杨 睿，张向文,2

(1.桂林电子科技大学电子工程与自动化学院，广西 桂林 541004；2.广西自动检测技术与仪器重点实验室，广西 桂林 541004)

能源结构升级和环境保护问题日益成为话题，电动汽车及其技术正在大力发展，有逐渐取代传统能源汽车的趋势。作为现阶段给电动汽车提供能量的主要方式，锂离子电池具有安全性高、寿命长、能量密度高等优点[1]。为了给电动汽车提供充足的能量，电动汽车内需要放置大量的锂电池，电池管理系统(BMS)能保证电动车内部电池组提供稳定的电压电流输出和长时间安全高效运行。BMS 通过监控和预测电池荷电状态(SOC)，不仅能够延长锂电池的使用寿命，还可以保证锂电池在合理的电压电流区间工作，避免其出现过充过放现象，从而减少潜在的安全隐患[2-4]。

SOC的定义是电池当前剩余电量与电池充满时电量的比值，但是由于电池的SOC不是一个实际存在的物理量，所以无法通过测量直接获取，只能通过其他方法对SOC进行估计。基于模型的估算方法现在应用较为广泛，主要的模型有电化学模型和等效电路模型[5]。电化学模型的主要特点是精度高，其缺点为模型参数数量多、参数识别困难、运算速度低，不适合应用在电动汽车中[6-8]。基于等效电路模型的方法不考虑电池内部的化学反应，而是通过端电压、充放电电流等外部特性将电池转化为由电阻电容之类的电气元件构成的电路模型，然后再对电池的SOC进行估计和预测。

选择合适的模型能够在适中的计算复杂度下准确模拟电池的动态特性，也更便于对数据进行采集和处理。Rint模型将一个电阻直接串联在一个理想电压源上，二者共同构成了一个模型结构最为简单的等效电路模型，但是没有考虑锂离子电池的极化和扩散现象。文献[9-10]提出了一阶RC 模型，该模型能够通过使用一个RC 回路来模拟锂离子电池的充电和放电行为，通过实验结果验证，可以较好地模拟电池外部特性，但缺点是无法反映电池的极化反应。文献[11-12]利用二阶RC 等效电路模型来近似等效电池动态性能，该模型能够较好地反映电池内部的极化反应。传统的等效电路建模方法还可以继续进行拓展，模型的精度随着电阻和电容数量的增多而提高，但与之对应的是模型计算复杂度增加[13]。由于电池内部锂离子扩散过程的非线性特点，相比于整数阶微积分，分数阶微积分能更准确地描述锂电池特性[14]。

相较于多阶RC 模型，二阶RC 模型的结构简单，其优点是在具有较高精度的同时又保持了比较小的计算复杂度[15]。为了进一步提高等效电路模型的精度，根据锂电池在不同充放电阶段的特性变化不同，采用分数阶微积分理论建立了基于二阶RC 模型的电池分段分数阶等效电路模型。通过对比电池的实际端电压曲线辨识分数阶阶数，通过HPPC 测试辨识模型参数。针对本文所建立的模型，构造分数阶卡尔曼滤波(FOKF)算法估计电池的SOC，根据算法估计的SOC变化调整等效电路模型参数和分数阶阶数。最后通过实验验证了本文建立的模型和算法的有效性。

1 锂电池分数阶模型

1.1 分数阶定义

分数阶微积分是分数阶建模的基础，有多种不同的定义。G-L 定义可以通过最直接的方法进行离散化近似，而RL 定义主要适用于理论方面的分析研究，Caputo 定义更适用于描述微分方程的初值拓展到分数阶领域的问题。所以本文选择G-L 定义进行计算，其数学表达式如下：

式中：Dr f(t)算子表示分数阶微积分运算；阶次r的正或负则分别对应了分数阶的微分和积分；t和a分别为微积分上限和下限；h为步长；i=0,1,2...；为二项式系数。

1.2 锂电池分数阶建模

为了精确地估计锂电池SOC，电池模型需要在较低的计算复杂度下更准确地反映电池的动态特性，以便于实际工程的应用。鉴于分数阶微积分在频域中建立的系统模型能够更准确描述电池的非线性特性，本文提出了一种基于二阶RC 模型的分段分数阶模型，如图1 所示。图中：Uoc为电池的开路电压，当电池SOC减小时，开路电压也会随之下降；R0为欧姆内阻；U0为R0的分压；第一个RC 回路由R1和C1并联构成，共同表征活化极化效应；第二个RC 回路由R2和C2并联构成，共同表征浓差极化效应；I为电池的端电流；U1和U2分别为两个RC 回路上电压的分压；n1和n2分别为两个RC 回路的分数阶阶数。

图1 分段分数阶模型

根据图1 所示的模型和基尔霍夫定律，其数学模型可以描述为：

通过安时积分法计算电池的SOC：

式中：Q为锂离子电池容量；SOC0为电池初始SOC；t0和t分别为开始和结束时间。

基于分数阶建立电池的状态空间方程：

式中：x为状态空间的变量，；I为电池电流；y为系统的观测量，即模型输出的端电压，；n为分数阶阶数矩阵，；A、B、C、D为系数矩阵。

2 锂电池分数阶模型参数辨识

2.1 电池模型的参数辨识

电池模型需要辨识的参数包括R0、R1、R2、C1、C2和Uoc，本文按照《FreedomCAR 电池测试手册》中的混合脉冲功率特性(HPPC)实验，以松下NCR18650B 锂电池为例进行测试，电池的标称容量为3 350 mAh，标称电压为3.6 V。通过BTS-5V12A 电池测试系统，分别以4.8 A 的放电脉冲和3.6 A 的充电脉冲在室温下对电池进行实验。从SOC=1 开始测试，每次测试后对电池进行放电，使电池SOC下降0.1，循环执行脉冲测试直到SOC=0，并记录数据。通过HPPC 放电实验对参数进行辨识，下面以一次循环的脉冲电压、电流曲线为例，说明参数辨识的原理及过程，如图2 所示。

图2 一次循环的脉冲电压和电流曲线

在进行脉冲测试前，电池已经进行了充分的静置，所以开路电压Uoc可取由放电脉冲电流产生压降之前的静置电压。由放电脉冲电流产生的瞬时压降或充电脉冲产生的瞬时升压，可以辨识出电池的欧姆内阻R0，计算公式为：

将电池的数学模型式(2)结合时间常数公式τ=RC进行求解，可得：

两次电流脉冲之间这一段电流输入为0 的静置时间，可以看作RC 环节的零输入响应。将式(7)代入式(3)可得：

将式(9)对电压变化曲线进行拟合即可辨识出U1(0)、U2(0)、τ1、τ2。由于在放电脉冲前电池已进行充分静置，所以放电脉冲时电压的变化可以看做RC 环节的零状态响应，而且在放电脉冲结束的瞬间，电池极化电压基本不变，结合式(7)可得：

式(10)中除R1、R2外均为已知，所以可辨识出R1、R2，再结合式(8)可辨识出C1、C2。

2.2 分数阶阶数辨识

本文中分数阶阶数辨识方法采用粒子群(PSO)算法，因为PSO 算法参数较少、收敛速度快，且具有记忆效应。将模型阶数设为自变量，通过模型端电压和电池实际端电压的均方根误差值来判断模型阶数的辨识结果。PSO 算法的适应度函数为：

式中：N为采样总数；k为采样次数；Uk为模型端电压；volk为电池实际端电压。

在进行模型参数辨识时，电池的内阻在SOC较低时增大趋势明显，如图3 所示。考虑到内阻的变化趋势，且电池在SOC较低时放电电压下降速度也较快，所以本文选择以SOC=0.2为分界点，分段对阶数进行优化。在SOC>0.2 时，两个RC回路分别为n1、n2。在SOC<0.2 时，两个RC 回路分别为n3、n4。然后将分段仿真得到的模型端电压Uk代入到式(11)进行参数优化，从而得到更加准确的等效电路模型，参数优化过程如图4 所示。

图3 电池参数随SOC的变化曲线

图4 PSO算法优化过程

3 基于分数阶卡尔曼滤波算法的SOC估计

3.1 本文构建的分数阶状态空间方程

将式(4)离散化得到：

式中：xk、xk+1分别为k和k+1 时刻的状态变量；Ik为k时刻电池电流输入；yk为k时刻电池端电压输出；wk和vk分别为状态空间的过程噪声和测量噪声；Ak、Bk、Ck、Dk为系数矩阵。为了更好地模拟电池内部参数随SOC的变化，本文将辨识的模型参数进行二次插值拟合，状态方程的系数矩阵随估算的SOC而进行变化，从而更真实地模拟电池的实际工作状态。

基于G-L 定义，可得到分数阶描述：

式中：Ts为系统采样时间。

取Ts=1 s 则可得到系统离散化方程：

3.2 分数阶卡尔曼滤波算法

通过k-1 的状态和误差协方差矩阵，对k时刻的状态和误差协方差矩阵进行时间更新：

卡尔曼增益矩阵Lk为：

再通过k时刻的值对算法进行更新，以达到使估计结果更准确的效果。

3.3 实验验证模型

为了验证锂离子电池分段分数阶等效电路模型和分数阶卡尔曼滤波算法的精度和有效性，通过不同倍率放电实验对算法进行验证。首先对电池进行恒流充电，电流大小设置为0.5C，直到电池达到充电截止电压4.2 V。再以4.2 V 的电压值对电池进行恒压充电，当电流小于0.05C时停止。此时认为电池为满电状态，电池的SOC=1。将电池充分静置，直到电池的电压达到稳态。对电池进行不同倍率放电测试：

(1)设置电池1C放电20 min，静置1 h；

(2)设置电池0.5C放电40 min，静置1 h；

(3)设置电池0.25C放电，直至电池电压降低至放电截止电压2.5 V 时停止实验。

将本文建立的电池模型的电流值进行同样设置，可以得到模型在恒流放电工况下的端电压值。分段分数阶模型端电压、二阶RC 模型端电压和电池端电压的实验参考值如图5所示，两者误差如图6 所示。

图5 不同倍率放电工况下电池端电压实验参考值和模型端电压

图6 模型输出电压误差

实验结果表明，在电池SOC较高时，普通二阶RC 模型和分段分数阶模型都能较好地模拟电池的电压状况。但是在电池SOC<0.2 后，二阶模型电压下降过慢，而分段分数阶模型在SOC<0.2后电压变化更接近实际电压，模型准确性更好。

FOKF 算法估计的SOC值、EKF 算法估计的SOC值和SOC参考值对比如图7 所示，SOC参考值通过安时积分法计算得到，两种算法的绝对误差如图8 所示。实验结果表明，本文构建的FOKF 算法和EKF 算法都能跟踪SOC的变化过程，FOKF 算法和EKF 算法的均方根误差分别为0.95%和1.74%，因此，相较于EKF 算法，FOKF 算法的估算精度更高。

图7 SOC估计值和参考值

图8 SOC估计误差

4 结语

本文依据电池充放电特性和分数阶微积分特性建立了一种分段分数阶等效电路模型，经过实验验证，在SOC<0.2时，相比较于二阶RC 模型，它能够更准确地模拟电池的充放电特性，模拟电压变化误差更小。

基于分段分数阶等效电路模型和FOKF 算法进行电池SOC估计，根据算法估计SOC的变化调整等效电路模型参数和分数阶阶数，更好地模拟了电池在充放电过程中外部特性的变化，改进了EKF 算法中用固定参数模拟电池特性的不足。实验结果表明，FOKF 算法和EKF 算法的均方根误差分别为0.95%和1.74%，因此，本文构建的FOKF 算法相比EKF算法在精度上有了明显提高，具有重要的应用价值。