王 磊，陈顺超，袁胜涛，廖文远

(西南林业大学土木工程学院，昆明 650224)

桥梁是中国公路网的咽喉，是人民生活和国家经济发展的命脉，它的正常使用和安全运营，对交通运输功能的通畅和人民群众的生命财产安全至关重要。目前，中国虽然已经过了桥梁大规模的建设时期，但由于种种原因，桥梁坍塌损毁的事故却频频发生，因此对现役桥梁的养护维修、实际承载力检测评定必须引起足够重视[1-3]。现阶段中外对桥梁实际承载力检测评定的方法诸多，检测内容也比较广泛，同时对桥梁安全稳定的影响因素也很多，其中挠度是桥梁承载力评定的一个重要参数，它体现了桥梁结构的整体刚度。而桥梁动挠度的测量可以对桥梁自振特性、桥梁冲击系数[4-5]等进行分析，从而对桥梁承载能力快速评价，判断桥梁结构的安全性。

中外学者对桥梁动挠度的测量与计算方法进行了充分的研究[6]，目前桥梁动挠度的测量方法主要有光电成像测量法、倾角仪测量法、毫米雷达波测量法、激光测量法、地面微波干涉测量法[7]等。

此外，涂伟等[8]提出了一种基于机器视觉的桥梁动挠度实时测试方法；汪莲等[9]通过对振动梁的动应变数据测量求出相应的应变模态振型，并计算出位移模态坐标，最后利用应变与位移的转换关系得到位移模态振型，根据计算出的位移模态坐标和位移模态振型分析出振动梁结构的实时动挠度曲线；靳明等[10]通过对位移模态理论与应变模态理论异同点的比较，在桥梁动挠度识别中对互关函数加以应用，对挠度识别方法的可行性在实桥中进行了验证；李飞[11]打破了以往挠度测量的限制，推导出简支梁位移模式的公式确定静挠度与静应变之间的标定数值，由动应变推导出动挠度来对冲击系数进行分析。

以上学者对桥梁动挠度研究大都基于理论与实桥验证，并未考虑桥梁动挠度识别在实桥验证过程中的影响因素，因此对桥梁动挠度识别过程中影响因素的研究具有一定的应用价值。通过构建悬挂吊锤和机电百分表的桥梁动挠度测试系统，基于强迫振动理论[12-13]，推导吊锤振动与梁体振动之间的关系式；其次，在室内进行试验验证，通过变换梁体激振源的振动频率、振动幅值、吊锤重量及钢丝绳长度等影响参数进行梁体激振，实测吊锤动挠度和梁体动挠度，研究二者的差异性，再与所推导公式对比分析。研究结果为采用将测量装置置于测点处悬挂的重物下方[14]来测量桥梁结构动挠度的方法提供一定的理论指导。

1 动挠度测试系统的构建

钢丝绳因其抗拉强度高、质量轻和阻尼小的优点，在各种悬挂设备中被广泛地应用[15]。通过对简支梁体底部悬挂钢丝绳，钢丝绳末端悬挂具有集中质量的吊锤，构建了一个悬挂吊锤桥梁动挠度测试系统，如图1所示。

当简支梁体发生强迫振动会伴随着钢丝绳末端吊锤的振动，此时钢丝绳即有轴向拉力方向的纵向振动，又有其自身弹性变形引起的垂直于轴向拉力方向的横向振动，根据钢丝绳受力特性，将钢丝绳看作是只受轴向拉力和纵向振动的柔索，不考虑其垂直于轴向拉力方向的横向振动。

基于达朗贝尔原理，构建模型时基于以下4个假设[16-18]。

(1)在振动过程中，钢丝绳具有连续性和均匀性的特点，几个物理参数如线密度ρ、横截面积S和弹性模量E均保持不变。

(2)在振动过程中，忽略钢丝绳横向振动和扭转的影响，且钢丝绳的纵向振动引起的弹性变形远小于钢丝绳的长度。

(3)在振动过程中，忽略钢丝绳的弯曲刚度、摩擦力及气流的影响。

(4)悬挂吊锤和机电百分表的桥梁动挠度测试系统简化为一个无阻尼单自由度的振动系统。

2 动挠度测试系统的振动分析

在不计阻尼力单自由度且具有抗弯刚度的简支梁梁体跨中有一集中质量M，其上作用一个沿竖向的振动的简谐力f(t)=Fsin(Ωt)，其中，F为简谐荷载，Ω为作用于梁体激振源的振动频率，t为简谐荷载作用的时间。假设该简支梁的质量非常小与集中质量M相比可以忽略不计，则在振动过程中该系统可以等效为如图2(a)所示的弹簧-质量系统[19]。根据等效的弹簧-质量系统对图1所构建的动挠度测试系统的进行受力分析，在图2(a)中的简支梁跨中底部用7×7股截面、规格1 mm，单位长度质量为0.004 05 kg/m钢丝绳悬挂一个具有集中质量M的吊锤，并作用一个相同的简谐力f(t)=Fsin(Ωt)，在振动过程中钢丝绳的刚度能够有效缩减振动系统的震荡时间，但对于钢丝绳所受到的最大的动荷载值影响甚微[20-21]，故作用于简支梁跨中的简谐力可以等效为通过钢丝绳后作用在质量块上的简谐力，其力学模型如图2(b)所示，y是该振动系统在简谐力的作用下产生的竖向位移。

图2 无阻尼单自由度的力学模型

吊锤在振动过程中，将同时受到弹性力Fs、惯性力Fi及干扰力f(t)3个力的作用，则由动力平衡条件得

∑F=0

(1)

则由图2力学模型可得平衡方程为

(2)

式(2)中：K为等效的弹簧刚度；ω为自振频率。

(3)

其特征方程为

λ2+ω2=0

(4)

根据式(4)得到特征方程的根λ=±iω，则通解为

y1=A1cos(ωt)+A2sin(ωt)

(5)

另一部分是式(2)的特解y2，它将随f(t)的改变而改变

y2=Bsin(Ωt)

(6)

将式(6)代入式(2)得出B=F/M(ω2-Ω2)，由式(5)和式(6)组成式(2)的特解y为

y=A1cos(ωt)+A2sin(ωt)+Bsin(Ωt)

(7)

(8)

(9)

由式(9)可以得出，此振动系统是由三部分构成：第一部分是由振动系统初始位移y0和初始速度ν0决定的自由振动；第二部分是与y0、ν0无关，由f(t)作用下产生的振动，其频率与体系的自振频率ω相等，简称为伴随振动；第三部分则是由f(t)产生频率Ω的纯强迫振动或稳态强迫振动。

(10)

其振幅记为A1，即

(11)

(12)

其振幅记为A2，即

(13)

(14)

令

(15)

则

(16)

(17)

(18)

即

Asin(ωt+φ)。

式中：

y的振幅为A，即

(19)

可见系统位移y的振幅A是与时间t相关的函数，对振幅A与时间t的关系进行讨论如下。

(20)

(21)

分别拟合出此系统在F保持不变，改变另两个变量时的振动位移曲线，当F的大小、质量M不变时，随着F作用时间增加的振动位移曲线如图3所示。

当F的大小且作用时间t相同、质量M不同时的振动位移曲线如图4所示。

由图3可知，当F的大小、质量M不变时，随着F作用时间的增加该系统的振动幅值也不断增加。由图4可知，当F作用时间t相同，质量M不同时，增大质量该系统的振动幅值反而减小，两者的差值介于0.001～0.06 mm，说明增大质量M对减小振幅所起的作用并不大，图3、图4的曲线走势符合式(21)的推导。

图3 随着F作用时间增加的振动位移曲线图

图4 质量M不同时的振动位移曲线图

3 系统动挠度测试分析

为了探讨梁体的动挠度与悬挂吊锤的动挠之间的差异，对作用于梁体激振源的振动频率、振动幅值、吊锤质量和钢丝绳长度等影响因素进行分析，通过改变梁体的振动频率、振动幅值、吊锤质量和钢丝绳长度来对比分析梁体与悬挂的吊锤之间的动挠度的差异，动挠度的采集用其机电百分表来采集，机电百分表通过东华测试系统DH5908来收集数据，现场振动试验模型如图5所示。

图5 现场振动试验模型

3.1 不同振动频率的对比分析

在不改变钢丝绳长度、吊锤质量，振动振幅条件下，通过改变作用于梁体激振源的振动频率对吊锤的动挠度进行对比分析，其中振动频率通过秒表计时并进行计算得出，钢丝绳长度为11.3 m，吊锤质量为2.5 kg，幅值为2 mm，不同振动频率下输出梁底与吊锤的动挠度与时间的曲线如图6所示。

图6 不同振动频率下挠度-时间曲线

从图6可以看出，在振幅、钢丝绳长度及吊锤质量不变情况下，通过改变作用于梁体激振源的振动频率可得，当振动周期为3 s时，梁体的振动幅值大于吊锤的振动幅值，且梁体的振动达到峰值的时间快于吊锤的振动峰值，吊锤的峰值相对滞后于梁体峰值；当振动周期为2 s时，同样是梁体的振动幅值要大于吊锤的振动幅值，且梁体的振动达到峰值的时间快于吊锤的振动峰值；当振动周期0.5 s时，相当于频率增加，吊锤的振动幅值相对梁体增加，梁体的振动幅值反而小于吊锤的振动幅值，此时已经发生共振，激振力的方向改变得太快，受惯性的影响，吊锤的位移来不及有相应的变化。

3.2 不同振动幅值的对比分析

在不改变钢丝绳长度、吊锤质量和振动频率的条件下，通过改变作用于梁体激振源的幅值来对吊锤的动挠度进行对比分析，其中振动是幅值通过机电比分表上的刻度盘得出，钢丝绳长度为4.2 m，吊锤质量为2.5 kg，周期为2 s，不同振动幅值下输出梁底与吊锤的动挠度与时间的曲线如图7所示。

图7 不同幅值下挠度-时间曲线

从图7可以看出，在频率、钢丝绳长度及吊锤质量保持不变情况下，通过改变梁体振动幅值分析可得，当振动幅值为1 mm时，梁体与吊锤的振动幅值很接近；当振动幅值为2 mm时，梁体的振动幅值稍微要大于吊锤的振动幅值，两者的振动波峰和波谷值是相一致；当振动幅值达到3 mm时，吊锤波峰高于梁体波峰，梁体波谷低于吊锤波谷；当振动幅值达到4 mm时，随着振幅的增加，吊锤波峰高于梁体波峰，梁体波谷低于吊锤波谷的趋势更加明显。

3.3 不同钢丝绳长度的对比分析

在不改变吊锤质量、振动幅值和振动频率的条件下，通过改变钢丝绳的长度来对梁体和吊锤的动挠度进行对比分析，用皮尺测量得出钢丝绳的长度分别为4.2、7.8、11.3、15.14 m，吊锤质量为2.5 kg，振动幅值为2 mm，周期为2 s，通过改变钢丝绳的长度来输出梁底与吊锤的挠度与时间的曲线如图8所示。

图8 不同钢丝绳长度下挠度-时间曲线

从图8可以看出，在振动频率、幅值及吊锤质量保持不变情况下，通过改变钢丝绳的长度分析可得，当钢丝绳长度为4.2 m时，梁体的振动幅值与吊锤的振动幅值相当接近，且两者振动的波峰差值与振动波谷差值很接近于零；当钢丝绳长度为7.8 m时，梁体的振动幅值要稍微大于吊锤的振动幅值，且两者的振动波峰差值与波谷差值接近于零；当钢丝绳长度为11.3 m时，随着钢丝绳长度的增加，梁体的振动幅值大于吊锤的振动幅值，梁体与吊锤的波峰值很接近；当钢丝绳长度达到15.14 m时，梁体的振动幅值大于吊锤的振动幅值，梁体振动峰值大于吊锤振动峰值，梁体波谷高于吊锤的波谷。随着钢丝绳长度的增加，吊锤的振动越来越偏离梁体的振动。

3.4 不同吊锤质量的对比分析

在不改变钢丝绳长度、振动幅值，振动频率条件下，通过改变吊锤的质量来对两者之间的动挠度进行对比分析，其中吊锤质量是通过电子称称量出来，其质量分别为2.5 kg和5 kg。其中钢丝绳长度为15.14 m，振动幅值为2 mm，振动周期为0.2 s。改变吊锤质量的条件下输出梁底与吊锤的动挠度与时间的曲线如图9所示。

图9 不同吊锤质量下挠度-时间曲线

从图9可以看出，在振动频率、振动幅值及钢丝绳长度保持不变情况下，通过改变吊锤的质量来对比分析可得，随着吊锤质量的增加，梁体的振动幅值和吊锤的振动幅值发生变化，梁体的振动幅值和吊锤的振动幅值都有减小，可见增加吊锤质量系统的振动幅值相对减小。

4 结论

通过对振动幅值、梁体激振源的振动频率、钢丝绳长度及吊锤重量4个变量进行固定其中3个变量不动，改变其中1个变量对比分析梁体动挠度与吊锤动挠度之间的关系，再与所推导公式对比分析，可得基于悬挂吊锤的桥梁动挠度测试不仅与吊锤的质量、简谐荷载作用的时间有关，还和作用于梁体激振源的振动频率、振动幅值及钢丝绳长度有关，可见采用悬挂吊锤的方法对桥梁动挠度测试是具有实用性价值的

(1)不同激振源振动频率的对比分析，通过控制吊锤质量、钢丝绳长度和振动幅值3个参数变量不变，改变作用于梁体激振源的振动频率，吊锤的振动幅值会发生变化，吊锤的振动幅值随频率增大而增大，且逐渐增大超出梁体的振动幅值，此时吊锤与梁体发生共振从而使得吊锤振幅增大。

(2)不同振动幅值的对比分析，通过控制吊锤质量、钢丝绳长度和振动频率3个参数变量不变，改变梁体振幅，随着振幅的增加，梁体的振动幅值与吊锤的振动幅值会发生变化，两者的波峰波谷逐渐分离，梁体波峰高于吊锤波峰，梁体波谷低于吊锤波谷。

(3)不同钢丝绳长度的对比分析，通过固定吊锤质量、振动频率和振动幅值3个参数变量不变，改变钢丝绳长度，随着钢丝绳长度的增加，梁体的振动与吊锤的振动会发生变化，梁体振动峰值高于吊锤振动峰值，梁体波谷高于吊锤的波谷，两者的波峰波谷逐渐分离，且吊锤的达波峰波谷时间相对滞后于梁体。

(4)不同吊锤质量的对比分析，通过固定钢丝绳长度、振动频率和振动幅值3个参数变量不变，改变吊锤的质量，随着吊锤质量的增加，梁体的振动幅值与吊锤的振动幅值会发生变化，梁体的振动幅值和吊锤的振动幅值都有减小，可见增加吊锤质量，系统的振动幅值相对减小。