余庆纯　汪晓勤

【课堂研究·特设专栏：HPM课例研究（之二十四）】

编者按：随着新一轮数学课程改革的发展，数学文化逐渐融入数学教育教学，日益受到师生的关注。为推动基于数学史的数学文化课例教学的实证研究，2021年，本刊将继续特邀华东师范大学汪晓勤教授及其HPM研究团队分享基础教育阶段数学文化课例教学的实证研究，旨在让大家更好地认识数学本质、洞见数学价值、品味数学文化，促进教师专业发展，落实数学学科立德树人的教育任务。

【摘 要】基于数学史的数学文化课例研究聚焦数学的知识源流、学科联系、社会角色、审美娱乐与多元文化五个维度，彰显数学四大价值。数学文化课例研究强调数学史内容、实证方法与技术融合。“互联网+教育”时代，数学文化课例研究要不断深挖数学史素材，扎根实证教学，融合信息技术，促进文化育师，落实立德树人的根本任务。

【关键词】数学史;数学文化;课例研究;实证方法;技术融合

什么是数学文化？有研究者基于国内数学文化研究，分别从数学学科、文化、数学共同体、数学活动等多元角度阐释数学文化的内涵，即数学文化是指一群人（数学家），当他们从事数学活动时，遵循共同的数学规则，经过长期的、历史的沉淀，形成了关于数学知识、精神、思想方法、思维方式等的共同约定的总和[1]。《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《标准》）提出，数学文化不仅是指数学的思想、精神、语言、方法、观点以及它们的形成和发展，还包括数学在人类生活、科学技术、社会发展中的贡献和意义，以及与数学相关的人文活动[2]。其中，数学史是数学文化的有机组成部分，不仅展现了数学概念公式、定理命题、问题解决、思想方法等的演进过程，而且展现了多元文化背景下数学的学科联系、社会角色与人文活动。

课程改革以来，我国全面深化新时代教师队伍改革，强调教师要树立正确的历史观、民族观、国家观、文化观，开展中小学教师活动，促进教师终身学习与专业发展[3]。因此，如何在数学课程中提升数学教师的专业发展，促进数学文化的教学实践，已然成为新时代数学教师队伍改革普遍关注的热点问题之一。有研究表明，学科教学是教师专业发展的核心，课例研究是教师专业发展的有效抓手。早在21世纪初，顾泠沅教授便开展了基于数学学科的课例教学研究，依据行动研究的实证范式，总结数学教师教学特征与实践智慧，推进新世纪数学教师队伍的专业发展[4]。

HPM（数学史与数学教育之间的关系）是数学教育的重要研究领域之一，其以喜闻乐见的形式呈现数学知识的来龙去脉，在科学严谨的数学逻辑体系中渗透丰富多彩的数学文化。从21世纪初至今，在HPM与教师专业发展研究中，课例研究不仅提升了数学教师个体的专业知识、教学能力与人文情怀，而且帮助一线数学教师、教研员与高校数学教育研究者共同组建教师专业学习共同体

（professional learning community，简称PLC）。其中，在课例教学环节里，已有实证研究表明，教育取向的数学史在不同程度上彰显知识之谐、方法之美、探究之乐、能力之助、文化之魅、德育之效等教育价值[5]。然而，在HPM教学实践中依舊存在“高评价、低运用”的现象。为了突破这一教学实践困境，教师专业学习共同体基于《标准》中数学文化的概念内涵与数学四类价值，提出基于数学史的数学文化理论框架[6-7]，借鉴该理论框架，在基础教育阶段开展一系列的数学文化课例实践，旨在推动数学文化走进课堂、助教学、促成长。

鉴于此，本研究主要阐述基于数学史的数学文化内涵与理论框架，介绍基于数学史的数学文化课例研究的基本要素、实证方法、技术融合等内容，为促进文化育师，落实立德树人的根本任务提供理论支撑与实践参考。

一、 数学文化内涵

扎根于西方学者总结的数学史教育价值，结合《标准》提出的课程目标、教学建议等内容，构建基于数学史的数学文化的概念内涵与理论框架，将其分成知识源流、学科联系、社会角色、审美娱乐与多元文化五个维度（见表1），指向数学的科学价值、应用价值、文化价值、审美价值四类价值（见表2），进一步基于德尔菲法、文本分析法对该理论框架进行修正与论证，且以初中和高中HPM课例实证该理论框架的普适性（如图1）[8]。

随着新一轮基础教育改革的不断推进，基于数学史的数学文化理论逐渐走进一线教学实践，分别在基础教育阶段开展实证性的课例研究，旨在探寻数学学科文化育人的本质内涵，更加深刻地揭示数学文化的核心教育价值，促进数学学科立德树人的有效落实。

二、数学文化课例研究

（一）研究内容

基于数学史的数学文化课例研究，是指教师专业学习共同体（PLC）围绕某一特定的数学概念术语、公式定理、问题解决等内容，借助线上线下融合式研修的形式，携手开展主题课例的系列研修活动，如资料习得、教学设计、交流研讨、实践教学、反馈评价、反思整理、课例记录等。

基于数学史的数学文化课例研究，其主要流程有五个基本环节（如图2）。

（1）确定课例主题。数学文化课例研究强调数学史内容，聚焦某一特定的数学概念术语、公式定理、问题解决等内容，进行教育取向的数学史料研究，且基于数学史的数学文化五个维度展开分析。

（2）规划教学设计。聚焦该主题的数学文化、课标要求、教材比较、教学实况、学情基础等相关内容，综合考虑“历史发生序—数理逻辑序—心理认知序”三个序列的有机统一，经历数学文化课例主题的教学设计、共同研讨、优化设计等过程。

现以“锐角三角比的意义”课例主题为例，进行阐述说明。

①知识源流：借鉴20世纪上、中叶英美教科书中的锐角三角函数的引入方式，选择性地进行教学重构，以校园生活为背景，引导学生基于不同实际情境，探究系列“不可测问题”的解决方法，在分析问题、解决问题的过程中掌握锐角三角比的概念定义，学会根据直角三角形中两边的长求解锐角三角比的值，揭示学习锐角三角比的重要性、必要性，为学生在高中学习三角函数奠定基础。

②学科联系：在跨学科联系中，锐角三角比是天文学、航海学的重要内容之一。

③社会角色：“日晷”作为古代计时工具，凝结着锐角三角比在社会生活中的实际运用，展现出数学源于生活、服务于生活的重要角色。

④审美娱乐：正切和余切等锐角三角比有着密切关系，体现了数学的简洁美、统一美。

⑤多元文化：基于20世纪早期英美教科书，将数学家们探索“锐角三角比的意义”的过程转化为校园生活中“不可测问题”的活动探究。通过古今对照，表现出不同时期、不同文化下数学家们对“锐角三角比”研究的贡献，展现多元的数学文化。

（3）实施课堂教研。开展数学文化课例教学与研究，要聚焦课堂教学的自然生成、数理人文的和谐统一;同时要注意收集学生反馈、同行评议等实证数据。

（4）反思课例教学。反思主题课例教学中数学史文化素材的运用与教育价值的达成、教师自身专业知能的发展、教师专业学习共同体的合作等，有助于进一步优化课例。

（5）撰写课例记录。基于数学史的数学文化课例研究流程，记录课例研究过程的实践智慧、心得体会与专业成长，进一步聚焦数学文化课例的教学与评价，为今后开展主题的数学文化课例提供参考。

（二）研究主体

数学文化课例研究的主体是由一线数学教师、教研员与高校HPM研究者共同组成，形成教师专业学习共同体（PLC）。近年来，其从个体化学习转向合作式学习，聚焦特定的课例主题，开展自主学习+合作学习的行动研究，在设计—教学—观察—反思中螺旋式地优化数学文化课例研究。

教师学习（teacher learning）是教师专业发展的必经之路[9]，教师主体角色从教学者向学习者转变。对于数学文化课例研究的教师专业学习共同体来说，需要树立共享学习的价值观，充分发挥各自的专业优势，如一线数学教师、教研员扎根于基础教育实践，提供本土化的教学智慧;高校HPM研究者立足数学文化课例研究等教育理论，聚焦国际化的教育洞见。这将打通基础教育阶段与高等教育阶段之间的教育鸿沟，形成“中小学—大学”合作机制（school and university partnership mechanism，简称SUPM）。

（三）研究形式

数学文化课例研究主要有以下四种形式。

（1）专家引导。采用专家讲座的方式，自上而下对数学史、数学文化、课例研究等相关内容进行专业性的引导。

（2）自主学习。学习基于数学史的数学文化等HPM相关理论，阅读相关主题的数学史素材，分析数学文化内涵不同维度的分布情况，比较不同版本的课标、教材之间的异同等。

（3）合作学习。聚焦某一课例主题，以线上线下融合的方式进行小组合作学习，开展基于数学史的数学文化课例主题汇报。同时，教师专业学习共同体基于理论或实践视角，对该课例汇报内容进行反馈与评价。

（4）实践应用。融合数学文化素材，开展课例教学，收集学生反馈、同行评价等数据，不断优化数学文化课例实践。

（四） 实证方法

一般而言，教育研究分为思辨研究和实证研究两类。思辨研究主要解决“应然”问题，注重概念、理论与观点等内容的构建，通过逻辑推理来回答概念性、规范性的问题，而实证研究主要关注“实然”问题，基于收集与分析数据信息得出研究结果。实证研究又分为质性研究、量化研究与混合研究。

长期以来，在传统的思辨研究范式主导下，理论研究常常具有较大的争议性、不确定性。近年来，随着对科学化、规范化研究方法的不断探索，数学教育研究逐渐摆脱思辨研究的束缚，开展了实证研究新范式。在数学文化课例研究中，教师专业学习共同体主要基于行动研究范式，开展课例设计—教学—观察—反思，这与21世纪初顾泠沅教授开展的课例研究有相似之处。

在数学文化课例研究的不同环节，呈现出不同的教育实证研究方法，其中较具有代表性的为以下几个方面。

（1）在教育取向的数学史研究中，高校研究者往往采用历史研究法，按照历史演进的時间顺序、数学文化内涵的分类维度等，对不同主题的数学史料进行解析。

（2）在数学文化课例教学中，教师经常采用问卷调查、深度访谈、视频分析等方法，对学生反馈、同行评议、教师反思等方面的实证数据进行收集，基于理论与实践的角度，共同评价数学文化课例的教学质量。其中，问卷调查聚焦课例教学前后学生认知水平的变化情况、数学文化的感知异同与情感信念的转变发展;深度访谈关注学生在教学前后转变的深层动因;视频分析常运用于课例教学，通过分析教学片段中的师生互动、生生互动，深度解析数学文化融入教学的分布状况与价值彰显，助力教师改进教学，促进其专业化发展。

（五）技术融合

在“互联网+教育”时代，技术在数学文化课例的研究过程中扮演着重要的角色，线上线下融合式的课例研究成为主流。基于在线网络平台开展数学文化课例研究，常采用线上形式进行资料共享、主题汇报、交流研讨，线下形式进行自主学习、教学设计、实践教学、观察反思等，助力教师专业学习共同体的多元发展。

其中，线上课例研讨可借助腾讯会议、钉钉、Classin、微信等在线网络平台搭建网络学习社区，运用腾讯文档、思维导图等技术工具呈现教学设计，开展在线编辑;在课例教学中，教师可结合几何画板、GeoGebra、希沃白板、流转笔记等信息化工具，再现数学家探寻概念公式、命题定理等过程，揭示化曲为直、以直代曲、数形结合等方法的本质;基于PPT、数位板、白板等演示工具制作的HPM微视频、微课，生动地展示数学知识的来龙去脉、数学思想的古今传承，彰显不同时期、不同国家数学文化的历史性、人文性。

三、结语

基于数学史的数学文化课例研究聚焦数学的知识源流、学科联系、社会角色、审美娱乐与多元文化五个维度，彰显数学四大价值。数学文化课例研究强调数学史内容、实证方法与技术融合。

在“互联网+教育”时代，为进一步提升数学文化课例研究的数理人文，教师专业学习共同体需做好以下三个方面的工作。

（1）深挖数学史素材。数学文化课例扎根于数学史研究，为数学教学提供丰富的教学素材与思想养料，然而在教学实证研究中，笔者发现数学文化内涵的五个维度运用却不均衡，因此教师专业学习共同体需要进一步深挖数学史素材，梳理数学知识的来龙去脉与文化维度的分布情况，寻找数学与其他学科之间的密切联系，发现数学在社会生活中的重要运用，品味数学奇趣之美，揭示东西方数学文化的互融互通。

（2）扎根实证教学。基于数学史的数学文化课例研究，承载了发展学生数学学科核心素养的理性知能与人文情怀，支撑了教师专业学习共同体的合作学习与专业发展。可见，数学文化课例教学不仅要聚焦教学实践，而且要注重教育实证方法。基于问卷调查、深度访谈、视频分析等实证方法，还原数学文化课堂的自然生成，揭示数学的教育价值。

（3）融合信息技术。信息技术为数学文化课例研究插上腾飞的翅膀，优化教学内容，提高教学效率，提升教学水平，推动信息化课例研修的历史性嬗变。数学教师借助信息技术开展基于数学文化的章节起始课、基于问题解决的探究重构课、基于历史命题的单元复习课，巧妙地融入翻转课堂、同步课堂、云课堂等多元教学形式，借助电子学习单、流转笔记、电子档案袋等形式，开展以学生为本的数学阅读、数学写作等活动，助力“互联网+教育”时代数学文化课例的实践。

参考文献：

[1]杨豫晖，吴姣，宋乃庆.中国数学文化研究述评[J].数学教育学报，2015 （1）：87-90.

[2]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[3]张侨平，陈敏.课例研究的缘起和流变：回顾与前瞻[J].全球教育展望，2020 （8）：75-91.

[4]顾泠沅，王洁.教师在教育行动中成长：以课例为载体的教师教育模式研究[J].全球教育展望，2003 （1）：44-49.

[5]WANG X Q，WANG K.A categorization model for educational values of history of mathematics：an empirical study [J].Science & Education，2017 （26）：1029-1052.

[6]汪曉勤.基于数学史的数学文化内涵课例分析[J].上海课程教学研究，2019（2）：37-43.

[7]余庆纯，汪晓勤.基于数学史的数学文化内涵实证研究[J].数学教育学报，2020（3）：68-74.

[8]林庄燕，汪晓勤.初中HPM课例中的数学文化内涵分析[J].教育研究与评论（中学教育教学），2019（1）：57-63.

[9]桑国元.教师作为学习者：教师学习研究的进展与趋势[J].首都师范大学学报（社会科学版），2017（1）：142-148.

（责任编辑：陆顺演）

【作者简介】余庆纯，华东师范大学数学科学学院在读博士研究生，主要从事数学史与数学教育研究;汪晓勤，华东师范大学教师教育学院教授、博士生导师，主要从事数学史与数学教育研究。

【基金项目】上海高校“立德树人”人文社会科学重点研究基地之数学教育教学研究基地研究项目——数学课程与教学中落实立德树人根本任务的研究（A8）