文/广州市南沙麒麟中学 张志明

深度学习是指学生在教师的指导下，围绕具有挑战性的学习主题所开展的自主学习、合作学习、探究学习的总和。是将学习层级深入化，学习方式多样化，学习效度最大化的学习方式。数学学习的特征是思维涌动、思想碰撞，以问题为导向，以基础知识、思想方法为依托，以问题分析和解决为途径，以数学联想和应用创新意识即数学核心素养为根本。在数学教学活动中，作业的合理布置和交流反馈无疑是影响教学效果的十分重要的环节。启思作业设置的理念就是启发学生的思考，提升学生的逻辑思维能力、应用迁移能力。形式上，启思作业可设置为题组训练、变式训练和梯级训练模式。

一、题组训练

通常指一类问题的不同呈现形式，一般是在意义上、形式上、解题路径上做一些调整。通过练习实现深度理解、灵活运用的效果。如三角函数求值问题题组训练：

训练一：齐次求值问题

例 1 已知 tanα＝2，求下列各式的值.

思考：你还有其他的求解方法吗？

思考：你还有其他的解法吗？你能对于此类问题进行归纳吗？你能编写一个类似的问题并给出解题的过程吗？

训练二：变角求值问题

思考：你能计算 cosβ 的值吗？从此类求值问题中你得到哪些启发？你能尝试编写一道类似的问题吗？试试看。

题组训练强调了“型”与“法”的映射，引导学生仔细体会“型”与“法”的内在关联，“型”对思维的启发，“法”对思维的拓延，从思维发展的角度厘清思维形成与发展的脉络，从本质上实现思维的进阶。题组训练对知识的呈现为链状结构，便于知识的深层拓展，能够挖掘出隐藏于知识背后的思想方法，从而加固加深知识的理解和迁移能力，发展学生的核心素养。

二、变式训练

启思作业的变式训练是一个问题的诱变，可以是同向重复变式训练，可以是异向发散思维训练。通过变式训练形成学生对于问题和方法的探究，从而及时进行归纳和反思；或者通过不同方向的散射，引发对基础知识、基本技能和基本方法的灵活理解和迁移应用。即对思维的拓延。

思考：上述问题你能延拓出其他问题吗？这些问题你能用不少于两种方法求解吗？应用基本不等式求函数最值的问题对你有哪些启发？

点拨：本题组设计将基本不等式求函数的最小值问题演绎的淋漓尽致，从变化条件式到变化结论式，层层递进，步步深入。从形式变化到意义深化，从一种解法探索多重思考，揭示了千变万化中不变的规律，展示了形式变化的灵活性.是实现深度学习的有效途径。

变式训练以知识为载体，以问题为依据，以思维发散为探究目的，展示了思维的形成与发展的内在关联，挖掘了基础知识、基本技能、基本思想与方法的内在联系，是引发思维碰撞、建立广泛联系的重要手段。这样的设计，如此的探究，充分展现了数学的形式美、简洁美和思维的奇异美，给学生美的启迪、思维的拓展和探究兴趣的创造。

三、梯级训练

通常是指问题设计的梯度和层次的变化，是对问题的发散和深层次探究，是探究思维脉络，拓展思维向度和深刻性，从而实现深度学习的重要手段。

例6（1）若定义在区间［a，a＋2］上 的 奇 函 数 f（x）满 足（x1－x2）（f（x1）－f（x2））＜0，若 f（1）＝ －2，那么，函数 f（x）值域为___.

（2）对于定义域为 D 的函数f（x），若存在区间［m，n］⊆D，同时满足下列条件：①f（x）在［m，n］上是单调的；②当定义域是［m，n］时，f（x）的值域也是［m，n］，则称［m，n］为该函数的“和谐区间”.下列函数存在“和谐区间”的有

点拨：本题一小问函数的奇偶性和单调性的概念及判断方法，单调性和函数值域的关系等，是基础知识、基本方法层面的浅度开发。二小问给出了函数的“和谐区间”的定义，并依定义进行判断，考查学生对概念的阅读理解能力，对知识的建构和方法的分析思考能力，对问题的深度思索与判断，并通过函数图像直观呈现的能力，渗透对数学抽象、逻辑推理和直观想象核心素养的考查。两个问题两个层面，一个侧重知识的宽度，一个展现思维的厚度和深度，是训练思维、拓展思维、实现进阶的良好题型设计。

①求函数f（x）的表达式；

②判断函数 f（x）在 R 上的单调性并给出证明；

③是否存在实数k，使得函数f（x）在区间［m，n］上的取值范围是若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，请说明理由.

点拨：例题 6（3）中一小题是函数性质小拼盘，利用奇偶性的定义求出系数a 的值，再利用单调性的意义求函数的值域。解题时学生可以用奇偶性的定义直接求值，但运算稍显累赘。也可以特殊值求 a，如 f（0）＝ 0，但从逻辑推理上说需要用定义给出证明。这也是在思维上的初步拖延。三小题则是对“和谐函数”概念的变向推广，考查单调性应用与函数方程问题的深度思考，考查学生观察思考、理解迁移、创新应用的高阶能力。要求学生不仅善于将一般结论演绎为特殊求值，还能够从特殊方程中抽象出共性方程或函数模型，分析得解。问题立足基础，注重综合，关注应用，锐意创新。

梯级训练重在强调思维的内化、深化，重在联系联想。从一个小的问题出发，逐步丰满其体量，丰富其内涵，建立广泛的联系和联想，形成对问题的探究和深化。逐步趋于深度学习、深度思维。

启思作业的开发和设置就是要在启思上做文章，如何能够开发学生的思维？怎样才能厘清和延伸思维的脉络？同时还应注意到学生的个性差异和需求差异，通过问题的梯级设置布置分层作业或拓展作业，通过题组训练布置基础作业，通过变式训练布置合作作业.通过不同的作业模式，满足不同学生的发展需要，维护全体学生数学学习的兴趣，将自主学习与合作探究深度融合，从而使不同的学生在数学学习上得到不同的发展，真正落实核心素养，提升学生的数学应用和创新意识，发展学生的关键能力和必备品格，培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人。