罗 航， 李桂花

(中北大学 理学院， 山西 太原 030051)

0 引 言

传染病一直以来都威胁着人们的生命， 每次传染病的爆发都造成了大量的人口死亡和经济损失， 如甲型 H1N1， 禽流感 H7N9， 艾滋病 HIV/AIDS， 以及正在世界多个国家蔓延的新冠肺炎 (COVID-19)， 都严重影响了人类的生存和发展. 在新媒体时代， 公共卫生部门可以凭借互联网通过电脑、 电视、 手机等各种渠道及时地发布疫情的进展情况并宣传防范措施， 从而有效地提高人们的防控意识， 降低疾病传播的速度[1]. 因此， 媒体报道对于传染病的防控非常重要.

中国的新冠疫情防控工作一直都很有效. 2021年年初， 河北省石家庄市突然爆发新型冠状病毒肺炎疫情， 不断增加的感染人数迅速引起社会的关注和重视. 山西省太原市紧邻河北省石家庄市， 感染人数的迅速增加及感染者的行动轨迹引起山西省政府的高度重视，迅速采取了措施， 避免了疾病在山西省内的传播. 从此例可以看出， 如果一个地区的感染人数较少， 其相邻地区人们的警觉性就会降低， 如果感染人数较多，临近地区人们的警觉性就会迅速提高， 客观上会减少临近地区疾病的传染率. 因此， 一个地区感染疾病的人数对其它地区的疾病感染率有很大的影响. 若把不同的地区看成是不同的斑块， 则两个地区之间人口的往来可以看成是两个斑块之间人口的流动. 本文将建立考虑一个斑块的感染人数对另一斑块的感染率影响的斑块传染病仓室模型， 并进行动力学性态分析.

考虑媒体报道的传染病模型的研究已有很多[2-6]. 文献[2-3]建立了一个具有非线性发生率的SIR模型来描述媒体报道对于传染病的影响； 文献[4] 建立了一类受媒体报道影响的具有Logistic人口变化的SIRS传染病模型； 文献[5]建立了一类受媒体报道影响的SIM时滞传染病模型； 文献[6]建立了一种包含媒体报道的SIS斑块传染病模型 . 虽然这方面的文献还有很多， 但是都没有考虑到一个斑块的感染者数量对另一个斑块传染率的影响. 本文将建立考虑媒体报道及一个斑块的感染者数量对其它斑块种群影响的传染率函数的两个斑块传染病仓室模型. 传染率函数βi(I1,I2)=ai-bih(I1,I2)， 其中，ai是斑块i中易感者与染病者之间的最大感染率，bi是斑块i中存在染病者时由于媒体报道而导致的最大感染率的降低率，h(I1,I2)是一个地区染病者数量对另一地区感染率的影响函数， 假设ai≥bi， 并且h(I1,I2) 满足下面3个条件：

H1)h(0,I2)=0,h(I1,0)=0,h(0,0)=0；

假设易感人群和感染者的出行率是相同的， 即该疾病并不严重， 不足以阻碍出行. 建立模型如下：

(1)

式中：Ai表示第i斑块中j类人群人口的输入；mij表示第i个斑块向第j个斑块的迁移率；γi表示恢复率；di表示斑块中的自然死亡率. 由于适合SIS模型框架的大多数疾病都是良性的， 因此忽略了由疾病引起的死亡. 斑块i中的人数以Ni=Si+Ii表示， 总人数为N=N1+N2.

1 平衡点的存在性

1.1 无病平衡点

系统(1)的可行域为

Ω={(S1,I1,S2,I2)|S1,I1,S2,I2≥0,

S1+I1+S2+I2≤A1+A2}.

(2)

当斑块之间不存在迁移时， 斑块1， 斑块2的基本再生数分别为

当斑块之间存在迁移时， 斑块1, 斑块2的基本再生数分别为

(3)

1.2 地方病平衡点

当一个地区感染者人数很多时， 当地会采取封闭措施， 即只进不出， 因此， 斑块之间的迁移就变成单向迁移. 本节讨论不存在媒体报道时单向迁移下正平衡点的存在情况. 系统(1)中， 假设第1个斑块向第2个斑块迁移， 而第2个斑块不向第1个斑块迁移， 也即m21=0， m12≠0， 则系统(1) 变为

(4)

在第1个斑块中，平衡点满足方程组

求解可得

方程(5)与方程(6)相加得

(7)

将方程(7)代入方程(5)得

(8)

将方程(8)代入方程(6)得

故平衡点满足的方程为

(9)

很容易判别

2 平衡点的稳定性

2.1 无病平衡点的稳定性

定理2当R0<1时， 无病平衡点E0是局部渐近稳定的； 当R0>1时， 无病平衡点E0不稳定.

证明系统在E0的Jacobian矩阵为

J0的特征方程为

P(λ)=(λ2+p1λ+q1)(λ2+p2λ+q2)=0,

其中，

p1=d1+d2+2m12>0,

m12(d1+d2)+d2d1>0,

p2=-a1-a2+d1+d2+γ1+γ2+m12+m21=

q2=(-a2+d2+γ2)m12+(a2-γ2-d2-

m21)(a1-d1-γ1)=m12(d2+γ2)(1-R2)+

由于p1>0,q1>0， 方程λ2+p1λ+q1=0有两个负实部特征根. 下面判别方程λ2+p2λ+q2=0根的正实部的符号.

定理3当R0<1时，无病平衡点E0是全局渐近稳定的.

(10)

用不等式(10)的右边定义辅助线性系统得

(11)

写为矩阵形式得

其中

F的特征多项式为

P1(λ)=λ2+p3λ+q3,

其中,p3=(d1+γ1-a1)+(d2+γ2-a2)+m12+m21=(d1+γ1)(1-R1)+(d2+γ2)(1-R2)+m12+m21,q3=(d2+γ2-a2)m12+(d1+γ1-a1)m21+(d1+γ1-a1)(d2+γ2-a2)=m12(d2+γ2)(1-R2)+m21(d1+γ1)(1-R1)+(d1+γ1)(d2+γ2)(1-R1)(1-R2).

由于t→∞时Ii趋于零， 因此系统(1)的极限系统(见文献[8]中的定理2.5)为

(12)

令系统(12)右边等于0， 得

2.2 地方病平衡点的稳定性

证明系统在E*处的Jacobian矩阵为

其中

J*的特征多项式为

P*(λ)=(λ+d2)(λ+d1+m12)(λ+d1+γ1+

m12+c1-c2)(λ+d2+γ2+c3-c4).

显然，P*(λ)=0的4个根分别为

λ1=-d2<0,

λ2=-(d1+m12)<0,

λ3=c4-c3-(d2+γ2)=

(d2+γ2)=(d2+γ2)-(d2+γ2)=0,

λ4=c2-c1-(d1+γ1+m12)=

2(d1+γ1+m12)-a1-(d1+γ1+m12)=

3 数值模拟及讨论