吴恢銮 施娇娥

【摘   要】思维水平是一个人的思维过程、思维方式、思维品质、思维结果不同层次的反映。以“2的倍数特征”教学为例，构建五步法实证研究路径，分析学生对“2的倍数特征”理解的思维水平，并依据学生对该核心内容理解的思维水平层次，设计个性化学习方案，实施差异化教学。

【关键词】2的倍数特征;思维水平;层次分析;差异教学

思维水平是一个人思维过程、思维方式、思维品质、思维结果不同层次的反映。教师常常凭教学经验去分析学生的思维水平层次，这种基于经验的分析主观性很强，得出的结论不一定科学。而对学生思维水平层次开展实证研究，也就是用数据说话，虽然显得冰冷，但得出的结论可能更加接近学生思维水平层次的真实状态。

个位上是0、2、4、6、8的数能被2整除，能被2整除的数个位上必定是0、2、4、6、8中的一个，也就是说，“个位上是0、2、4、6、8”是2的倍数的充分必要条件，称为“2的倍数特征”。学生理解这样的互逆特征，其思维水平会存在一定差异。

本文试图构建五步法，针对学生对2的倍数特征理解水平与课堂干预进行实证研究。所谓的五步法指的是：水平假设—问卷调查—修订假设—层次划分—差异教学。

一、思维水平假设

思维水平假设是基于对教材与学情的了解而做出的一种经验分析，具有较强的主观性。新授课前，学生对核心内容的理解水平处于何种状态，专家型教师往往能根据学生的学情给出不同层次的界定，其实这种界定就是一种假设。如人教版教材五年级下册“2、5的倍数的特征”中的例1，给出的是百数图，根据学生构建概念从浅表到深度，逐步数学化的思維过程，结合认知维度的五个层次（不会、了解、理解、掌握、应用）划分学生思维水平，如表1所示。

五个水平层次的假设是否符合学生理解该知识的思维水平？每个水平层次的学生数情况怎么样？需要通过实证调查做出进一步的分析。

二、问卷调查设计

根据以上五个思维水平层次，设计相匹配的问题，以求证学生理解该特征的真实思维水平。问卷设计3个大题，7个小问题，具体如下。

1.观察百数表，完成下列问题的回答。

（1）圈出百数表中2的倍数。

（2）观察圈出的自然数，它们有什么特点？请你详细写出它们的特点。

（3）你认为怎样的自然数才是2的倍数？

2.有一个三位数5□□，十位和个位上的数字都被遮住了。如果这个三位数是2的倍数，那么：

（1）个位可以填哪些数字？

（2）十位可以填哪些数字？

（3）判断一个自然数是不是2的倍数，你认为与这个自然数的哪些数位上的数字有关系？你能解释其中的原因吗（解释越详细越好）？

3.迪迪在台灯下写作业（台灯开着），突然停电了，他连续按了15次开关，当来电的时候，灯是（      ）（填“开的”或“关的”），请详细写出你是根据什么来判断的。

第1大题中每个小题的测试目的分别是：第（1）小题测学生在没学这部分知识前，能否判断出哪些数是2的倍数;第（2）小题测学生能否独立发现2的倍数特征;第（3）小题测学生能否对特征进行归纳概括。

第2大题设计了3个小问题，主要检测学生是否知道2的倍数特征跟个位有关，为什么跟个位有关。

第3大题主要检测学生能否在具体的情境中灵活应用2的倍数特征。

三、思维水平假设修订

（一）对“2的倍数外显特征”理解水平分析

学生在判断一个数是不是2的倍数时，最先看的是什么？也就是说，2的倍数外显特征是什么？在第1大题观察百数表的活动中，3个小问题的设计针对性强，构成了可以考查学生理解水平程度的梯度模型。具体分析如下：

1.圈出百数表中2的倍数。

测试前，教师对学生思维水平假设从直观经验水平也就是水平1开始，并将“能圈出2的倍数，但不能发现特征，不能用数学语言归纳概括”作为水平1的界定标准。但测试中发现，参与测试调查的学生中，有1.6%不能圈出2的倍数，因此将假设的思维水平做相应的调整，增加水平0层次，也就是无直观经验水平。

2.观察圈出的自然数，它们有什么特点？请你详细写出它们的特点。

如果学生能写出这些数都是双数、偶数或个位都是2的倍数等，说明已经具备观察发现水平，界定为水平2。

3.你认为怎样的自然数才是2的倍数？

有学生认为“可以除得尽2”，或者“在双数列上的数”就是2的倍数。这还不是真正意义上的归纳概括，这只是判断（如图1）。如果能写出末尾是0、2、4、6、8的数是2的倍数，即能发现并用数学语言归纳概括特征，说明已经达到了基本的归纳概括水平（如图2）。当然，也有概括得十分到位准确的学生，如个位是0、2、4、6、8的数。

（二）对“2的倍数内隐特征”理解水平分析

第2大题的设计意图是考查学生的判断是否与数位有关联性。图3中，该学生知道个位上的数字必须是0、2、4、6、8，但同时他认为十位上的数字也要是2、4、6、8，显然他建立的内在数位关联是错误的。再看图2中这位学生的作品，该学生认为十位上可以是任何数字，可见他是理解2的倍数特征只跟个位数字相关，该学生能正确理解2的倍数的内隐特征。把能理解“2的倍数内隐特征”但不能解释原理的思维水平界定为水平4。

（三）对“用2的倍数特征解决问题”理解水平分析

对第3大题，如果学生能用奇偶性质做出说明分析，就达到了变式情境应用水平。实际上，学生喜欢采用多种策略如画图、列举等方法来解决问题，思维水平层次比用2的倍数特征的原理解释要低一些，属于水平5。

（四）对“用2的倍数特征原理解释”理解水平分析

数学的理解分为工具性理解和关系性理解。所谓工具性理解，是指知道怎么做但是不知道其中的道理。所谓关系性理解，是指既知道怎么做又知道为什么这样做。显然对2的倍数特征能做出原理解释，属于关系性理解。本次调查中，有2位学生能从位值制原理的角度对2的倍数特征做出解释（如图4），他们已经清晰地表达出整百数、整十数等一定是2的倍数，所以只要看个位就行。这种原理解释十分完整，达到了关系性理解水平，界定为思维水平6，属于最高层次的理解水平。

四、思维水平层次划分

通过上面的分析与甄别，将160位学生的调查情况划分为0～6共七个思维水平层次，再把层次比较相近的归为一大类，共四大类。如表2所示。

表2   2的倍数特征思维水平层次划分表

[水平层次 特点 类别 百分比 水平0 不能圈出2的倍数，属无直观经验水平 A类：能力弱，不能发现特征 30.2% 水平1 能圈出2的倍数，但不能发现2的倍数特征，不能用数学语言进行归纳概括，属直观经验水平 水平2 能发现特点，但不能用数学语言进行归纳概括，属观察发现水平 B类：能力一般，能发现但不能概括特征 49.2% 水平3 能发现特征，能用数学语言概括，但不能解释原理，属归纳概括水平 C类：能力中等，能概括特征，但不能解释原理 17.5% 水平4 能发现特征只和个位有关，但不能解释原理，属内隐特征理解水平 水平5 能在变式情境中应用，但原理解释不清，属综合应用水平 水平6 能解释为什么，也能在复杂的情境中进行应用，属关系性理解水平 D类：能力强，能解释，能运用 3.1% ]

这四类学生的思维水平层次占比到底是多少，因情而异，因校而异，因区域而异，以上的数据调查只是提供了研究样本。但学生的思维水平层次具有普遍性。通过思维水平的分析，可以让教师深入把握每个思维水平层次的真实状态，为个性化学习方案设计奠定理论与實践基础，可以更加有底气地精准实施差异化教学。

五、基于思维水平层次进行差异化教学

基于思维水平层次的划分与分析，就“2、5倍数特征”这一课设计了个性化导学问题，实施差异教学，让不同的学生获得有差异的发展。

所谓“个性化导学问题”，是指基于不同学生的学习需求与思维水平，就某个环节的学习，设计不同的智慧卡。智慧卡中的“个性化导学问题”从易到难分为三至四个层次，使不同思维水平的学生都能根据导学问题自主探究知识的发生与发展过程，获得有差异的成功体验。

（一）A卡设计：关注A类学生思维水平

在看到一个多位数时，A类学生不会去关注个位数字特点，所以教学内容设计首先要让他们去关注个位的内容，然后进一步关注哪些数是2的倍数，哪些不是2的倍数;再逐步过渡到关注2的倍数的内隐特征。当学生初步发现关系之后，再让他们举例验证，说一说2的倍数有怎样的特点。设计智慧A卡的目的是希望学生能够沿着自身的思维水平经历属于自己的思维路径，能自觉在个性化问题的驱动下进行自主探索，逐步得到结论。智慧A卡如图5所示。

（二）B卡设计：明确问题指向性与可操性

B卡对应数学能力一般的学生，设计的问题探究空间较小，指导语落在方法和探究策略上，问题指向陈述性知识，不涉及“为什么”的策略性知识。问题指向性明确，易思考、易操作。这一层次的学生，只知道2的倍数的特征，所以这个时候，让他去算一算2的倍数有哪些，通过计算，再来观察2的倍数有什么特征，并且请他们写一写，最后再回到例子中。通过归纳举例到归纳特征，让学生的思维在具象与抽象中不断地进行穿梭，慢慢地悟出并能归纳概括2的倍数的特征。智慧B卡如图6所示。

（三）C卡设计：注重学习方法和探究策略的指导

C卡对应的是数学能力较强的学生。所以设计的问题探究空间较大，个性指导语重在学习方法或探究策略的指导上。设计的问题一般指向有关联的事实性问题，但对“为什么”的策略性知识不涉及。指导语落在对概念的深层次理解上。C卡相对于B卡来说，又上升了一个层次，学生可以通过写数、举例，不断地加深对2的倍数特征的理解与概括。智慧C卡如图7所示。

（四）D卡设计：凸显“为什么”的策略性知识

D卡对应的是数学能力很强的学生，所以问题的设计要具有开放性、探究性，要涉及“为什么”的策略性知识，还要求学生将自己获得的知识加以运用。如担任小老师角色，完成知识的输出过程。对D层次的学生来说，这些问题具有挑战性。智慧D卡如图8所示。

有了这样的个性化导学卡，教师可以放手让每个层次的学生沿着自己的思维过程推进学习进程。但值得注意的是，教师要引导学生根据自身情况选择不同思维层次的个性化学习卡，而不能用自己的判断为学生的学习“定性”，把自认为合适学生思维水平层次的卡直接发给学生。课堂上教师可以这样告诉学生：有四张智慧学习卡，卡上的问题难度不同，D卡难度最大，A卡最为简单，你可以自己选择从哪张卡开始研究。如果你选择了一张卡，研究之后认为问题太难，你可以重新选择;如果你选择的卡上的问题很快解决了，可以继续选择下一张卡进行研究。记得哦，适合自己的才是最好的。

组织课堂反馈可以这样操作：小组内，让选择A卡的学生先汇报，接着是B卡的学生，依此类推。全班汇报交流时，最好是让选择B卡或C卡的学生先汇报，然后让D卡的学生来解释为什么是这样。

教学中，如果每个核心内容都能针对学生思维水平层次做出科学分析，并基于此进行教学设计，在充分了解学情的基础上实施差异化教学，将更有利于学生的发展。

参考文献：

[1] 王秀娟.研究思维水平的差异，培养创造性思维能力[J].数学通报，2003（9）.

[2]克鲁捷茨基.中小学生数学能力心理学[M].李伯黍，译.上海：上海教育出版社，1983.

[3]弗赖登塔尔.作为教育任务的数学[M].陈昌平，等译.上海：上海教育出版社，1995.

[4]夏正江.一个模子不适合所有的学生：差异教学的原理与实践[M].上海：华东师范大学出版社，2008.

[5]蔡金法，聂必凯，许世红.做探究型教师[M].北京：北京师范大学出版社，2015.

[6]鲍建生，等.数学学习的心理基础与过程[M].上海：上海教育出版社，2009.

[7]朱乐平.圆的认识教学研究[M].北京：教育科学出版社，2014.

[8]吴恢銮.如何读懂学生：基于学生实证研究的小学数学学与教的探索[M].杭州：浙江大学出版社，2018.

（1.浙江省杭州市天长小学   310006

2.浙江省杭州市崇文实验学校   310014）