梁秀俊， 刘 璐， 刘彦丰， 李 斌

（华北电力大学动力工程系，河北保定 071003）

0 引 言

传热学是一门研究热量传递规律的学科，是能源与动力工程、能源与环境系统工程、新能源科学与工程等诸多专业的重要专业基础课程［1］。导热是传热的主要模式，也是在学习传热学中最先接触到的内容。根据温度场是否随时间变化，导热问题可分为稳态与非稳态，根据温度场在空间的变化可分为不同坐标系中的一维、二维和三维问题，还可根据导热体内部是否有热源分为有、无内热源的导热。对导热问题的学习，要求学生理解等温线、温度梯度、内热源等概念，研究边界上的换热条件和材料物性等对温度场的影响规律［2］。截面为矩形的长柱体导热是工程常遇到的导热现象，属于典型的直角坐标系中二维导热问题，其导热方程为二阶偏微分方程。采用数学分析解法需要求解二阶偏微分方程，且对定解条件有严格的限制；如果采用真实的导热实验平台研究，则很难进行多参数的改变，并且建立一个稳定的工况需要很长的时间，因此在实际的教学中极少使用。随着网络通信技术的发展和基于学习产出的教育（Outcomes-based Education，OBE）OBE理念的引入，越来越多的互联网+技术应用到各学科的教学实践中［3-7］。开发实验虚拟仿真系统有助于能源动力类创新人才的培养［8-10］，在教育部发布的《虚拟仿真实验教学课程建设指南》（2020年版）中能源动力类项目就包含“二维导热温度场的数值仿真”。

姜昌伟等［11］提出的基于Matlab传热学虚拟实验开发，仅限于二维稳态导热的虚拟实验。周永利［12］等应用Matlab编写了一个导热仿真软件，但仅可以模拟无内热源、4个边界均为第一类边界情况下二维区域的温度场。张程宾等［13］应用Matlab开发了导热实验仿真软件，包括矩形二维温度场的模拟，可对不同边界条件下不含内热源、稳态或非稳态温度场的模拟。王辉等［14］利用Fluent开发了球体一维导热虚拟实验平台。本文基于Java语言开发了一个在线的导热实验虚拟仿真软件，软件包括平壁、圆筒壁、球壳、等截面直肋、二维矩形区域等5个仿真实验模块，其中二维矩形区域模块以非稳态、含内热源和4个边界可区别设置的对流传热为基础编制。软件是免费、无需安装的在线网页模式，实现了实验仿真的共享［15-16］，本文主要以二维矩形区域模块为例对软件的开发和功能进行介绍。

1 仿真对象及模拟方法

1.1 仿真对象

仿真对象是一个矩形截面长柱体内的温度场，几何模型如图1所示。矩形的长度和宽度分别为a和b。材料的密度ρ、比热容c及导热系数λ为常数。初始温度为t0，有均匀的内热源˙Φ，柱体左、右、上、下4个侧面均为第3类边界条件，表面传热系数分别为h1、h2、h3和h4，流体温度分别为tf1、tf2、tf3和tf4。

图1 研究对象几何模型示意图

1.2 数学模型

如图1所示的导热问题为直角坐标系中二维非稳态、常物性、有内热源的导热问题，温度t与时间τ、空间坐标x、y有关：

1.3 仿真模拟方法

数值离散采用有限差分法，对区域的网格划分如图2所示。两个坐标的空间步长分别为Δx和Δy，两个坐标方向的总节点数分别为M和N，时间步长为Δτ。

图2 区域离散示意图

采用隐式差分格式，列出所有节点的差分方程并构成方程组，迭代求解得到所要求解时刻的各节点的温度。以下给出了部分节点隐式格式的差分方程：

（1）左下角节点（1，1）

（2）下边界节点（m，1）

（3）右下角节点（M，1）

（4）任意内节点（m，n）

式中：Con=Δτ˙Φ/（ρc）；Fox=aΔτ/（Δx）2；Foy=aΔτ/（Δy）2；Bi1=h1Δx/λ；Bi2=h2Δx/λ；Bi4=h4Δy/λ。

2 软件的开发

导热实验虚拟仿真平台是利用有限差分的数值计算方法和Web的交互式数据可视化技术进行开发的。仿真平台后端采用NODE.JS的Express框架，前端采用H5技术和响应式界面技术，使用ECharts和D3.JS交互式数据可视化技术进行开发，部署在Gitee（码云）提供的Pages云托管服务中。

软件主界面如图3所示，包括5个子模块、软件说明和使用反馈联系方式。点击图标“二维导热虚拟实验”进入如图4所示的二维导热模块。

图3 软件主界面

图4 二维导热虚拟实验界面

图4（a）为计算参数输入部分，包括导热体几何尺寸、初始温度、物性参数的输入，数值求解时两个方向的节点数和时间步长的输入，计算一次的时间输入，上边界的对流边界条件输入，其他3个边界条件的输入类似，在图4（b）中显示。当输入参数不符合软件规定时，弹出对话框提示某项数值超出范围。程序中输入了一些材料的物性参数，可从下拉菜单“选择常用物质”中选择，如纯铜、纯铝、木材、羊肉、土豆等，则输入框中的物性参数自动随之改变。

点击“开始”按钮即开始运算，点击“继续”按钮则接着计算，按钮下的进度条反映计算进程，计算结束后，输出总计算时间和4个边界上单位长度的吸热热流量。计算过程中实时动态显示图4（b）中的温度场和图4（c）对应的等温线。

3 软件功能实现

该软件作为教学辅助软件，从以下方面帮助学生对深刻理解的传热学基本概念。

3.1 稳态、非稳态和内热源等概念理解

传热学教材中，一般只给出以下定义：在导热过程中，如果各空间位置处的温度不随时间发生变化，称为稳态导热，否则称为非稳态导热。在实际学习中，学生很难理解。该软件可以帮助学生对这些基本概念的理解，以前文1.2所述的二维导热问题为例，计算区域为正方形，且区域内有均匀的内热源，在软件中输入表1所示数据，点击开始，可见，由于有内热源产生热量，导热体温度升高，并且内部温度高于表面温度，可直观得出此时导热体内是有内热源的非稳态导热，600 s时的温度场如图5（a）所示，点击”继续”两次，可分别得到1 200 s和1 800 s时的温度场，如图5（b）、（c）所示。计算过程中，鼠标所在位置能显示节点位置和节点温度，当计算时间为3 000 s时，动态显示的温度场不再随计算时间增长而变化，如图5（d）所示，柱体内的导热即为有内热源的稳态导热。由图5可见，同一点随时间的增长升温速率下降，直到达到稳态，温度不随时间发生变化。

图5 温度场变化示意图

除了根据图像可以直观判断此时为稳态导热，还可以根据能量守恒定律判断。取柱体单位长度，则内热源单位时间产生的热量是4 kW，如图5（d）所示，软件显示4个表面散失的热流量相同都是1 kW，说明内热源产生的热量全部通过4个表面散出，导热为稳态的。

3.2 等温线特点

该软件除了温度分布的直观表示，还把温度场计算结果用5条不同颜色的等温线表示，两条相邻的等温线的温差是相等的（以表1的数据输入）。

表1 功能1输入参数

计算到稳态时，等温线如图4（c）所示，可见，等温线在导热体内连续封闭，只会在导热体边界上终止，不同温度的等温线不会交叉；等温线的疏密可以直观反映温度梯度的大小。由于计算区域内初始温度和热源强度分布均匀，而4个边界的边界条件相同，因此温度场上下、左右对称。

将输入数据中的宽度改为50 mm，下边界改为绝热，则得到图6（a）的等温线，继续将长度也改为50 mm，左侧边界也改为绝热，得到图6（b）的等温线，可以直观看出等温线垂直于绝热面。

图6 不同绝热条件下等温线示意图

3.3 边界条件对温度场的影响

实验平台默认的是第3类边界条件，通过不同的设置，可以把第3类边界条件转化为第1类或第2类绝热的边界条件。

当把边界的表面传热系数输入“0”值时，由牛顿冷却公式可得热流密度q=0，即为绝热的边界条件。如设置左侧和下侧的表面传热系数均为“0”，则得到图6所示的等温线。

当把边界的表面传热系数h设置为很大的数值时，即与导热系数λ之比h/λ很大时，边界上的温度等于环境温度，为第一类边界条件。如图7所示，当h=1 MW/（m2·K），λ=10 W/（m·K）时，导热体边界上的温度为环境温度60℃。

图7 第3类边界条件转变为第1类边界条件示意图

3.4 其他功能

（1）帮助学生了解物性参数对导热体温度场的影响。通过改变导热系数、密度、比热容观察温度场的变化。如仅仅把表1中的密度和比热容分别减小到775 kg/m3和46 J/（kg·K）时，600 s已达到了稳态，继续缩短计算时间可以发现15 s时就能达到稳态。说明，其他条件相同时，较小的密度和比热容可以缩短非稳态导热的时间。

（2）分析一维平壁的导热。当把计算区域的上下边界设置为绝热时，该二维导热问题简化为一维平壁的导热，可以发现平壁的等温线为平行的直线，如图8所示。在此基础上，改变参数即可探究平壁的温度场变化情况。

图8 一维平壁的等温线

4 结 语

基于网页的在线导热实验虚拟仿真平台实现了5种条件下的导热数值模拟和可视化结果演示，该仿真平台于2021年3月8日上线，目前已有1 200人次使用，分布在全国20个省。仿真平台可适用于电脑、平板、手机等多种终端的浏览器中，兼容谷歌、IE、Safari和微信内置浏览器等多种使用环境，用户体验好，使用方便。平台采用的交互式数据可视化技术，使得仿真过程、仿真结果均可用图表动态展示，美观生动；用户可使用鼠标或触摸查看图表中实验数据，操作简单实用。随时随地将虚拟仿真应用于课程学习、课后复习中，有助于提高学生学习兴趣，加深对一些基本概念的理解，具有较高的教学实用性。