侯永莉 郝喆

∗(辽宁有色勘察研究院，沈阳110013)

†(辽宁大学环境学院，沈阳110036)

尾矿作为一种特殊的人工土，与天然土体有很大差异[1]。颗粒沉积特性和分选规律决定着尾矿土的形成过程和工程特性，也影响着尾矿坝的稳定特征。分选和沉积规律受控于尾矿颗粒大小、矿物成分、排放方法以及矿浆浓度等因素，在多种复杂外力的作用下，形成了不同结构特征和物理力学性质的尾矿堆积体。

尾矿浆流动属于固液两相流动。在稀疏两相流中，尾矿颗粒间的距离较大。颗粒之间、颗粒与流体之间，相互作用力很小，可以忽略[2]；但当超过一定浓度时，颗粒间距离缩小，相互作用力就不能忽略。因此，前者只要承受很小剪切力，流体即发生流动，可视为牛顿流体；后者只有承受剪切力超过一定值，流体才能流动，即为宾汉流体，此剪切力称为屈服剪切力。

本文基于两相流体力学理论，开展了尾矿颗粒在牛顿和非牛顿流体中的沉降和分选规律研究，可为尾矿库放矿管理、勘察、设计等提供客观依据。

1 尾矿颗粒在流体中的受力分析

1.1 第一类作用力(与固−流相对运动无关的力)

(1)惯性力

式中，d，ρp，up分别为尾矿颗粒的直径、密度及速度。

(2)重力

(3)压差力

式中，dp/dx为压强梯度，若为重力作用引起，则dp/dx=g，该压差力即为浮力；ρw为流体密度。

1.2 第二类作用力(与固−流相对运动有关的力)

1.2.1 沿固−流流相对运动方向的力

(1)阻力[3]

式中，cp为阻力系数，cp=(24/Re)f(Re)；uw为流体速度；ρw为流体密度；f(Re)为根据不同的雷诺数Re进行选择[4]：

当取f(Re)=1，可解得Stokes阻力公式[4]

当取f(Re)=1+(3/16)Re，可解得Oseen阻力公式[4]

如为非球形，需乘以修正系数，可以通过相关手册[5]进行查阅。

(2)附加质量力

(3)Basset力[6]

式中，ξ(t′)为以前加速度历史的函数，t0为启动时间；µ为流体黏度系数。

1.2.2 与固流相对运动垂直的力

与固流相对运动垂直的力即侧向力，在一维二相流中不考虑。

(1)升力

式中，cL为升力系数，球形颗粒的cL为零，非球形颗粒的cL不为零，但由于尾矿颗粒在各方向随机分布，升力互相抵消，因此升力作用可以忽略；d为球径。

(2)Magnus力[7]

该力与(uw−up)和ω构成右手坐标系。式中，ω为颗粒转动角速度。

(3)Saffman力[4]

其正负号由(uw−up)duw/dy的符号决定，往往发生在固壁附近，因在固壁附近速度梯度大。

1.3 各种力的作用效果分析

当尾矿浆流动是稳定的，则惯性力f1和附加质量力f6均为零。同时由于颗粒速度不变，没有相对加速度，因而Basset力f7也不存在。即使尾矿浆是非稳定流动，也不是所有的力均同等重要，有必要对以上各力作以量级比较。

(1)与Stokes阻力f5a比较

可见，在初期[t−t0]≤30d2/µ时，Basset力f7作用显著；当ωd2≫1，颗粒旋转很强时，Magnus力f9作用显著；除非流场速度梯度很大，在颗粒尺度范围就变化显著，且Re较大，否则Saffman力f10影响很小。例如：对于d≈0.1 mm的颗粒，取µ≈0.14 m2/s，在t−t0>20 µs时Basset力f7可忽略不计；对于ω≈1400 r/s的旋转，Magnus力f9可忽略不计；对于duw/dy<550 cm/s的速度梯度，Saffman力f10可以忽略。

(2)与重力比较

设v为流体的动黏度，则

显然，要使颗粒在Saffman力f10作用下起跳，该力必须大于重力f2。此时床面附近流速梯度应大于1230 s−1。但是Saffman力f10是球形颗粒在均匀无界的均匀剪切流场推出的，只在最大流速梯度的固壁附近，需要考虑。在颗粒跳起后，离固壁距离增加，流速梯度减小，Saffman力f10也随之减小，小于重力f2时颗粒下落。但对于在水中尾矿颗粒旋转时，在同样的速度梯度下将受Saffman力f10作用而浮起。

当粒径d超过0.01 cm，转动角速度ω达2200 r/s，ρp/ρw=2时，速度梯度uw−up大于1230 s−1时，Magnus力f9才超过重力f2，固体颗粒才能被Magnus力f9所托起。

2 在牛顿流体中的沉降和分选

一般颗粒随水流流动的旋转速度均很小，而且除固壁附近外，垂直梯度不大，因此Magnus力和Saffman力对颗粒沉降影响可以忽略不计。固体颗粒沉降是颗粒在垂直流动方向的运动，只是在重力、浮力、绕流层差阻力作用下发生的。

如图1，设流体以v0的速度作水平层流流动，在离底面h处的球形颗粒直径为d，水的黏度系数为µ，为牛顿流体，仅考虑在重力G、浮力W及颗粒运动开始后的绕流压差阻力，即黏性阻力F。颗粒和水的密度分别为ρp和ρw。

图1 尾矿颗粒在牛顿流体中的受力图

列出颗粒运动方程式，有

根据

式中，u为沉降速度；m为颗粒质量，ρp；dp为颗粒直径。

将式(17)代入式(16)，有

化简初始条件为t=0，u=0，对微分方程(19)求解得

如沉降距离为h，则由式(20)可求得沉降距离h与时间t的关系式

单个球形颗粒在离床面h处的流水中开始沉降的同时，随着水流以流速v0一道流动。设水流速为常数，颗粒在水流中扩散作用忽略不计，尾矿颗粒在水中浓度低，忽略颗粒间的相互作用，则在t时间内移动的水平距离s为

据式(21)解出沉降时间t，即可得到颗粒沉降时在滩面上分布的位置。但该式是时间t的隐式，需用试算法进行反复求解，比较烦琐。分析尾矿颗粒在水中的沉降过程：由于重力大于浮力，开始产生加速沉降，颗粒与流体产生相对速度；初期黏性阻力很小，因而沉降加速度很大；随着时间增加，相对速度和黏性力随之增加；当黏性阻力、重力和浮力接近受力平衡状态，颗粒加速度很小，接近于等速沉降，沉降速度达到极限。为此，令t→∞，得到最大沉降速度即极限沉降速度

将整个过程视为以极限速度等速沉降，进行简化计算，则有

或

将式(25)代入式(22)，有

即流过滩面的固体颗粒，沉积位置与其在流体中位置及流体黏度成正比，与颗粒粒径的平方、颗粒密度与流体密度差成反比。

如果尾矿颗粒形状为非球形，则沉降速度ut1=ψut，式中，ψ为沉降速度的形状系数，按表1[5]选取；ut为等效球形颗粒的沉降速度。

表1 形状系数Ψ取值表

以上所述黏性阻力是假设流体为牛顿体，雷诺数Re=1的情况，实验结果与理论结果有很好的近似。当Re>1的情况下，由于在Stokes近似中假设迁移项不等于零，在远离物体处，迁移速度将等于自由流速，位移惯性力不能完全不计。因而在中等Re数10>Re>1的情况下，应该采用考虑部分位移惯性力影响的Oseen解公式f5b计算阻力，然后依次进行以上步骤，得到沉降速度的公式、沉降距离与时间的关系、极限沉降速度、水流中不同粒径在滩面的分布。

3 在尾矿浆中的沉降和分选

3.1 颗粒分选特征研究

设颗粒直径dp=2r，浆体为宾汉流体，屈服切应力为τ，颗粒在浆体中受有浮力W、重力G和剪切阻力τ的作用。设与重力相垂直的微分面积为dA，则dA=πr2cos dθ，设在此微分面上的剪切力为dτB，则dτB=2πr2cos2θdθ[8]，τB=∫

向上剪切阻力合力

又重力

浮力

式中，ρm为浆体密度，即单位时间流过的单位体积的浆体质量Qm，即

式中，ρp为尾矿颗粒密度，kg/m3；ρw为清水密度，kg/m3；Qp为尾矿颗粒流量，m3/h；Qw为清水流量，m3/h。

颗粒在浆液中不发生沉降时有G≤W+FB，由式(28)和式(29)，有

可以求得颗粒最大不沉的直径，即界限直径

当尾矿颗粒小于dp0时不发生沉降。由式(32)可见，当屈服应力τB=0，尾矿浆流体为牛顿体，dp0=0，即全部尾矿颗粒均可发生沉降。如果屈服应力不等于零时，则小于界限直径的部分尾矿颗粒不发生沉降，即不能分选，大于界限直径的颗粒仍然发生沉降。

设尾矿浆的体积浓度为Cv，尾矿中小于dp0的颗粒含量为S0，此部分颗粒不发生沉降，与水组成为两相流体。则根据定义有

代入式(32)，有

可见，dp0与浆体屈服应力和尾矿颗粒的体积浓度有关，且屈服应力τB也随着浓度增加而增大，因而浓度是影响尾矿颗粒浆体沉降中最重要因素。此外，小于界限直径的颗粒含量越大则dp0越大，说明dp0与粒度级配和尾矿颗粒的密度有关。

式(35)中有两个未知数S0及dp0，需要补充一个方程，才能求解不沉降最大直径dp0。为此，可先绘出粒度级配曲线dp-S(曲线1)，然后据式(35)绘出另一条曲线(曲线2)，两曲线的交点坐标即为(S0,dp0)，如图2所示。

图2 S–dp曲线

由式(35)可见，浆体分选沉降可分为三种：(1)浓度较低时：τB=0，dp0=0，全部尾矿颗粒均参与，此时载体不含任何尾矿颗粒。一般为清水，称为不稳定浆体。(2)浓度较高时，τB=0，dp0>0，大于dp0的部分尾矿颗粒参与分选沉降，小于dp0的颗粒则与水构成新流体，不发生沉降，一般尾矿浆均如此，称为半稳定浆体。(3)浓度进一步提高时，τB值很大，dp0值大于所有尾矿颗粒直径，则浆体中物料不再发生分选沉降，称为稳定浆体。

3.2 颗粒沉降规律研究

不沉的最大颗粒直径dp0与τB有关，即与浆料的浓度有关[9]。浓度小，τB越小，即分子增大，同时Cv增大，分母增大，故颗粒不沉直径也减小，同时随浓度中稳定部分所占的比例减小而减小。即原来不沉降颗粒也将有部分发生沉降，随着沉降不断发生，物料浓度降低，不沉颗粒也随之发生沉降，从而使物料浓度再降低，不沉降物料颗粒进一步降低，直至全部颗粒都发生沉降，这就是浆体沉降的过程。

仍假设物料为球体。在宾汉体中存在屈服应力τB，在沉降过程中除受到牛顿流体中的重力、浮力及黏性阻力作用外，还受到τB引起的阻力FB，计算公式

则式(16)化为

整理得

与球体在牛顿流体中沉降微分方程(18)对比可见，通过当量密度变换，可将宾汉体中的沉降分选问题化为在牛顿流体中的沉降问题，从而2节中颗粒在牛顿流体的沉降及分选公式可以适用，得沉降速度公式

沉降距离和时间的关系

同样，颗粒在沉降的同时，以与水流相同速度v0沿沉积滩向前流动，对于分选沉降颗粒粒径不同则沉积在沉积滩不同位置上，有

在宾汉流体中沉降时，其沉速将等于极限速度，这个极限速度称为最终沉速，有

当沉降距离为h时，所需沉降时间为

则在t时间内，沉降至底面时颗粒随水流v0的水平运移距离为

3.3 结果讨论和验证

3.3.1 理论成果讨论

尾矿浆浓度按20%考虑[10]，动力黏度µ取500 MPa·s；矿浆密度变化范围1.8∼2.0 g/cm3，将ρ′p取为1.9 g/cm3；6种典型尾矿的平均粒径取为[11]：dp(尾中砂)=0.35 mm，dp(尾细砂)=0.20 mm，dp(尾粉砂)=0.074 mm，dp(尾粉土)=0.05 mm，dp(尾粉质黏土)=0.035 mm，dp(尾黏土)=0.02 mm。据《尾矿库手册》[10]和《尾矿设施设计规范》[11]，尾矿浆输送流速不宜小于1.0 m/s，且矿浆流速达到1.5 m/s以上时管槽不会冻结，为此将计算流速v0取为1.5 m/s。

取各等别尾矿库坝高[11]的均值为代表，绘制5个等别尾矿库的尾矿水平运移距离。相应坝高为：15 m(五等库)、45 m(四等库)、85 m(三等库)、150 m(二等库)、250 m(一等库)。根据式(45)绘制水平运移距离S变化曲线，如图3所示。

由图3可见：(1)不同等别尾矿库的水平运移距离曲线变化趋势是一致的；(2)随着坝高增加，水平运移距离急剧增大，如尾黏土颗粒运移距离由五等库的585 m增加到9761 m；(3)粒径增加导致水平运移距离减小，而且随着坝高增加，粒径的影响程度愈加显著，如对于坝高250 m的一等库，运移距离由780 m变化到9761 m，说明坝高对尾矿浆沉降和分选产生重大影响。

图3 水平运移距离曲线

3.3.2 理论成果验证

收集国内代表性尾矿库的沉积情况，与理论公式(45)的计算结果进行对比，见表2。

表2 尾矿库水平运移距离调查

可见，调查与理论计算结果基本吻合，但略小于理论值。分析原因，应是由其他因素对尾矿沉积过程的影响造成的，如尾矿浆向尾矿库内流动时，随着较大颗粒的沉降导致浓度降低，τB随之变化，原来不沉的颗粒也会发生沉降；尾矿浆从放矿口排出时，由于浓度高，部分不沉颗粒也跟着一起集体沉降，从而影响尾矿颗粒的输运距离和分布，导致理论计算结果的误差。

4 结论

(1)剖析了尾矿颗粒在浆体中所受的两类作用力。第一类包括惯性力、重力和压差力；第二类包括：沿固−流相对运动方向的力(绕流压差阻力、附加质量力和Basset力)和与固−流相对运动垂直的力(升力、Magnus力和Saffman力)。

(2)通过与Stokes力比较：在[t−t0]≤30d2/µ时，Basset力作用显著；当ωd2≫1，颗粒旋转很强时，Magnus力作用显著；在流场速度梯度很大，且Re较大时，Saffman力作用显著。通过与重力比较，给出了Saffman力与Magnus力的尾矿颗粒起跳判据。

(3)建立了牛顿流体中的尾矿颗粒受力方程，进行了尾矿颗粒的受力特征和沉降特点分析，推导出了尾矿颗粒的最终沉降速度、沉降与距离之间关系式。按等速沉降简化分析，建立了沉降距离与时间关系的解析计算式，对不同Re的沉降计算进行了说明。

(4)确定了尾矿颗粒在宾汉型流体中的分选特点，提出固体颗粒在浆体流动中不沉最大粒径的概念，给出不沉最大粒径dp0max的表达式及确定方法，分析了不同浓度时浆体分选沉降特征。

(5)推导出宾汉流体中的尾矿颗粒沉降微分方程。通过当量密度与密度的等效变换，得到沉降速度计算公式，并建立沉降距离和时间关系，求得沉降至底面时颗粒随水流的水平移动距离表达式，分析了尾矿浆从放矿口排出后的颗粒沉降特征。

(6)对不同等别尾矿库的不同类别尾矿水平运移规律进行讨论，利用国内代表性尾矿库的尾矿沉积资料数据，得出运移距离的计算相对误差在15%以内，验证了理论公式的可靠性，并对误差原因进行了分析。