徐峰祥， 董 壮， 苏建军

(1. 武汉理工大学 现代汽车零部件技术湖北省重点实验室，武汉 430070；2. 武汉理工大学 汽车零部件技术湖北省协同创新中心，武汉 430070；3.湖北齐星汽车车身股份有限公司，湖北 随州 441300)

对于变厚度薄板的振动特性，只有在极少数情况下才能求得固有频率的解析解，更多的是采用近似方法进行数值求解，如有限元法[1]、有限差分法[2]、微分求积法[3]等。变厚度薄板按照厚度变化方式可分为线性变厚度和非线性变厚度，目前对于其振动特性的研究，大多集中于理论近似求解，如Malekzadeh等[4]利用微分求积法，对经典边界下的单向线性和非线性变厚度薄板进行了理论求解。苏淑兰等[5]对Levy型薄板振动问题提出以二次样条函数为基础发展而来的近似求解方法。Shufrin等[6]通过扩展的Kantorovich方法与精确的单元方法相结合，为处于不同边界条件下的变厚度薄板的固有频率提供了精确的数值计算。薛开等[7-8]基于Li等[9-11]的傅里叶级数法思想，提出改进方案。Sakiyama等[12]基于矩形板的格林函数法，提出了一种可分析任意厚度可变的薄矩形板自由振动的近似方法。从上述文献可以看出，国内外的学者研究变厚度薄板，大多集中于利用各类求解方法，计算其振动特性，并没有过多的考虑变厚度薄板与对应的等质量等厚度薄板之间的振动特性的差异和厚度分布对薄板振动特性的影响。

本文利用连续变厚度薄板的振动理论，结合模态分析软件对不同类型的变厚度薄板进行建模仿真验证，在与不同文献的理论解对比验证仿真结果的准确性后，进一步对变厚度薄板进行厚度划分并赋予厚度变化方程，分别为单向线性、单向非线性、双向线性和双向非线性变厚度薄板四大类，并研究其各自相对于对应的等质量等厚度薄板振动特性的差异。以此为基础，建立一种新型的厚度分布形式，即双向阶梯变厚度薄板。然后通过仿真分析和数值对比，验证了这种新型变厚度薄板的振动特性比以上4种变厚度薄板更为优秀，最后将研究范围由经典边界条件扩充至弹性边界条件，旨在扩大其实际应用的范围和价值。

1 变厚度薄板理论基础

1.1 理论模型及边界条件

关于薄板振动的经典边界条件有自由、简支和固支3种情况。如图1所示，为变厚度薄板的结构示意图，横坐标长为a，纵坐标宽为b。

图1 薄板的理论模型

薄板经典边界的实现，是通过控制其边界的横向位移弹簧、扭转约束弹簧和旋转约束弹簧的刚度值K1，K2，K3。取薄板的一条边x=a为例，以下为这3种情况具体的方程表达式为：

(1)自由边界条件，弯矩、扭矩和剪力均为零，本文用F表示。

Mx|x=a=0,Mxy|x=a=0,Vy|x=a=0

(1)

其在模型中的3个弹簧刚度值对应设置为

K1=K2=K3=0

(2)

(2)简支边界条件，挠度和弯矩均为零，本文用S表示。

(3)

其在模型中的3个弹簧刚度值对应设置为

K1=K2=∞,K3=0

(4)

(3)固支边界条件，挠度和转角均为零，本文用C表示。

(5)

其在模型中的3个弹簧刚度值对应设置为

K1=K2=K3=∞

(6)

1.2 薄板振动特性的求解

由基尔霍夫假设和薄板振动理论得连续变厚度薄板的自由振动的位移控制方程为

(7)

采用改进后的Fourier级数方法，把对应的位移函数用Fourier余弦级数和辅助Fourier级数的表示，其具体的表示形式为

(8)

式中：Amn为改进后的Fourier系数;ψm(x)和ψn(y)分别为变厚度矩形薄板在X轴方向上和Y轴方向上的振型函数。

对于上述所提的连续变厚度薄板结构，其最大的应变能可以书写为

V=Vplate+Vspring

(9)

式中：Vplate为变厚度薄板的应变能；Vspring为其边界上3种限制弹簧的应变能。变厚度薄板的最大动能为

(10)

然后结合Rayleigh-Ritz法有

(∂/∂Amn)(V-T)=0

(11)

将式(9)、式(10)代入式(11)，得到一个线性代数方程组，可以写成矩阵形式为

(K-ω2Q)A=0

(12)

式中：K为刚度矩阵；Q为质量矩阵，其仅与变厚度薄板的材料属性、边界条件及几何参数相关，而且，这些信息确定了并且可以求解变厚度薄板的振动特性，包括振型与固有频率两个方面。A为Fourier系数向量，其表示形式为

(13)

2 连续变厚度薄板振动特性研究

为研究不同类型变厚度薄板的振动特性，同时减小其他因素对仿真结果的影响，本文所有类型变厚度薄板的建模及仿真过程均在ABAQUS软件中实现，且建模方法和分析步骤完全一致。同时，为验证建模仿真的准确性，本文对已知文献的变厚度薄板进行建模仿真分析，将仿真结果与其理论解进行对比。以此为基础，对不同类型的变厚度薄板进行振动特性分析。

2.1 建模仿真验证

按照变厚度薄板的厚度变化趋势，在ABAQUS软件中详细建立模型，建模类型可分为双向线性变厚度薄板和双向非线性变厚度薄板两类。因为当双向线性/非线性变厚度薄板的某一方向的变化率为0时，其转变为单向线性/非线性变厚度薄板，如图2、图3所示。所以，在本文中，仅对双向线性变厚度薄板和双向非线性变厚度薄板进行建模验证。

图2 线性变厚度薄板示意图

图3 非线性变厚度薄板示意图

为保证结果的可比性，需控制薄板的材料属性ρ、E、μ和a/b与参考文献一致，同时对仿真结果进行无量纲化处理的公式也需一致。

如表1、表2所示，分别为双向线性变厚度薄板和双向非线性变厚度薄板的无量纲固有频率Ω1、Ω2与其对应参考文献的理论解对比。两种变厚度薄板的厚度变化公式分别如下

表2 无量纲固有频率Ω2与理论解对比

(14)

(15)

式中：h0为初始厚度；α为x轴方向的变化率;β为y轴方向的变化率，厚度变化原点分别如图2、图3所示。

对比表1和2中的变厚度薄板频率仿真值无量纲化后的结果和参考文献中的理论解，可以发现，两者的数据差异均保持在1%之内，由此可见建模仿真的准确性和可行性。

表1 无量纲固有频率Ω1与理论解对比其中h0为初始厚度，D为弯曲刚度)

2.2 薄板厚度划分

厚度分布对薄板的振动特性具有较大影响，不同类型的变厚度薄板对应不同的厚度分布形式，如表3所示。为保证数据的可比性，统一薄板的尺寸和材料属性，即a=b=0.5 m，h0=0.001 m ，E=210 GPa，ρ=7 800 kg/m3，μ=0.3。

其中，为使仿真结果精确和利于观察结果，同时保证其符合薄板振动理论，对以上变化参数分别取值为：单向线性α=1，2，3，4，5；双向线性α=β= 0.5,1.0，1.5，2.0，2.5；单向非线性=1，2，3，4，5，m=2，4，6，8，10；双向非线性α=β=0.5，1.0，1.5，2.0，2.5，m=n=2，4，6，8，10。

图4为线性变厚度薄板示意图，其中包含了两种变厚度薄板，即单向线性和双向线性，图4左侧为薄板的示意图，右侧为按照变化要求在ABAQUS软件中建模仿真所得到的后处理中的厚度变化云图。

如图5所示，为单向非线性变厚度薄板图，因为其对称性，所以将坐标系原点选择为薄板的中心点，单向非线性变厚度薄板包括了单向内凹变厚度薄板和单向外凸变厚度薄板两种类型。

图5 单向非线性变厚度薄板图

如图6所示，为双向非线性变厚度薄板图，其建模的坐标系原点也位于薄板中心，双向非线性变厚度薄板包括了双向内凹变厚度薄板和双向外凸变厚度薄板两种。

图6 双向非线性变厚度薄板图

以上各类型变厚度薄板均严格按照变厚度薄板的厚度变化方程和采用与2.1节中相同的建模步骤而成，保证其模型的准确性，为后续的振动特性分析作基础。

2.3 振动特性分析

以变厚度薄板的质量为基准，控制质量m不变，建立同样尺寸的等厚度薄板，同时保证其他参数一致，即

MVRB=MERB

(16)

(17)

式中：MVRB(variable-thickness rolled blanks)为变厚度薄板质量;MERB(equal-thickness rolled blanks)为等厚度薄板质量；hD为等效厚度。以仿真所得的变厚度薄板固有频率与等质量等厚度薄板的固有频率的差值作为分子，等厚度等质量薄板的固有频率为分母，得出变厚度薄板固有频率提升或下降的百分比A，即

(18)

按照表3的厚度变化方程，以单向线性变厚度薄板为例，其线性变化参数α=1,2,3,4,5，可分别建立5种单向线性变厚度薄板，依次分析其在自由，简支及固支边界条件下的振动特性，然后利用式(16)、式(17)求解出其对应的等效厚度，在同一条件下对等厚度薄板进行振动特性分析，最终求解出固有频率百分比A与变化参数之间的变化曲线，如图7所示，为单向线性变厚度薄板固有频率百分比A变化图。同理，可得其他类型变厚度薄板的固有频率百分比A变化图，如图8～图12所示。其中，每幅图中的(a)，(b)，(c)三图分别对应变化参数在自由边界条件，简支边界条件和固支边界条件这3种经典边界条件下的固有频率百分比变化图，(d)图为各类型薄板的第一阶固有频率百分比分别在3种经典边界条件下随变化参数增大而发生改变的变化图。

图7 单向线性变厚度薄板固有频率百分比变化图

图8 双向线性变厚度薄板固有频率百分比变化图

图9 单向内凹变厚度薄板固有频率百分比变化图

图10 单向外凸变厚度薄板固有频率百分比变化图

图11 双向内凹变厚度薄板固有频率百分比变化图

图12 双向外凸变厚度薄板固有频率百分比变化图

在上述内容中，分析了单向/双向线性变厚度薄板及单向/双向非线性变厚度薄板的振动特性，针对第一阶固有频率，可以得出以下普遍规律：

(1)薄板的厚度不论是沿一个方向线性变化，还是沿两个方向同时变化，其固有频率在自由边界条件下的增长并不明显，且只有1～2 Hz。对于另外两种边界条件，简支和固支，均处于降低的状态。

(2)薄板的厚度进行非线性变化时，可分为内凹和外凸两种，不论是单向非线性变厚度薄板，还是双向非线性变厚度薄板，其对应的内凹厚度变化形式，在自由边界条件下，其固有频率增长百分比均为负，而简支和固支边界条件下均为正，而外凸正好相反。

3 新型变厚度薄板振动特性研究

由于固支边界条件在工程实际中是最为常见的，且前3阶固有频率为常见的要避免共振的低阶固有频率，在本文中，将根据以上线性及非线性变厚度薄板的仿真结果的变化规律，提出一种新型的厚度分布形式，能够最大限度的提高固支边界条件下的固有频率，同时保证其他两种边界条件下的固有频率不发生大幅度的降低。

3.1 建立新型厚度分布

由第2章的研究结果，可知单向线性变厚度薄板和双向线性变厚度薄板基本无益于增长固有频率，故在此不考虑，综合考虑其他4种变厚度薄板(单向内凹，单向外凸，双向内凹，双向外凸)在经典边界条件下的前3阶固有频率提升百分比A，可得如图13所示的百分比条形图。

图13 不同变厚度薄板百分比A条形图

如图13所示，单向外凸及双向外凸能显著增加FFFF边界条件下的固有频率，而在SSSS和CCCC边界条件下变化不明显，且双向外凸变厚度薄板变化百分比高于单向外凸变厚度薄板，由此可知，当厚度集中于薄板中部时，能有效提升FFFF边界条件下的固有频率。单向内凹及双向内凹在FFFF边界条件下的固有频率显著降低，能较小幅度的提升SSSS及CCCC边界条件下的第一阶固有频率，由此可知，当厚度分散于薄板四周时，会降低FFFF边界条件下的固有频率。

基于此，现提出一种新型的厚度分布形式，即双向阶梯变厚度薄板，其既能满足薄板中部厚度，也能使薄板4条边上的厚度得到满足，如图14所示，左侧为双向阶梯变厚度薄板示意图，右侧为其在ABAQUS软件中建模仿真后得到的厚度分布云图，其中，双向阶梯变厚度薄板受中间阶梯宽度L和阶梯厚度t两个参数的影响。

图14 新型厚度分布形式：双向阶梯变厚度薄板

3.2 新型变厚度薄板振动特性分析

根据表3的新型厚度分布形式，取L=0.15 m为例，中间阶梯厚度依次为1.2 mm，1.4 mm，1.6 mm，1.8 mm，2.0 mm，薄板其他地方厚度为1 mm，长宽均为0.5 m，材料属性与2.2节一致，按照2.1节的步骤可仿真得出双向阶梯变厚度薄板在经典边界条件下的固有频率值，如图15所示，为双向阶梯变厚度薄板固有频率百分比变化图。

图15 双向阶梯变厚度薄板固有频率百分比变化图

其中，图15(a)、图15(b)、图15(c)为其在经典边界条件下的前六阶固有频率百分比A随中间阶梯厚度改变的变化图，图15(d)为第一阶固有频率百分比在3种边界条件下随中间厚度改变的变化图。由图可得以下结论：

(1)双向阶梯变厚度薄板相对于其对应的等质量等厚度薄板，能够有效提高其在自由和固支边界条件下的前3阶固有频率，而对于简支边界，其固有频率下降得并不明显。

(2)随着阶梯中间厚度L的增大，由下面四幅图可以看出，固有频率百分比A的总体趋势是处于逐渐增大的趋势，仅简支边界条件下的第一阶固有频率会略微下降。由此可知，对于其他两种边界条件，即自由和固支边界条件，中间厚度越大，其振动特性的加强效果越明显，但是很显然，其厚度值不能过大，否则当L超过一定的限度，将不符合薄板的振动理论。

3.3 数值对比分析

取中间厚度为2 mm的阶梯变厚度薄板，可作如图16所示的双向阶梯变厚度薄板固有频率提升百分比图。如图16所示，举第一阶固有频率为例，双向变厚度薄板在自由边界条件下提升了32.45%，固支边界条件下提升了11.66%，而简支边界条件下仅降低3%，由此可见，此种厚度分布形式有利于薄板固有频率的提升。

图16 双向阶梯变厚度薄板固有频率提升百分比图

通过对比分析图13和图16，可知，仅有双向阶梯变厚度薄板能够做到在3种经典边界下，仅简支边界条件下第一阶固有频率略微降低，其他前3阶固有频率均取得提升，且固支边界条件下达到11.66%，为所有变厚度薄板类型中最高值，再次验证双向阶梯变厚度薄板的新型厚度分布优于之前的4种常规变厚度薄板。

3.4 弹性边界条件下振动分析

由3.3节分析可知，双向阶梯分布是以上所有薄板类型中最为理想的一种厚度分布薄板，由此，下面将以双向阶梯变厚度薄板和其对应的等厚度等质量薄板进行弹性边界条件下的研究。

在ABAQUS软件的薄板仿真模型中，将弹簧的刚度值依次设置为10-3，10-2，10-1，…，1010，其中Kz=Kxb=Kyb=K，仿真求解出其前9阶固有频率，如表4所示，为弹性边界条件下的薄板振动特性。由表4可知，当K趋近于0时，薄板的边界条件趋近于自由边界条件，其固有频率与自由边界条件下的固有频率基本一致；当K趋近于无限大时，薄板的边界条件趋近于固支边界条件，其各阶固有频率与固支边界条件下的固有频率基本一致，仿真结果与理论一致。

表4 弹性边界条件下的薄板振动特性

根据表4数据可作弹簧刚度K与固有频率的关系图，如图17所示，图17的浅色曲线为对应的等质量等厚度薄板在弹性边界条件下的固有频率变化曲线，深色曲线为双向阶梯变厚度薄板在弹性边界条件下的固有频率变化曲线。

图17 弹性边界条件下的振动特性

由图17可得，弹簧刚度值会对薄板的振动特性造成影响，随着弹簧刚度值由0到无穷大变化时，薄板各阶固有频率不断增大，最后趋于稳定，并等于固支边界条件下的固有频率值。薄板固有频率存在着变化敏感区域，弹簧刚度值的变化区间为1～104。同时，对比分析深色和浅色曲线，可知，变厚度薄板与等厚度薄板的变化趋势及固有频率变化敏感区域趋于一致，仅最终的固有频率值不一样。

4 结 论

针对变厚度薄板振动特性，以薄板振动理论和建模仿真为基础，对4种变厚度薄板的振动特性进行分析，并将其与等质量等厚度薄板的振动特性进行对比。然后，基于4种变厚度薄板的振动特性变化规律，提出新型的变厚度分布形式，即阶梯变厚度薄板，并研究其振动特性变化规律。最后，通过设置不同边界弹簧刚度，研究变厚度薄板在任意弹性边界条件下的振动特性，更进一步探讨边界条件对薄板振动特性的影响。通过本文研究，可得以下结论：

(1)对4种变厚度薄板的振动特性进行分析，研究其在不同经典边界条件下随不同厚度变化参数的变化规律，并将其与对应的等厚度等质量薄板进行对比分析，最终得出单向线性、双向线性、单向非线性外凸和双向非线性外凸变厚度薄板不利于固有频率的提升，而单向内凹和双向内凹非线性变厚度薄板有利于固有频率的提升的结论。

(2)基于常规的线性及非线性变厚度薄板的振动特性变化规律，提出新型的非连续阶梯变厚度薄板，在相同条件下对其进行了振动特性的分析，最终验证了双向阶梯变厚度薄板振动特性优于之前4种类型的变厚度薄板。

(3)在经典边界条件的基础上，以双向阶梯变厚度薄板为例，通过设置边界弹簧模拟弹性边界条件，研究了变厚度薄板及其对应的等质量等厚度薄板在任意边界条件下的振动特性。发现随着弹簧刚度的增加，薄板固有频率不断增大，并存在一个刚度敏感区域，最终趋于稳定，并发现变厚度薄板与等厚度薄板仅最终固有频率不一样，其他变化规律均一致。

需要指出的是本文研究内容仅是阶段性的成果，具有一定的前瞻性，随着一些先进制造工艺的不断成熟，比如激光拼焊、变截面工艺等，文中所提出的阶梯变厚度薄板的制造问题会随之解决，在实际工程上的应用也将具有一定的可行性。