乘En-A+A得(En-A+A)A=O，故A=A+A2，从而A为EP矩阵.因此(A#)H=(A#)HAA+，于是

A=AHA(A#)H=AHA(A#)HA+A，

由定理5知A为正规矩阵.

定理6设A为群可逆矩阵，则A为正规矩阵当且仅当A(A#)H=(A+)HA.

证必要性.由于A为正规矩阵，由推论3知AHA(A#)H=A，左乘(A+)H得

A(A#)H=(A+)HA.

充分性.若A(A#)H=(A+)HA，右乘AA+得(A+)HA=(A+)HA2A+，左乘A#AAH得A=A2A+，故A为EP矩阵.从而

AHA(A#)H=AH(A+)HA=A+A2=A，

由推论3知A为正规矩阵.

引理4设A为群可逆矩阵，则

(i) A(A#)H为EP矩阵，且(A(A#)H)+=AA+AHA+；

(ii) ((A+)HA)+=A+AA#AH；

(iii) A是EP矩阵当且仅当(A+)HA是EP矩阵.

证(i) 因为

(A(A#)H)(AA+AHA+)=A(A#)HAHA+=AA+，

(AA+AHA+)(A(A#)H)=AA+AH(A#)H=AA+，

又

(AA+AHA+)(A(A#)H)(AA+AHA+)=AA+(AA+AHA+)=AA+AHA+，

(A(A#)H)(AA+AHA+)(A(A#)H)=AA+(A(A#)H)=(A(A#)H)，

故A(A#)H为EP矩阵，且(A(A#)H)+=AA+AHA+.

(ii) 因为

(A+AA#AH)((A+)HA)=A+AA#A=A+A，

((A+)HA)(A+AA#AH)=(A+)HAA#AH=(A+)HAH=AA+，

又

((A+)HA)(A+AA#AH)((A+)HA)=AA+((A+)HA)=((A+)HA)，

(A+AA#AH)((A+)HA)(A+AA#AH)=A+A(A+AA#AH)=A+AA#AH，

故((A+)HA)+=A+AA#AH.

(iii)这是(ii)的直接推论.

推论4设A为群可逆矩阵，则A为正规矩阵当且仅当AA+AHA+=A+AA#AH.

证必要性.由定理6和引理4知

AA+AHA+=(A(A#)H)+=((A+)HA)+=A+AA#AH.

充分性.因为AA+AHA+=A+AA#AH，所以由引理4知

(A(A#)H)+=A+AA#AH=((A+)HA)+，

则A(A#)H=(A+)HA，由定理6知A为正规矩阵.

3 结 论

本文通过对EP矩阵和群可逆矩阵的性质研究，对正规矩阵的性质给出更加简洁明了的证明，并且文中将三种矩阵互相推导，提供了有研究价值的证明，为正规矩阵性质刻画提供了新方法、新角度，阐明了正规矩阵的性质.

本文最初的出发点是通过构造EP矩阵，并且借助这些EP矩阵的形式变换，给出正规矩阵的性质刻画.该问题和EP矩阵的新的形式变换密切相关.

致谢作者非常感谢相关文献对本文的启发以及审稿专家提出的宝贵意见.