卢梦鑫

(诸暨市实验小学教育集团 浙江绍兴 311800)

工程问题一直是学生学习分数解决问题中的一个难点，特别是当“具体量”和“分率”相遇时，学生表现得更加束手无策。以人教版教材六年级上册《数学课堂作业本》第35页的第9题为例：一段路，如果甲队单独修，需要10天；如果乙队单独修，平均每天可修240m。现在甲、乙两队合修，6天正好修完。这段路长多少米？以下笔者的实践和思考[1]。

一、基础铺垫——以数量关系为“支架”

出示：一段路，甲队单独修15天完成，平均每天可修240米。这段路有多少米？

设计意图：从前测情况看，部分学生对基本的数量关系理解和掌握存在一定的困难，因此，在教学时从最基本的题型出发，目的是复习和巩固最简单的数量关系：工作效率×工作时间=工作总量，工作总量÷工作效率=工作时间，工作总量÷工作时间=工作效率。这些关系是学生解决“工程问题”时的“支架”。其中，重点理解：工作效率×工作时间=工作总量，同时给思路混乱或毫无头绪的学生打开一个窗口——原来复杂、困难的工程问题也可以从这样一个简单的数量关系入手，再在同桌相互说的过程中进一步巩固。

课堂中学生的学习情况：

大部分学生能够快速写出算式：15×240，但当老师提问列出这个算式的依据时，只有少部分学生能说理由。因此，向学生解释：240表示甲的工作效率，15天表示甲的工作时间，甲的工作总量就是所求的路长。同桌两人在互说“工作效率×工作时间=工作总量，工作总量÷工作效率=工作时间，工作总量÷工作时间=工作效率”这个几个数量关系式时，好多学生还要依靠板书，不能成为知识储备。

二、意义的理解——简单的量率相遇问题

第二种方法：引导学生试着画一画线段图。然后试着说一说等量关系。

设计意图：从前测情况看，只有平时数学学习情况良好，成绩较为靠前的学生是采用第二种方法解题的。因此，面对这部分学生，第二种方法略讲，但为了帮助其理解，必须用线段图加以解释和说明。

请学生说说两种方法的解题思路，重点理解第1种方法。

课堂中学生的学习情况：

在分析第二种方法的时候，学生表现得较为木讷，因为他们不擅长画图，也不善于列等量关系。因此，在图形结合的基础上，学生也能试着找到等量关系，但还是表现得较为吃力。

三、比较第1、2题的相同点和不同点，得出一般化的思想——寻求渊源，促进理解

设计意图：比较两个题目的不同和相同点，其实是引导学生试着分析问题之间存在的关联，理清数量之间关系的同时，找到同类信息的联系或者不同信息之间的相同本质，能够自主萌发解题思路和方法，试着去归纳：不管问题怎么变，当遇到这类问题时，最方便、直接且容易理解的方法就是找到工作效率、工作时间、工作总量这三者。当有一个条件成为隐性条件时，试着根据题目的意思去找到相应的量[2]。

课堂中学生的学习情况：

相同点：题目中都有240，也有部分学生能说出这240都表示的是甲的工作效率，问题都是求这段路有多少米。不同点是，第一题是直接告诉甲单独完成要15天，第二题是甲每天完成这段路的。这些直接的关联学生能够找到。稍作停顿后，有学生也悟到了，两个题目其实都是根据“工作时间×工作效率=工作总量”这个数量关系来解决的。当学生有了这样的发现后，教师大力表扬。然后顺着学生的回答进行小结：不管这类题目怎么变，我们都应该试着去寻找题目中不变的关系，把它们作为解题的金钥匙。这样一来，这组循序渐进的练习题也就起到了真正的效果。

四、总结提升——因为理解，再复杂也不怕

出示：一段路，甲队单独修10天，甲乙两队合修需6天，乙单独修平均每天可修240米。这段路有多少米？（学生独立完成）

设计意图：本题是在第2题的基础上的又一步提升，从原来的一个队变成了两个队，数量关系也进一步复杂起来。从学生的前测情况看，已知两个队的工作效率和及其中一个队的工作效率，求另一个队的工作时间，学生也是存在困难的。因此，在这个环节，也需要放慢脚步，为学生搭好支架。剩下的学生能够从第1、2题中获得启发，去思考不变的是工作效率、工作时间、工作总量这三者的关系，变的是求工作时间的办法，因为已知条件变了，需要根据合作时间和甲队的单修时间来求出乙队的工作时间。

课堂中学生的学习情况：

刚开始出示的时候，发现没有学生能很快找到解题思路，老师提醒，觉得关系复杂的时候，可以多读几遍题目，试着从已知的条件中去寻求隐藏的条件，再看看，能不能在前面的1、2题中获得一些启发。

有学生能够想到去寻找甲的工作效率，但在这个问题中，这条路走不通，但能有这样的想法，说明他们已经把数量关系储备在知识体系中了。然后换成去找乙的工作时间，这又需要用工作效率和减去其中的一个工作效率。尽管本题更为复杂，但有了前两题的引导和铺垫，学生还是能够用方法一解决这个问题。方法二基本没有学生能想到。

由教材中一个简单的工程问题发散出花样繁多的类型，但不管题目怎么变化，都希望学生能够根据题意搭建好“工作效率、工作时间、工作总量”这三个基本的数量作为解题的支架，然后根据它们之间的关系，进行正确解答。更本质的看，其实我们可以由工程问题及行程问题、比例问题，凡是涉及三个量之间相互关系的数学问题，都可以用这种基本的思路来解决。相信这种“变中寻不变”的数学思想会在学生心中落地生根，期待他们数学学习路上的繁花似锦[3]。