蒋金厚

一、一个实用的推论

如图1所示. 假设有垂直于纸面的匀强磁场，相同的带点粒子沿同一方向由a点垂直磁场方向进入匀强磁场. 若ab直线为磁场的边界，粒子由p点离开磁场，ap为弦，速度矢量为切线，弦切角为α，粒子的出射方向与入射方向的夹角θ为偏转角. 由几何知识可知偏转角θ=2α，圆心角等于偏转角θ. 以速度矢量为切线，a为公切点画半径逐渐增大或减小的缩放圆，各圆圆心在与入射速度垂直的ac 线上. 在ab直线边界上，不管各圆半径如何，粒子离开磁场的速度方向一致，粒子的偏转角相等，圆心角相等. 由带电粒子在磁场中作匀速圆周运动的周期公式T=■，可知相同的带电粒子在同一匀强磁场中运动的周期相等，与速度和半径无关，各粒子在磁场中的运动时间t=■·T=■·T也相等. 若ad直线为磁场的边界线，各粒子运动到ad直线的时间也相同. 弦切角越大，粒子的偏转角越大，圆心角越大，相比于运行到ab线，运行时间也越长.

推论：相同带电粒子由同一点沿相同方向垂直射入匀强磁场中作匀速圆周运动，从磁场边界上的某点射出磁场，粒子在磁场中的运行时间t=■·T，θ为圆心角，α为弦切角，α越大则运行时间越长，其中，0<α<π.

推论满足条件：首先，磁场为匀强磁场;其次，带电粒子入射速度方向相同，大小不同;再次，带电粒子垂直磁场射入磁场.

二、推论在有界磁场中的应用

1. 磁场边界为直线边界.

【例1】如图2所示，直角三角形平面内有垂直三角形平面向外的匀强磁场，磁感强度大小为B，∠A=60°，现有大量的相同的带负电粒子由A点沿AB方向射入磁场中，不考虑粒子之间的相互作用，不考虑重力. 则（）

A. AC边上都有粒子射出磁场

B. BC边上都有粒子射出磁场

C. 从AC边射出的粒子在磁场中运动的时间皆为■

D. 从BC边射出的粒子在磁场中运动的时间皆为■

解析：如图3，过A作缩放圆，速度矢量为各缩放圆的共同切线，A为共同切线的切点，总可以找到一个与CB边相切的圆，从斜边AC的C点下方射出磁场，到达不了C点，A错误;CB边的D点上方无粒子射出，B错误. 从AC边射出的粒子，弦切角为α=■，所以，这些粒子在磁场中的运行时间皆为t=■·T=■，C正确;从A运行到D点的粒子，弦切角α=■，粒子在磁场中运行时间为t=■·T=■;从BD段射出的粒子，弦切角小于■，粒子在磁场中运行时间小于■，D错误;故选C.

2. 磁场边界为圆边界.

【例2】如图4所示，半径分别为R和2R的同心圆处于同一平面内，O为圆心，AB为大圆的水平直径. 小圆内Ⅰ区有垂直圆面向外的匀强磁场，两圆之间的环形区域Ⅱ区存在垂直圆面向里的匀强磁场，磁感应强度均为B. 现有大量的质量为m，电量为+q的粒子从A处沿圆周切线垂直磁场方向射入磁场.不考虑粒子之间的相互作用，不计粒子的重力. 求：

（1）若粒子运动轨迹不离开磁场Ⅱ区，求粒子入射速度的大小范围;

（2）粒子第一次到达磁场Ⅰ区边界的最短时间;

（3）能通过Ⅰ区和Ⅱ区的粒子的最小周期.

解析：（1）如图5所示，粒子运动轨迹不离开磁场Ⅱ区，轨迹圆O1与磁场圆Ⅰ区边界外切时，圆O1半径为■，由■=■，得v=■，粒子入射速度0

（2）粒子由A进入磁场Ⅱ区，欲使其在最短时间内到达磁场Ⅰ区边界，即粒子作圆周运动的圆心角最小，即弦切角最小. 如图6所示，从A点画一条与Ⅰ区圆相切的直线段AP，AP为粒子轨迹圆周上的弦，弦切角最小，连接OP、OA，三角形APO中的∠OAP=■，弦切角α=■，所以运动最小时间t=■·T=■ .

（3）如图6所示，从P点进入Ⅰ区的粒子，轨迹具有对称性才能回到A点完成一个周期.要使粒子在Ⅱ区中运动时间最短，只有在Ⅰ区中轨迹对称图形最少，在Ⅰ区中运动时间才会最短. 由几何知识可知，粒子在Ⅰ区中运动的圆心角？兹1=■，运动时间t1=2·■·T=■，粒子在Ⅱ区中运动的圆心角？兹2=■，运动时间t2=2·■·T=■. 所以粒子通过Ⅰ区和Ⅱ区后回到A点的最短周期T′=2T=■.

3. 磁场边界为混合边界.

【例3】一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图7中虚线所示，■为半圆，ac、bd与直径ab共线，ac间的距离等于半圆的半径. 一束质量为m、电荷量为q（q>0）的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种速率. 不计粒子之间的相互作用. 在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为（    ）

A. ■     B. ■     C. ■     D. ■

解析：如图8所示，粒子垂直ac进入磁场，圆心在ac直线上. 过c作磁场半圆的切线cp，cp为弦，弦切角最大，粒子运动时间最长. 連接op、oc，由几何关系可知∠ocp=■，则弦切角α=■+■=■. 带电粒子在磁场中运动最长时间：t=■·T=■，C正确，ABD错误;故选C.

责任编辑 李平安