李祎 黄勇

【编者按】 课程思政是新时代赋予教师的新使命，各门课程都要“守好一段渠，种好责任田”。这实际上是要求教师积极寻找学科教学与课程思政的内在契合点，而非牵强附会、“贴标签”式地在学科教学中“附加”思政元素。上一期，我们分享了广州大学曹广福教授关于数学课程思政内涵、目标与实施的思考。本期，我们继续聚焦课程思政这一热点。

摘要：数学教学应该充分挖掘和揭示数学内在的辩证因素，指导学生利用辩证思维，如对立统一规律、否定之否定规律和联系、发展的观点，发现、理解知识（包括破解教学疑难），分析、解决问题，不断提高学生的辩证思维水平。这既是数学课程思政的重要内容，也是在数学教学中落实“立德树人”目标的主要途径。

关键词：数学课程思政;辩证思维;对立统一;联系

本文系国家社会科学基金“十三五”规划2018年度教育学西部项目“西北民族地区高中生理科学科核心素养培育路径研究”（编号：XHA180288）的阶段性研究成果。课程思政的核心是“展现一种科学思维，用辩证唯物主义和历史唯物主义的思维方式看待事物，不能陷入唯心主义和机械唯物主义的泥沼，将理论导向神秘主义”曹广福.数学课程思政：内涵、目标与实施[J].教育研究与评论（中学教育教学），2022（1）：59。。作为一种育人理念，课程思政的根本目的是实现“立德树人”，即不仅强调知识学习，还强调思想塑造，注重教书与育人的有机统一。所谓数学课程思政，就是结合数学学科的特点，充分挖掘其中的思政因素，将知识学习与思想塑造融为一体，最大限度地发挥数学课程的育人价值。

辩证思维是唯物辩证法在思维中的反映，对立统一规律、否定之否定规律是唯物辩证法的基本规律，联系、发展的观点是唯物辩证法的基本观点。恩格斯在《自然辩证法》中精辟地指出：“数学：辩证的辅助工具和表现方式。”数学的思维和方法，本质上都是辩证的。数学辩证思维的核心是重视事物的数量、形式和结构的内在矛盾，用联系、渗透和转化的观点理解知识、处理问题。数学教学应该充分挖掘和揭示数学内在的辩证因素，指导学生利用辩证思维发现、理解知识，分析、解决问題，不断提高学生的辩证思维水平。这既是数学课程思政的重要内容，也是在数学教学中落实“立德树人”目标的主要途径。

一、利用辩证思维理解数学知识

（一）利用对立统一规律理解数学知识

唯物辩证法告诉我们，任何事物和现象都是由相互矛盾的两个方面构成的，它们相互分离、相互排斥又相互依存、相互融合，并能在一定条件下相互转化。因此，矛盾的双方不仅是对立的，而且是统一的。数学的产生和发展，是客观世界数量、形式等的矛盾对立统一的结果，如特殊与一般、具体与抽象、变量与常量、有限与无限、近似与精确、偶然与必然等。这些对立统一，催生了各数学分支博大而精深的理论体系。数学教学应该充分运用对立统一规律、否定之否定规律进行分析，帮助学生深刻理解有关概念、性质——实质是理解其中蕴含的思想，培养学生的辩证思维能力。

比如，数学运算及其对象之间、各种数学运算之间，既有差异又有联系。研究数学运算如何从简单到复杂、从低级到高级发展，以及它们之间存在着怎样的对立统一关系，可以帮助学生深刻理解有关运算。具体来说，加法和减法是两种互逆运算，它们是对立的;引入负数后，加法和减法之间就可以互相转化，它们又是统一的。将加数相同的加法转化为乘法后，乘法和除法是两种互逆运算，它们是对立的;引入倒数后，乘法和除法之间就可以互相转化，它们又是统一的。将乘数相同的乘法转化为乘方后，乘方和开方是两种互逆运算，它们是对立的;学习指数幂后，乘方运算和开方运算就可以统一为指数幂运算。再来考虑指数幂的逆运算，便得到了对数运算。正如恩格斯所言：“从一个形式到另一个相反的形式的转变，并不是一种无聊的游戏，它是数学科学的最有力的杠杆之一。如果没有它，今天就几乎无法进行一个比较困难的运算。”恩格斯.自然辩证法[M].于光远，等编译.北京：人民出版社，1984：266。

又如，教学导数概念，仅让学生记住其形式化定义f′（x）=limΔx→0f（x+Δx）-f（x）Δx是远远不够的，必须让学生理解其中蕴含的解决相关问题的否定之否定的思维：要解决“某一点”的问题（瞬时变化率），停留在这一点无法解决，因此，对这一点进行“否定”（给增量Δx），否定的结果是得到“另一点”，并由此得到一个区间[（x，x+Δx）或（x+Δx，x）];先在这个区间上求出近似值，即平均变化率f（x+Δx）-f（x）Δx，再对另一点进行“否定”（令Δx→0），由此，把平均变化率转化为瞬时变化率。简而言之，静止地停留在这一点无法解决的问题，经过两次辩证否定，得以成功解决。这里，一方面，对于任给的增量Δx，平均变化率不是瞬时变化率，反映了过程与结果、近似与精确对立的一面;另一方面，随着变化过程的推进，平均变化率又转化为瞬时变化率，反映了过程与结果、近似与精确统一的一面。

（二）利用联系的观点理解数学知识

形而上学用孤立、静止的观点看世界。与之相反，唯物辩证法认为，世界是普遍联系且不断变化的，整个世界都是一个相互联系的统一整体，任何事物都处在这个统一整体之中，各个对象或现象相互有机地联系着、依赖着、制约着。科学世界是这样的，数学科学同样如此。看似迥异的数学内容，实则可能存在紧密的内在联系。正如大数学家希尔伯特所言：“数学科学是一个不可分割的有机整体，它的生命力正在于各个部分之间的联系。尽管数学知识千差万别，我们仍然清楚地意识到：在作为整体的数学中，使用着相同的逻辑工具，存在着概念的亲缘关系，同时在它的不同部分之间也有大量的相似之处。”袁小明，胡炳生，周焕山.数学思想发展简史[M].北京：高等教育出版社，1992：205。在数学教学中，教师要引导学生运用联系的观点认识和分析数学知识，这对于学生从整体上系统地建构和理解数学非常重要——不仅有助于学生获得融会贯通的知识，而且有助于他们“左右逢源”地解决问题。

比如，教学向量概念时，很多教师是这么讲的：我们之前学习的量叫数量，数量只有大小、没有方向;今天新学习的量叫向量，向量不仅有大小，还有方向。这样就把数量与向量人为地割裂了。一些学生会想到：之前学习“有理数”时，为了表示相反意义的量，引进了负数，而“相反”说的不就是方向吗？谁说数量没有方向？其实，从联系的观点来看，实数就是一维向量。在数轴上，让这个一维向量的起点与原点重合，向量的终点就会对应数轴上的一个点（实数），于是，就可以建立起一一对应的关系。实数的符号就是一维向量的方向，实数的绝对值就是一维向量的模（大小）。因此，可以说，平面向量就是数量的推广，而且在推广的过程中，其大小、方向、数乘运算等都是一脉相承的，其本质保持不变。

认识到向量与数量之间的这种联系性，教学向量的加法运算和数量积运算时，便可以采取完全不同的策略。教学两个向量的加法运算，可以从两个特殊的向量——共线向量入手，再将其分为方向相同的共线向量和方向相反的共线向量两种情况。无论是哪种情况，它们相加完全类似于有理数相加，或者说，它们相加就转化成了有理数相加。对于不共线的两个共起点的向量，它们不能直接相加，必须转化成共线向量才能相加。该如何转化呢？由于它们的方向完全不同，因此相加后向量的方向只能“折中”——走“中间路线”。物理学中力的合成实验表明，这样的相加遵循“平行四边形法则”。实际上，这就相当于把两个向量投影到平行四边形对角线所在的直线上，变成共线的两个投影向量后，再相加。对于不共线的两个首尾相接的向量而言，物理学中位移合成的等效原理表明，它们相加遵循“三角形法则”，这就相当于把两个向量投影到连接第一个向量起点和第二个向量终点的直线上，同样是变成共线的两个投影向量后，再相加。教学两个向量的数量积运算，同样如此。当这两个向量不共线时，由于方向不同，无法直接相乘，所以把其中一个向量投影到另一个向量所在的直线上，于是这个投影向量与后一个向量就变成了共线的两个向量，它们相乘完全类似于两个有理数相乘。总之，通过向量的投影和投影向量，把非共线向量转化成了共线向量，把向量的加法运算和数量积运算转化成了类似于有理数的加法运算和乘法运算，由此实现了问题的化归转化。

二、利用辩证思维破解教学疑点

辩证思维通常被认为是与逻辑思维相对立的一种思维方式。在逻辑思维中，事物一般是“非此即彼”“非真即假”的;但在辩证思维中，事物可以在同一时间内“亦此亦彼”“亦真亦假”，而无碍思维活动的正常进行。特别是在大多数人的心目中，数学是确定无疑的绝对真理的集合，因此，在认识和把握数学对象时，更容易采用二元对立思维，犯绝对主义、教条主义、机械论的错误。而采用辩证思维认识和处理这类问题，则可以有效地破解这些教学疑点。

比如，常有教师提问：“x2x是不是分式？”“y=2log2x是不是对数函数？”前者在初中通常会给出肯定的回答，因为它符合分式的形式化定义，即“如果A、B表示兩个整式，B中含有字母，那么式子AB叫作分式”。这里依据的是化简前的形式。后者在高中通常也会给出肯定的回答，因为y=2log2x=log2x2=log2x，满足对数函数的形式化定义“y=logax”。这里依据的是化简后的形式。两者比较，学生很容易犯糊涂：究竟是看化简前的，还是看化简后的？是看形式，还是看实质？其实，对这类涉及形式与实质、过程与结果关系的问题，只要不持“非此即彼”的二元对立思维，而是在约定条件下认识和讨论，就不会有任何争议。比如，我们可以认为，x+12y在化简前不是分式，但在化简后可以变成分式。在教学中，关键是认识对象的实质;而在考试中，更不宜用此类问题来考查学生。

事实上，按照唯物辩证法，任何事物的内部都是一分为二的，矛盾双方都是对立统一的。由矛盾论所提供的思维方法，叫作二元思维法。因为在认识矛盾的过程中，思维的对象始终是两个，而不是一个或多个。科学的辩证法，不仅承认“一分为二”，即承认矛盾的对立性;还承认“合二为一”，即承认矛盾的统一性。认识到这一点，并采取相应的思维方式，对于破解许多教学疑点，都是非常重要的。

比如，从过程来看，对数logab是在aN=b中，求指数N的一种运算;从结果来看，对数logab本身就是一个实数，可以当作操作对象直接参与运算。因此，在某个课堂的小结环节，面对教师“对数是什么？”的提问，有的学生回答“对数是一种运算”，有的学生回答“对数是一个数”。这看似截然不同的两种回答，其实揭示了对数概念作为“过程”与“结果”辩证统一的特征。若要较真“对数究竟是什么”，那便犯了绝对主义、教条主义的错误。

又如，从过程来看，函数表示从自变量到因变量的一种对应过程，即f：x→y;从结果来看，函数作为一个数学对象，可以直接参与数学运算，如f（x）+g（x）等。因此，函数概念同样是“过程”与“结果”的统一体。在这里，那种“唯结果”或“唯过程”的回答，都是形而上学的、错误的。其错误根源，正如马克思在批评形而上学的错误时所指出的那样：“在看出有差别的地方就看不见统一。”中共中央马克思恩格斯列宁斯大林著作编译局.马克思恩格斯选集（第一卷） [M].北京：人民出版社，1995：172。

三、利用辩证思维解决数学问题

相关研究表明，学生辩证思维的发展，在初中阶段，处于较低水平;在初高中过渡时期，处于迅速发展阶段;从高二开始，已经占有优势地位。掌握了这一认知发展规律，我们不仅可以利用辩证思维帮助学生理解数学知识，还可以利用辩证思维帮助学生解决数学问题。

比如，对于绝对值不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|的证明，由于a、b具有任意性，我们利用动静转换策略和数形结合思想，把a看作变量x，把b当作常量，针对不等式的三端，分别构造函数y=|x|-|b|，y=|x±b|，y=|x|+|b|，画出它们的图像，得到直观表达，其大小关系便一目了然。在这里，一方面，依据唯物辩证法，静止和运动是相对而言的，常量与变量具有相对意义，因此，它们可以相互转化，我们既可以以静制动，把变量当成常量来处理，也可以化静为动，把常量看成变量来处理;另一方面，数当然不是形，形也不是数，但数与形在一定的条件下又可以相互转化，这体现了数与形的关系也是对立统一的。

掌握了以上辩证思维的规律和方法，就可以此来解决更复杂的数学问题。

比如，对于解不等式问题x2-6x+13+x2+6x+13≤8，如果用常规方法求解，即平方、移项、合并同类项等，其复杂性是显而易见的。但如果注意到不等式左边的结构特点，将其化为（x-3）2+22+（x+3）2+22≤8，便可以化静为动，将常量2看作变量y，得到（x-3）2+y2+（x+3）2+y2≤8。其几何意义是动点（x，y）到两定点（-3，0）和（3，0）的距离之和不大于8。根据椭圆的定义，动点（x，y）的轨迹是a=4、c=3，即方程为x216+y27=1的椭圆的内部区域。再以静制动，令y=2，便可得原不等式的解为-4217≤x≤4217（如图1所示）。李祎.论数学解题创新的教学原则与策略[J].数学通报，2002（8）：2325。

动静转换的辩证思维不仅体现在常量与变量的相互转化上，在解决许多涉及几何图形的问题时也经常可以用到。

比如，在求与已知圆x2+y2-2x-4y=0相切于点M（3，3）且经过点N（5，3）的圆的方程时，我们可以化静为动，把点M（3，3）看作圆（x-3）2+（y-3）2=r2在r→0时的极限状态，那么经过这个圆与已知圆的交点的圆系方程为（x-3）2+（y-3）2-r2+k（x2+y2-2x-4y）=0。应用待定系数法，令x=5，y=3且r=0，便可求得k=-13。把r=0和k=-13代入圆系方程，便得所求圆的方程为x2+y2-8x-7y+27=0。这里，通过化静为动、以静制动，使原问题得到了巧妙的解决。

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