宋英韵，胡 赟，张 崇，单浩栋，贾晓淳

(中国原子能科学研究院 核工程设计研究所，北京 102413)

在目前快堆设计计算流程中，首先使用PASC-5程序[1]制作少群常数库，然后使用NAS程序[2]进行堆芯的三维扩散/输运计算，NAS程序采用六角形粗网格节块法，用正交多项式展开逼近节块内的中子通量密度分布，并通过平均偏流来确定节块间的耦合关系。在现有的整个计算流程中，求解组件均匀化群常数时仅使用直接体积均匀化的方法，即将各种材料按照体积份额作为权重进行均匀化。快堆控制棒组件的非均匀效应比较强，直接体积均匀化的方法会导致控制棒价值计算产生较大偏差。在快堆设计计算中必须对控制棒价值的这种非均匀效应进行修正。

针对快堆控制棒组件的非均匀效应有两种修正方法[3]：一是直接修正因子法，即采用蒙特卡罗方法求解控制棒价值的非均匀修正因子，将直接体积均匀化计算得到的控制棒价值乘上非均匀修正因子，即可得到考虑非均匀效应后的控制棒价值；另一种方法是群常数修正法，即对控制棒组件的均匀化群常数进行修正，得到一套考虑非均匀效应的群常数，继而与未修正的群常数相比得到一套群常数修正因子，提供给堆芯计算使用。直接修正因子法需针对不同的单棒或棒组计算对应的修正因子，且仅对控制棒价值的计算结果进行了修正，未考虑非均匀效应对相关联参数(如功率分布、中子通量分布等)的影响。群常数修正法对同一类型控制棒组件仅需给出一套群常数修正因子，同时也考虑了控制棒非均匀效应对相关联参数的影响。

本文采用群常数修正法，对多种均匀化方法应用于快堆控制棒组件的非均匀效应修正进行相关研究，针对非均匀性较强的控制棒组件，结合3种均匀化方法开发相关计算程序，为后续NAS扩散计算提供一套关于群常数的修正因子。对比几种均匀化方法对控制棒价值计算精度的提高程度，并与参考计算结果进行对比验证。

1 理论方法

在目前NAS计算中，是以均匀化的栅元为单位的。因此，获得精确的均匀化群常数是进行堆芯物理计算的前提。在均匀化过程中，不可避免地会损失许多物理信息，不可能要求均匀组件全堆芯计算能恢复所有非均匀问题的物理特性。但为使均匀化后的计算能再现均匀化前的问题，必须保证某些重要的物理量守恒[4]。在NAS程序中，扩散系数是关于输运截面的函数，即D=1/3Σtr，其中D为扩散系数，Σtr为输运截面。对输运截面进行修正即可实现对扩散系数的修正。

1.1 体积-通量权重方法

(1)

其中，x=a、tr、s，分别代表吸收、输运及散射等不同反应类型。该方法没有严格要求反应率守恒，但在一定程度上考虑了组件的非均匀效应，且操作简单。

1.2 反应率之比守恒方法

反应率之比守恒方法由Kitada等[6]提出，主要用于快堆控制棒组件均匀化的超栅元计算。该方法保证均匀化前后超栅元中控制棒区域与燃料区域的反应率之比守恒，利用均匀化前后反应率之比守恒进行均匀化群常数的求解。在计算过程中控制棒周围燃料区域的均匀化截面不必随迭代进行改变。

均匀化前后超栅元中控制棒区域与燃料区域反应率之比分别为：

(2)

(3)

(4)

1.3 反应性守恒方法

反应性守恒方法首先由Rowlands等[7]提出，后续TOMMAS[8]在ERANOS内进行了该方法的相关开发验证。反应性守恒方法是将控制棒组件均匀化视为一种扰动，利用扰动前后反应性守恒，求解控制棒组件的均匀化群常数。

将均匀化前后系统内中子输运方程写为算符形式：

(A-F/k)Φ=0

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

在这种情况下，为保证均匀化前后反应性相同，则需要：

(10)

写成积分形式后即可得到均匀化之后的截面为：

(11)

散射截面为：

(12)

2 计算程序开发

在进行群常数修正计算时，需针对控制棒组件的超栅元结构进行计算。由于快堆控制棒组件不含裂变材料，需采用控制棒周围包含裂变材料的超栅元结构进行控制棒相关计算。控制棒组件采用二维精细几何描述，控制棒组件由采用体积均匀化的燃料包围，为控制棒计算提供裂变源项。通过对超栅元进行计算可得到不同方法下的均匀化群常数，进而求得体积均匀化计算得到的群常数的修正因子。根据上述流程，结合二维MOC计算程序ACMOC[9]，开发完成群常数修正因子计算程序FRHP。

FRHP的计算主要流程如图1所示，其中关键步骤如下。

图1 群常数修正方法计算流程图Fig.1 Calculation flow chart of group constant correction method

1) 群常数准备。利用PASC-5程序处理多群常数库，进行共振和并群处理，为后续超栅元计算提供相应少群常数。

2) 超栅元计算。超栅元计算按需求分为非均匀几何计算和均匀化几何计算。其中体积-通量权重方法仅需进行非均匀几何计算。反应率之比守恒与反应性守恒需进行均匀化几何计算。值得注意的是，反应性守恒方法在计算过程中需进行共轭计算。

3) 更新群常数。按体积-通量权重方法、反应率之比守恒方法及反应性守恒方法计算得到更新后的少群群常数。

3 数值检验

3.1 例题描述

本文使用中国实验快堆(CEFR)算例[10]进行3种群常数修正方法及FRHP的验证。CEFR采用UO2作为燃料，堆芯中含有79根燃料棒，2根调节棒(RE)，3根补偿棒(SH)，3根安全棒(SA)，394根不锈钢棒，230根硼屏蔽棒，1根中子源组件。CEFR计算模型的平面图如图2所示。控制棒组件使用B4C作为中子吸收体。控制棒组件10B富集度列于表1。

图2 CEFR堆芯布置Fig.2 Core layout of CEFR

表1 控制棒组件10B富集度Table 1 Enrichment of 10B for control rod assembly

群常数修正因子计算所使用的超栅元结构如图3所示。其中，控制棒组件采用真实精细几何描述，燃料区域采用体积均匀化的燃料。得到控制棒组件群常数修正因子后，通过NAS程序采用33群少群常数进行CEFR三维堆芯扩散计算，33群中子能群结构列于表2。

图3 控制棒组件真实结构与超栅元结构示意图Fig.3 Schematic diagram for control rod assembly and super cell

表2 33群中子能群结构Table 2 33-group neutron energy group structure

3.2 群常数修正因子

3种修正方法对应的修正因子如图4所示。根据扩散系数与输运截面的关系可得到扩散系数修正因子。计算结果表明，在快堆设计计算中仅使用体积均匀化的方法会提高控制棒组件的吸收截面，降低扩散系数，造成控制棒价值计算值偏大。从图4可发现，体积-通量权重、反应率之比守恒、反应性守恒等3种修正方法均使补偿棒和安全棒修正后的吸收截面和输运截面变小，且减小趋势相同。从图4还可看出，3种修正方法均使修正后的扩散系数变大，且增大趋势相同。图中结果表明，能群能量越低，相应能群群常数的修正因子也越大，原因是低能中子空间自屏效应较强。另经观察散射截面修正因子，3种修正方法均使修正后控制棒的散射截面出现不同程度的减小。

图4 3种修正方法对应的修正因子(SA&SH)Fig.4 Correction factors of three correction methods (SA&SH)

3.3 控制棒价值修正结果

在快堆堆芯设计计算过程中，利用NAS程序直接进行两次控制棒组件处于不同棒位时的keff计算，并按照式(13)求得控制棒价值[11]。

(13)

f=ρ/ρ′

(14)

其中：ρ为修正前(非均匀)计算的控制棒价值；ρ′为修正后(均匀化)计算的控制棒价值。

使用MCNP程序进行CEFR算例的计算，建模过程中保证燃料组件均匀化几何描述不变，同时分别对控制棒组件进行均匀化几何和非均匀化精细几何描述，而后各自计算控制棒价值。利用式(14)得到控制棒价值的非均匀修正因子，并将该修正因子作为参考值，详见表3。

表3 MCNP计算得到的控制棒价值及非均匀修正因子Table 3 Control rod worth and heterogeneous correction factor calculated with MCNP

利用不同方法进行群常数修正后，使用NAS程序计算得到的非均匀修正因子与MCNP程序计算的参考值对比列于表4。群常数修正前后利用NAS程序计算得到的控制棒价值与MCNP程序计算的参考值对比列于表5。

表4 CEFR控制棒价值非均匀修正因子对比Table 4 Comparison of control rod worth heterogeneous correction factor of CEFR

表5 CEFR控制棒价值修正计算结果对比Table 5 Comparison of control rod worth of CEFR

计算结果显示，在快堆设计计算中，仅使用体积均匀化的方式，控制棒组件的非均匀效应较大，会造成控制棒价值的高估。以CEFR算例为例，对于补偿棒和安全棒，与参考值相比单根控制棒的价值约高估13%～14%，第二停堆系统(3*SA)控制棒价值约高估13%。

使用体积-通量权重、反应率之比守恒以及反应性守恒3种方法分别对CEFR的控制棒组件进行群常数修正计算后，可以将控制棒组件非均匀效应造成的补偿棒和安全棒单棒价值计算偏差分别降低到2.5%、3.1%；0.5%、0.8%；-0.7%、-1.4%。可以将第二停堆系统(3*SA)的控制棒棒组价值计算偏差分别降低到2.5%、-2.2%、0.1%。结果显示3种修正方法均能有效降低控制棒组件单棒或棒组的控制棒价值的高估情况，对快堆控制棒组件的非均匀效应实现有效修正。

3.3 群常数修正对其他相关参数的影响

1) 中子通量密度分布

使用直接体积均匀化会高估控制棒对中子的吸收，采用各种均匀化方法进行群常数修正计算后会对堆芯内中子通量密度分布产生影响，尤其是靠近控制棒的组件。选择典型位置燃料组件(图2中2-1位置)，进行群常数修正后总中子通量密度与第5、13、21群的中子通量密度轴向分布示于图5。结果表明：控制棒群常数修正对中子通量密度的分布有显著影响；对控制棒进行群常数修正会对中子通量密度轴向分布产生影响，尤其是有控制棒插入的堆芯上部区域，中子通量密度分布变化明显，堆芯下部无控制棒插入，影响相对较小；由于低能群群常数修正因子大，因此低能群中子通量密度的偏差要更大。

图5 群常数修正前后中子通量密度分布对比Fig.5 Comparison of neutron flux density distribution before and after group constant corrections

2) 功率峰因子

对控制棒组件的非均匀效应进行群常数修正后，会对中子通量密度的轴向分布产生影响，而中子通量密度分布的变化自然引起功率分布的变化，故功率轴向分布同样会受影响。群常数修正前后全堆功率峰变化列于表6。从表6可发现，针对控制棒组件的非均匀效应进行群常数修正后，CEFR的功率峰因子分别下降约0.37%、0.52%、0.74%。该趋势与堆芯内部中子通量密度的变化趋势相吻合。

表6 群常数修正前后全堆功率峰变化Table 6 Change of power peak before and after group constant correction

4 结论

基于快堆控制棒组件非均匀效应的群常数修正方法，对体积-通量权重、反应率之比守恒及反应性守恒3种方法应用于快堆控制棒组件非均匀效应修正进行了研究。同时结合二维MOC程序ACMOC，开发了进行控制棒组件非均匀效应修正程序FRHP，该程序针对快堆控制棒组件提供一套群常数修正因子。以CEFR算例为例，对控制棒组件的非均匀效应进行群常数修正计算前，控制棒组件的非均匀效应导致单根控制棒价值约高估12.8%～13.9%，第二停堆系统的控制棒棒组价值约高估13.1%。进行修正计算后，可将单根控制棒组件的控制棒价值计算偏差降低到3.1%以下甚至更低，将第二停堆系统的控制棒价值计算偏差降低到2.5%以下甚至更低。同时，进行控制棒群常数修正计算，会对堆内组件的中子通量密度轴向分布产生影响，并进一步影响堆芯轴向功率分布。经数值计算检验，体积-通量权重、反应率之比守恒及反应性守恒3种方法均可应用于快堆控制棒组件的非均匀效应修正中。其中体积-通量权重方法的计算量最小，但修正效果略差，反应性守恒方法的修正效果最好，但计算量最大。