[摘 要] “几何画板”在中小学数学教学中发挥了独特的优势，充分发挥了“以学生为主体，以教师为主导”的新课程模式，激发学生的学习兴趣，提高了学生自主探究的能力，培养学生数形结合等思想。借助中小学数学中的一系列案例，从创设情境、自主探究、数形结合、概念教学等应用方式探索“几何画板”在中小学数学教学过程中的应用，并用二次函数的教学案例来说明“几何画板”在中小学数学教学中的价值所在。

[关键词] 几何画板;数学教学;自主探究

[基金项目] 2020年度云南省教育厅科学研究基金教师类项目“中缅边境地区小学生数学学习现状调查研究”（2020J0749）

[作者简介] 王丽美（1987—），女，山东临沂人，硕士，滇西科技师范学院数理学院讲师，主要从事数学教育、教育统计研究。

[中图分类号] G40-01    [文献标识码] A    [文章编号] 1674-9324（2021）14-0150-04    [收稿日期] 2020-12-30

现代教育技术的发展将对数学教育的价值、目标、内容以及学习和教学的方式产生重大影响。数学课程要重视运用现代技术手段，特别是要充分考虑计算机对数学学习的影响，利用现代技术作为学生学习数学和解决问题的强有力的工具，使学生从大量繁杂、重复的运算中解放出来，将更多的精力投入到现实的、探索性的数学活动中去[1]。新课程提倡自主探索，动手实践与合作交流的学习方式，要求我们在整个数学教学过程中以学生为主体，教师为主导。“几何画板”正是一种很好的实现以学生为主体的一种可视化的动态教育软件。在学习数学的过程中，学生不再是知识的容器而是作为探索者参与进来，不仅有助于学生能力的提高，而且充分发挥了教师的主导作用，使教师探索出新的教学模式。本文结合教学案例探索“几何画板”在中小学数学教育中的应用和价值。

一、“几何画板”简介

“几何画板”是由美国Key Curriculum Press公司制作并出版的教学辅助软件，适用于几何（平面几何、解析几何、射影几何等）及物理教学的软件平台，使用该软件可以很方便地制作出一些表现数学或物理规律的课件。通过该软件制作的课件不仅简单实用、容易学习，而且制作出的课件比较小、便于携带、交互性强。它适用于数学的平面几何、解析几何、立体几何等教学，以点、线、面为基本元素，通过对这些基本元素的变换、构造、测算、计算、动画、跟踪轨迹等，显示或构造出其他较为复杂图形[2]。“几何画板”主要有以下几个特点[3]。

一是动态性。可以用鼠标拖动图形上的点、线、圆，且事先设定的图形的基本性质不发生变化。二是交互性。提供多种方法帮助教师了解学生的思路和对概念的掌握程度。三是探索性。师生可以用几何画板去发现、探索、表现、总结几何规律，建立自己的认识体系，成为真正的研究者。四是简洁性。制作工具少，制作过程简单，容易掌握，不需要花费很多时间和精力去学习软件，强调操作者对学科知识的建构和理解。

二、“几何画板”在中小学数学教学中应用方式

“几何画板”既能创设情境又能让学生主动参与，所以能有效地激发学生的学习兴趣，使枯燥、抽象的数学概念变得直观、形象，使学生从害怕、厌恶数学变成对数学喜爱并乐意学数学[4]。让学生通过做“数学实验”去主动发现、主动探索，不仅使学生的逻辑思维能力、空间想象能力和数学运算能力得到很好的训练，而且还有效地培养了学生的发散思维和直觉思维。“几何画板”在中小学数学教学中主要应用于创设情境、自主探究、数形结合、概念教学等几个方面。

（一）创设情境

在课堂教学中培养学生的应用意识，应当采取灵活多样的课堂教学模式和教学方法，通过活跃的“问题解决”和数学实践活动，引导学生把数学知识与生活实际联系起来[5]。新课程标准要求为学生提供自主学习和自主探究的机会，通过问题情境导入数学的学习过程。几何画板的优势之一在于能够为学生提供丰富的数学实验情境和问题情境，动手操作，在“做”数学的过程中学到知识。

案例一：三角函数y=Asin（ωx+φ）.

本案例是高一数学第一册（下）第四章（三角函数）4.9节的教学内容。这里可以通过直观演示物理中“简谐运动”动画，充分显示运动的整个过程，调动学生的思维和学习兴趣，为培养学生逻辑思维、观察分析等数学能力提供了很好的素材，较好地为新知识创设了情境。

学生利用“几何画板”，单击“描点”按钮，在坐标系上描出相应的点，描完5个点后单击“显示图像”按钮绘制出相应的曲线。在教师的指导下，学生还可以改变参数A、ω、φ来改变三角函数，充分认识三角函数的图像和性质。本案例通过创设情境，激发学生的学习兴趣和求知欲，使枯燥的数学变得直观、形象、生趣。

（二）自主探究

通过学生自己动手操作发现、分析、探索，真正成为知识的探索者，而不再是知识的容器。在不断探索的过程中完善自己的知識体系，提高获取知识的能力。

案例二：抛物线y=2px及其标准方程。

教师给出素材圆锥曲线的统一形式，通过改变离心率让学生自主探究来认识圆锥曲线，在探索抛物线图像及性质的基础上，回顾椭圆和双曲线的图像及性质。

问题探究一：当离心率e>1时图形会变成什么？（学生自主探究后会发现是双曲线）

问题探究二：当离心率e<1时图形会变成什么？（学生自主探究后会发现是椭圆）

问题探究三：当离心率e=1时图形会变成什么？（学生自主探究后会发现是抛物线）

通过自主探究可以看出图像的明显变化，从而得出当离心率e=1时的图像是抛物线。

（三）数形结合

中小学数学中很多内容、概念比较抽象，而中小学生正处在形象思维发达的阶段，但是抽象逻辑思维能力还在形成中。华罗庚说过“数缺少形时少直觉，形缺少数时难入微”。“几何画板”能将许多抽象的知识变得直观、简单，数形得到充分的结合。

案例三：圆与圆的位置关系。

圆与圆的位置关系是在学习点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系基础上对圆与圆的位置关系的探究。设其中一个圆的圆心为O，半径为r，另一个圆的圆心为O，半径为r（规定r>r）。通过探究OO的距离d和两个圆半径的关系来充分理解圆与圆的位置关系。

当d>r+r时，圆与圆外离;当d=r+r时，圆与圆外切;当r-r

（四）概念教学

概念在数学教学中比较困难，特别是中小学生对于概念的理解总是不到位。通过“几何画板”可以使学生从直观上来理解概念的内涵，弥补传统教学中不能清晰描述出概念形成的过程。

案例四：棱台的概念。

“几何画板”可以轻松绘制出各种立体几何图形，也可以让学生充分理解平面图像到立体图形、从二维空间到三维空间的转变。可以将原本黑板上的固定图形变成几何画板中活灵活现的图形，让学生进入一个数形的世界中。能够清晰地看到棱台的组成部分以及随着棱台的高度变化而发生变化，使同学们轻松的学到新知识、新概念。

三、“几何画板”在中小学数学教学中的应用案例分析

案例五：二次函数y=a（x-h）+k的图像和性质。

本案例是人教版九年级上册第22章的教学内容，新课标指出：二次函数的教学必须让学生从二次函数动态化特征的观察过程中，提出假设，并通过实验的方式探索知识点之间的内在联系和相应结论的推导过程。利用几何画板创造良好的数学环境，探索二次函数的图像及性质。本案例采用基于课堂的探究协作型模式，以学生为主体，教师为主导的指导思想。教师先创设环境，提出问题，学生通过“几何画板”进行数学实验，从而观察分析，与同学交流，在教师的指导下进行归纳总结。在整个教学过程中，教师的点拨和学生的自主探究相结合，引导学生主动思考而达到理解二次函数的图像和性质，并通过练习加以检验和巩固。

（一）教学目标

一是知识与技能。首先，会用描点法画出二次函数y=ax的图像，并了解抛物线的概念。其次，利用几何画板观察分析二次函数y=ax图像及性质，总结出二次函数y=ax的开口方向、对称轴、增减性、顶点坐标。最后，能运用二次函数的知识解决简单的实际问题。

二是过程与方法。首先，通过动手操作、观察比较、分析思考、规律总结等活动过程，利用几何画板完成对二次函数y=ax的图像及其性质的认知。其次，经历探索二次函数的图像的作法和性质的过程，培养学生的探索能力。

三是情感态度与价值观。经历观察、猜想、总结等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点。创设情境，让学生积极主动参与自主探索的过程，培养学生数形结合的思想。

（二）教学重点和难点

教学重点：二次函数y=ax的图像及其性质。

教学难点：通过“几何画板”对图像的观察，分析规律，归纳性质，利用数形结合的思想解题。

（三）教学过程

一是创设情境。教师演示愤怒的小鸟这款游戏的动画，在展示动画过程中抛出问题：愤怒的小鸟在射出的过程中所形成的图形是什么？怎样才能让小鸟精准地射中目标？你觉得这个动画跟我们数学知识有什么关联？（学生在思考后得出这个图形是抛物线。）

通过这个动画调动学生的思维和学习兴趣，为学生观察分析二次函数等的数学能力提供很好的素材，较好地为学习二次函数创设了思维情境，引出这节课的主要内容抛物线。

二是复习引入。教师引导学生先复习一次函数的相关知识点，从y=kx到y=kx+b的图像及性质，从k的数值改变总结出一般归路。并让学生用描点法绘制出一次函数y=kx的图像，一次函数的图像时一条直线，反比例函数的图像是双曲线，从而引出二次函数的图像会是什么？为下一步的自主探究做好准备。

三是自主探究。自主探究一：利用几何画板采用描点法绘制出二次函数y=x的图像，观察二次函数的图像时什么样子的？在作图的过程中需要注意什么？

自主探究二：学生观察二次函数图像，并大胆猜想二次函数的图像的特征。

教师补充纠正学生猜测的二次函数图像的特征，并引导学生观察分析图像引出二次函数图像的开口方向、对称轴、顶点坐标以及函数的增减性。

自主探究三：在探究一的图像坐标系中作出二次函数y=3x和y=x的图像，通过对比研究y=x的图像，分析这三个函数的相同点和不同点。

自主探究四：在探究三的图像坐标系中继续作出二次函数y=-x、y=-3x和y=-x的图像，此时从开口方向、开口大小、顶点坐标、对称轴、增减性对比研究六个函数图像的特征，归纳出一般规律。

自主探究五：思考y=ax圖像的特征，分a>0和a<0两种情况研究，并分小组讨论总结出一般规律。

通过五个问题的自主探究，在教师的指导下，学生亲自动手操作，改变a的值来观察图像的变化。用数形结合的思想和分类讨论的思想利用如下图表进行归纳总结，教师进行归纳补充。

归纳总结如下：

二次函数y=ax图像关于y轴对称，顶点为（0，0）。当a>0时，二次函数的开口方向向上，原点是最低点，随着a的值增大，开口越小，当x>0时，函数值y随着x的值增大而增大，当x<0时，函数值y随着x的值增大而减小;当a<0时，二次函数的开口方向向下，原点是最高点，随着a的值减小，开口越小;当x>0时，函数值y随着x的值增大而减小;当x<0时，函数值y随着x的值增大而增大。

四是练习巩固。通过设置不同形式和层次的练习题进行知识的应用和巩固，锻炼学生解决问题的能力，同时检测学生对于二次函数知识的掌握情况。

基础题：

（1）二次函数y=5x的对称轴______，顶点坐标_______，开口方向_______，当x>0时，函数值y随着x的值增大而_____，当x<0时，函数值y随着x的值增大而______.

（2）二次函数y=x的对称轴______，顶点坐标_______，开口方向_______.

提高题：

已知二次函数y=（m-1）x的开口方向向上，则m的取值范围是______.

拓展题：

已知二次函数y=ax与y=2x-1相交于点（1，n），求a，n的值，并画出二次函数的图像.

五是课堂小结。积极组织学生进行本节教学内容的总结，对知识点进行梳理，从而完善学生的认知结构。

六是探究性问题。思考：二次函数y=ax+k的图像及性质。通过学生对这次二次函数的课外自主探究，指导学生拓展思路、發展思维，为下一个教学内容打好基础。

四、教学反思

通过“几何画板”在中小学数学教学中的应用探索，充分认识到“几何画板”实现了“以学生为主体，教师为主导”的新课程模式。德国教育学家第斯多惠曾说过：“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、呼唤”。“几何画板”使学生从知识的容器变为知识的探索者，使教师从知识的灌输者变为学习过程的组织者、指导者。同时使学生融入数学情景中，提高了对数学的求知欲，激发学生学习数学的兴趣。在数学教学的整个过程中，使学生自主探究，观察、比较、分析、思考，从而提升学生的实践操作能力，丰富了数学课程，使数学教学活动得到有效的开展。

参考文献

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）[M].北京：人民教育出版社，2003.

[2]李秉德.教育科学研究方法[M].北京：人民教育出版社，1986.

[3]缪亮，盘俊春.几何画板[M].北京：清华大学出版社，2018.

[4]翁娟.几何画板在初中数学教学应用中的有效性研究[D].苏州：苏州大学，2010.

[5]常亮.基于几何画板软件的平面几何数学建模教学设计研究[D].拉萨：西藏大学，2018.

Exploration of the Application of The Geometer's Sketchpad in Mathematics Teaching in Primary and Secondary Schools

WANG Li-mei

（School of Mathematics and Physics， West Yunnan University， Lincang， Yunnan 677000， China）

Abstract： The Geometer's Sketchpad plays a unique role in mathematics teaching in primary and secondary schools， gives full play to the "student-centered， teacher-led" new teaching model， stimulates students' interest in learning， improves students' ability to explore independently， and cultivates students' thought of combination of numbers and shapes. With the help of a series of cases in mathematics in primary and secondary schools， this paper explores the application of The Geometer's Sketchpad in mathematics teaching in primary and secondary schools from the application methods of creating situation， self-inquiry， combination of numbers and shapes， and concept teaching， and illustrates the value of The Geometer's Sketchpad in mathematics teaching in primary and secondary schools with the teaching cases of quadratic function.

Key words： The Geometer's Sketchpad; mathematics teaching; self-inquiry