张进华 朱树方

摘 要：在初中数学的教学中，解决问题的方法往往不止一种，例如，数学归纳法、建立数学模型法、数形结合、分类讨论，等等，而分类讨论的方法是一种解决数学问题上一种常用的方法，是一种重要的数学思想。学生在学习数学的过程中往往会因为杂乱的知识点，就认为数学学习起来很困难，而分类讨论思想可以将遇到的知识点分类，还可以解决一些问题，例如数字，可以将它细分为“自然数”“无限循环小数”“复数”等等。还有很多例如将代数式进行分类，分类讨论思想可以将数学中的复杂问题简单化，从而提高学生的学习兴趣，同时能够提高教师的教学有效性。

关键词：初中数学;分类讨论的思想;分类讨论的应用

一、 引言

分类讨论的思想就是，将一个复杂的难以解决的问题按照一定的规律拆成很多小问题，将这些小问题逐一分类，拆解的小问题肯定要比最开始的那个大问题简单，学生解决了每一个小问题，然后不管多难的问题学习都能够解决，而有一些问题，可能会有多种解决办法，教师应该引导学生尽可能地考虑周到一点。在教学初中数学时，分类讨论的思想的应用特别广泛，在平常的课后作业、考试试卷上都存在，教师应注重培养学生应用分类讨论的思想，将复杂的问题简单化，教师应该阅读足够的书籍，掌握在这一方面的知识，并结合自身的教学经验，将生活中的一些分类实例带到课堂上去，多样化丰富自己的初中数学教学过程，让学生在解决问题的同时获得喜悦感和成就感，从而提高对学习数学的兴趣，能够都积极主动地参与到老师安排的教学活动中去。让学生在学习数学的过程中进行分类讨论思想的培养，教师应该将书本上枯燥的例子转变出一个个生动的场景，好好把握培养学生分类讨论的思想的机会。

二、 教师培养学生分类讨论思想的策略

首先，对于一个学生从来没有接触过的题型，教师可以引导学生将这个陌生的题，拆成学生熟悉的题，而又应该怎么做呢？

（一）对比自己熟悉的题，充分发挥自己的联想能力

在解决陌生的题之前，学生应该对比自己做过的题目，充分发挥自己的联想能力，回忆做题用的知识点和方法，还有结论，解决现在能够解决的简单问题，在复杂问题中多解决一点自己能够解决的小问题，原来的复杂问题不就简单了。

（二）充分理解题给条件，多考虑几个方面

在数学中解决同一个问题的方法往往不止一个，可以通过很多种方法做出来。学生可以充分运用自己所学习过的知识和自己做题的经验，有助于学生更加了解这道题的题意，这样更有利于学生寻找适合这道题的分析和解决方法，从而更快地解决问题。

（三）适当设置辅助参数，降低题目难度

在初中数学题目中，同一种题目可以有很多种表现形式;而在题目条件和已知结论或问题之间，其实存在很多的联系。所以适当设置辅助参数，可以降低题目难度，建立问题、条件、已知结论的联系桥梁，将学生不熟悉的复杂题，转换为学生明白的简单题。

在学生将题目条件和问题从多个方面分析清楚后，教师可以引导学习进行独立解题，让学生寻找问题简单化的多条路径，告诉学生简单化的一种好办法是“寻找中间环节”，在解题过程中学生可以去寻找一个复杂过程中的简单的中间过程，教师可以引导学生多去寻找题目的中间过程，去分类讨论中间过程。

三、 分类讨论法在实际教学的应用

（一）在求解方程系数时，运用分类讨论思想

（二）在求解代数式时，运用分类讨论思想

代数式在初中数学的教学中是一大难点，代数式比解方程、几何图形、函数都难，是因为代数式的灵活性，学生不仅仅需要将代数式的性质、概念、变换法则、公式弄懂，还要懂得灵活运用，所以在解决问题的时候需要学生能够合理分析题目的所给条件，灵活应用分类讨论思想，将分类讨论思想变成打开这道题答案大门的钥匙。

点评：这道题目考查了学生对于绝对值的理解、分析和运用，当绝对值符号中的值大于零，拆掉绝对值符号后，正常带入其中的值，当绝对值符号中的值小于零，拆掉绝对值符号后，将其中的值改为负值。

（三）在求解点坐标位置题目时，运用分类讨论思维

一些题目中的条件不够明确，导致图形题目的点坐标求出来不止一个，如果学生没有考虑全面，会时常发生有的答案没有解出，将会导致题目不能完全正确。

分析：通过题目所给的条件，可以知道交坐标的两点分别是（2，0）、（0，-2），由于题目没有明确指出A、B两点那个点在x轴，那个点在y轴，就可以分别将（2，0）、（0，-2）设为A点、B点，可以明确知道的是AB是三角形的一条边，但是不知道究竟是哪一条边，同时也不知道C点的位置，这时应该运用分类讨论法。

解：（1）当AB为三角形的底边时，点C它一定在AB边的中垂线上，而且一定与坐标原点重合，即（0，0）;

（2）当AB为三角形的直角边时，因为C点一定在坐标轴上，所以这时又分为两种情况：

①点C在x轴上，可以找到（-2，0）这个点;

②点C在y轴上，可以找到（0，2）这个点。

综上所述，满足题给条件的C点有3个，分别是（0，0）、（-2，0）、（0，2）所以应该选择B答案。

点评：学生应该充分挖掘题意，理解出题者的意图，从多个角度分析题目条件，弄清楚满足题目各种可能情况，图形题目学生可以通过画草图的形式来加强对题目的理解，最好考虑方向时能够按照一定的顺序来，否则会有的答案没有考虑到。

（四）在求函数题目时，运用分类讨论思维

例4 为增强公民节水意识，合理利用水资源，某市采用“阶梯收费”，标准如下表：

如果该用户5、6月份共用水20m3（6月份用水量超过5月份用水量），共交水费64元，则该户居民5、6月份各用水多少立方米？

分析：由于题目没有指明用户，这5月用了多少水，在6月用了多少水，但是交的水费是知道的，所以可以通过固定的水费来分类讨论5月、6月各自的水费。应分情况讨论：5月份不超过6m3，6月份10立方米以上;或5月份超过6m3，在6-10立方米之间;以及5月份在10m3以上分别分析即可得出答案。

解：（3）①当5月份用水不超过6m3时，设5月份用水xm2，则6月份用水（20-x）m3，

根据题意得出：

2x+2×6+4×4+8（20-x-10）=64，

解得：x=22/3>6，不符合題意舍去。

②当5月份用水超过6m3时，但不超过10m3时，设5月份用水xm3，

则2×6+4（x-6）+2×6+4×4+8x（20-10-x）=64，

解得：x=8<10符合题意。

③当5月份用水超过10m3时，根据6月份用水量超过5月份用水量，

故不合题意。

所以5月份用水8m3，6月份用水量为12m3。

点评：这道题主要考查的是学生理解题意、列方程的能力，在初中数学中函数是应该让学生头痛的类型，主要是因为函数需要考虑的角度实在是太多，一不注意就可能少一到两点，教师应该加强学生对于解函数题目的能力。

四、 结语

综上所述，教师应该先弄懂分类讨论思想的作用，再通过专项训练，来培养学生的分类讨论思想，引导学生对于陌生的题目，对比自己熟悉的题，充分发挥自己的联想能力，充分理解题给条件，多考虑几个方面适当设置辅助参数，降低题目难度，引导学生寻找中间环节，实现复杂问题简单化，使用分类思想，简化已知条件，这样解决陌生复杂的题目速度更快。让学生在学习数学的过程中进行分类讨论思想的培养，教师应该将书本上枯燥的例子转变出一个个生动的场景，好好把握培养学生分类讨论的思想的机会。

参考文献：

[1]王娟.试论初中数学教学中分类讨论思想的应用[J].祖国，2018（5）.

[2]郑雪梅.分类讨论思想在初中数学教学中的应用[J].新课程，2020（36）.

[3]袁霞.分类讨论思想在初中数学教学中的渗透[J].数理化解题研究，2015（18）.

作者简介：张进华，湖北省仙桃市，仙桃市彭场挖沟小学;朱树方，湖北省仙桃市，仙桃市彭场中学。