文／江苏省东台市实验中学“数学发现”社团 徐芷涵

我在做练习时遇到一道题：用列表法画二次函数y=ax2+bx+c的图像时，先列一个表，当表中自变量x值以相等间隔的值增加时，函数y所对应的函数值依次为5，17，37，65，101，145，171，257，325。其中一个值不正确，这个不正确的值是，应改正为。

我苦思不得其解，便上网搜索，其解答是这样的：

解：第一次求差，325-257=68，257-171=86，171-145=26，145-101=44，101-65=36，65-37=28，37-17=20，17-5=12。

第二次求差，68-86=-18，86-26=60，26-44=-18，44-36=8，36-28=8，28-20=8，20-12=8。

我猜想第二次的差应为8，将第二次求差中的第三个等式中的26 改为52（44+8=52），再倒推将第一次求差中的26改为52，从而将171 改为197（145+52=197），重新求差，则第二次的差均为8。

所以不正确的数是171。故填空答案为171、197。

发现小秘密：将函数值依次作差，再将所得结果作差，如果该函数是二次函数，两次作差后，结果相等，否则就不是。这是教材上没有讲的二次函数小秘密，是不是所有的二次函数都有这个性质呢？有必要推理论证。

探索小秘密：设二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），自变量x值以相等间隔的值h增加，即x1=m，x2=m+h，x3=m+2h，

则y1=am2+bm+c，y2=a（m+h）2+b（m+h）+c=am2+2amh+ah2+bm+bh+c，y3=a（m+2h）2+b（m+2h）+c=am2+4amh+4ah2+bm+2bh+c，

第一次求差d1=y2-y1=2amh+ah2+bh，d2=y3-y2=2amh+3ah2+bh，

第二次求差s=d2-d1=2ah2。

总结小秘密：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当自变量x值以相等间隔的值h增加时，函数值两次作差，其值为常量2ah2。

教 师 点 评

徐芷涵同学“小题大做”，解后反思，对题目中蕴含的知识进行纵向深入的探究，发现了二次函数小秘密。“做题千万道，解后抛九霄”，这不是我们解题的目的，答案也不是解题的终结。平时做题，我们需要养成在解题之后多反思的习惯，通常有方法的归类、规律的小结、技巧的揣摩，也可以一题多法、一题多变、多题一解，挖掘题目的深度和广度，扩大题目的辐射面，这无疑对自身思维的发展、数学核心素养的提高大有裨益。