应志领

（南京邮电大学理学院，江苏南京 210023）

高等数学有着丰富的内容和深刻的思想，在实际中有广泛的应用，所以是理工科院校各专业的必修课，也是学习后续课程的内容和科技知识的基础。国内关于高等数学的教材数不胜数，其中影响最广、使用最多的是同济大学数学系编的《高等数学》[1]，目前已是第七版，也是考研的主要参考书。由于历史原因，国内教材受原苏联教材影响较大，其特点是逻辑性强，推理严密。近些年，来自欧美教材的影印版和中译本也多了起来，其中J.Stewart[2]、D.Varberg等[3]和G.Thomas[4]编写的微积分教材被很多高校选为双语班或留学生授课的教材。经比较，D.Varberg等编写的教材更强调数学的严谨性，所以我校选它作为留学生高等数学课程的教材。本文将以同济大学数学系编的《高等数学》（下文简称为同济版）和D.Varberg等编写的《Calculus》（下文简称为Varberg版）为例，详细比较中美微积分教材中一元函数微积分的区别，以期取长补短，融合中美教材的长处，优化高等数学的教学内容。

一、极限和连续

Varberg版先不讲数列的极限，从函数的图形直接给出自变量趋向于某一点的极限概念，第二节再给出ε-δ定义。Varberg版在引入函数的定义时给出了许多生动有趣的例子，但不介绍函数极限的性质、单调有界收敛准则、无穷小比较和间断点的分类，花很少的篇幅介绍了两边夹准则和闭区间上有界函数的性质。相比较而言，Varberg版在这一部分不像同济版那么难以接受和理解。反之，国内很多大一学生在学习第一章时就深受打击，落下了高等数学不好学的阴影。但Varberg版舍弃内容较多，比如不强调初等函数的概念，使得学生对常见的一些函数没有整体印象，后续学习常见函数的连续，可导和可积时，没能有一个言简意赅的总结。另外，由于不讲无穷小比较，在求极限时不能用等价无穷小的替代原理，导致求极限时很不方便，间接影响了一些初等函数求导公式的推导，造成一些麻烦。

二、一元函数微分学

Varberg版的微积分专门用了一节引入导数的定义，求导题目的难度不是很大。很大一部分原因是对数函数和指数函数在第六章才引入，所以可求导的函数类型偏少。此外，Varberg版只花很少篇幅讲隐函数的求导，也没有及时讲解参数方程求导。而同济版一开始就推理五类基本初等函数求导公式，然后重点讲解复合函数、隐函数以及参数方程的求导方法，这样就把常见函数的求导问题都讲完了，后面可以随意应用。因为没有引入无穷小的记号，所以Varberg版的微分定义和国内教材也不一样，从图形和数值上突出“局部线性逼近”这种思想方法，这更容易让学生了解可微的本质。Varberg版相对变化率有单独的一节，练习题也较多，对于函数图形的描绘，结合导数的方法，突出软件的使用，实用性更强。

关于导数应用这一章的内容编排顺序和同济版很不一样，Varberg版先不讲中值定理，而是先学习如何求最大值、单调性和凹凸性等，最后再补上拉格朗日中值定理及证明，不讲费马引理和罗尔定理，柯西中值定理等到第八章学习洛必塔法则时才介绍。因为Varberg版把指数函数和对数函数放到第六章才开始引入，所以没能适时介绍洛必塔法则，导致很多类型的极限无法求解，而等学完洛必塔法则后，它在后面章节中的应用已不多。泰勒定理放到级数那一章才开始学习，大大降低了这一章的学习难度。

三、一元函数积分学

Varberg版在一元函数微分学的最后就提出了原函数的概念，及时引入不定积分并介绍了一些基本初等函数的不定积分及其相关运算。这样，一元函数积分学的版块就从引入定积分的背景和概念开始，快速进入定积分的学习。详细介绍了按定义求定积分的方法，甚至不惜篇幅在第4.6节介绍了用各种逼近的方法求定积分的近似值。第5章介绍了定积分在几何和物理的应用，还包括在概率论中的应用。随后在第6章用积分上限函数引出对数函数，再用反函数求导的方法引出ex并研究它们的性质，在这一章中介绍了一阶线性微分方程的求法。分部积分法、换元积分法等一些求积分的方法在第七章才介绍，并且把不定积分和定积分的内容混在一起。相比较而言，同济版条理更清楚，把不定积分、定积分和定积分的应用分块讲解。Varberg版更突出了定积分的概念以及数值计算，这是值得借鉴的地方，但不定积分和定积分的内容前后交错，有不少重复的地方。甚至把洛必塔法则和广义积分放在同一个章节中，脉络不清。因此，同济版的内容编排更有利于教学，但Varberg版对于定积分的计算和应用叙述得更详细和通俗易懂，有助于学生理解并掌握相关知识。

通过Varberg版和同济版中一元函数微积分这部分的比较，我们就能看出中美教材的一些差异。美国微积分教材的例子和习题计算量一般不大，不太注重计算的技巧，甚至很多计算题可以直接套用公式就可得出。比如像链式法则就讲得很简单，隐函数求导只是作为链式法则的应用一带而过。但结合实际的例子较多，有关于物理、经济管理，甚至生物医学等方面的应用。比如有赛车最佳外形设计、血管分叉结构对血流量的影响、核废料安全处理等。这些问题可以提高学生兴趣，培养学生数学建模能力，贯穿教材始终，还提倡用专业的计算器或数学软件来画图。相对来说，没有那么多抽象的理论知识，大多能直观得出结论，但系统性和严谨性要差一些。而同济版在讲导数的应用时会先给出费马引理，然后用它证明罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，再用它们来证明洛必塔法则和泰勒公式，给出函数单调性，凹凸性的充分条件。这样一环扣一环，完整性和逻辑性强。另外，美国微积分教材更符合人们的认识规律，结合实际问题提出怎样求最值、极大值和极小值等，再通过图形给出函数单调性和凹凸性的充分条件，最后根据推导出的拉格朗日中值定理给出上述结论的严格证明。这也是发现问题和解决问题的思路，有助于培养学生的科研能力。

关于中美微积分教材的差异，这方面的研究工作也有很多[5-10]。根据自己在使用教材时的体会，再提一些看法：

1.美国微积分教材更注重数值计算，先具体后抽象。比如Varberg版第4.6节不厌其烦地用“分割，代替，求和”这种方法来求一些定积分的计算，通过具体分割的例子来熟悉并掌握。学习二重积分的计算时，Varberg版先讲长方形区域，后讲一般区域，中间还专门用一节讲了累次积分的计算。另外，美国微积分教材并不仅仅着眼于求某个问题的精确解，像Varberg版第6.7节用欧拉方程求微分方程的近似解，因为大多数实际问题只能求出近似解。

2.Varberg版在第六章用积分定义的方式引入对数函数，然后讲反函数的导数，再引入指数函数。这样等到第六章才引入指数函数和对数函数，而之前学习一元微积分的时候处理对象只有多项式函数和三角函数，指数函数和对数函数的求导和求积练习得不够。

3.美国中学数学不讲数列，也不学习曲线方程，所以在学习极限时不像同济版先从数列的极限引入，需要花大篇幅讲关于抛物线、双曲线和椭圆等方面的内容。Varberg版不仅对平面解析几何有详细的介绍，对极坐标系也介绍得很详细，包括极坐标曲线的画图以及求它的斜率，长度和所围面积等。因为国内学生在中学就已经学习了平面解析几何，所以国内高数教材会略去平面解析几何。但由于高中数学和大学数学的衔接有点问题，比如对极坐标的介绍不够，导致国内学生学习上存在一些困难。美国微积分教材更重视向量微积分（vector calculus）的教学，介绍向量函数的微商、空间曲线的弧长及曲率公式都作为向量微积分的应用来阐述。鉴于向量微积分的重要性，国内高数教材在这方面得要有所加强。

4.Varberg版教材中的微分方程版块被拆放到了不同的章节，不重视可降阶方程和变量代换法求解，但讲解了用欧拉折线法求解微分方程数值解的方法，更突出数学建模和方程的物理意义，实际应用例子多而且很生动。同济版微分方程放在一章集中处理，重视术语、方程解的结构和解法，但不突出应用。

5.美国微积分重视数学软件和计算器的应用，比如Varberg版第413页介绍了计算机代数系统，第12.1节介绍了用数学软件画图，这在国内高数教材是少见的。

6.美国微积分重视梯度的应用，求曲面的切平面方程用到了梯度概念，拉格朗日乘数法也是用梯度来引入，而同济版是用隐函数存在定理来证明拉格朗日乘数法。

7.Varberg版把泰勒公式和泰勒级数放在同一节，避免同济版在学习泰勒级数时还要花大量时间去复习泰勒公式。而Varberg版不讲授傅里叶级数，这对通信专业的学生学习后续课程会造成一些困扰。但Varberg版在讲无穷级数时更突出介绍积分审敛法、数值计算和余项估计。

8.Varberg版教材在讲极坐标系下二重积分的计算时，不仅讲r形区域，还讲θ形区域。学习三重积分计算时不讲“切片法”或“先重后单法”，但详细介绍了一般换元法，这对理解柱面坐标系和球面坐标系下三重积分的计算公式有帮助。

9.同济版在讲述曲线和曲面积分的时候明确区分第一类和第二类积分，而Varberg版把第二类积分都归结到第一类积分的形式加以定义；同济版在第二类的曲线和曲面积分中，更突出数量函数的表示形式，而Varberg版强调第二类曲线和曲面积分的向量形式，突出场论的意义。所以相比较而言国内高数教材中的曲线和曲面积分更容易学习，更容易计算第二类曲线积分和曲面积分；美国微积分教材立意更高，把格林公式、高斯公式和斯托克斯公式与梯度、散度和旋度等场论中的重要概念结合等更紧密，更强调物理意义，但不容易教与学。

10.中美教材中有一些记号和定义方式的不同，这点也要引起注意。如Varberg版中在求极限的时候∞仅表示正无穷大，极坐标中允许r＜0等。同济版的方向导数其实是单侧极限，但Varberg版的方向导数是双侧极限。

中美微积分教材的差异还有很多，总的来说，各有优点和不足的地方。相比较而言，国内高数教材大多追求理论上的完美与严谨，学生受此影响，理论水平可能更高，但解决实际问题能力会有所欠缺。比如有些学生可能可以把极限定义背得很熟，但并没有真正理解含义，一旦用到具体的场合，做一些稍难的极限题目或者证明极限不存在时就没有了思路。其次，国内教材编排紧凑，条理清楚，内容很少重复，更好教学。美国微积分教材中的例子生动有趣，文笔轻松，与数学建模联系更紧密，更多运用软件和多媒体工具；注重发现问题、分析问题和解决问题这个过程，这种训练能让学生更有信心克服实际研究中的困难，更好地适应工作的需要。作为大学数学的老师，我们应该注意到这些区别，取长补短，完善我们的教学工作。