毕金钵

摘要：通过对案例分析，引导学生用自主探究的方法，尝试去找向量组的极大线性无关组，以提高学生发现问题的能力，探究问题的能力，解决问题的能力。锻炼学生的观察力，逻辑思维能力，以及总结能力。

关键词：课程思政;线性代数;极大线性无关组;案例分析

一、引言

向量组研究的一个主要问题就是找极大线性无关组。通过此案例分析，给一个向量组，引导学生如何从定义出发，思考出找极大线性无关组的思路，将思政元素贯穿于其中，提高学生去主动发现问题，分析问题，解决问题的能力，锻炼学生逻辑思维能力。

二、具体教学设计内容

1.提出问题

给出一个研究对象向量组，先引导学生不看课本的情况下，尝试自己给出极大线性无关组的定义。

极大线性无关组是什么，为什么讨论它？举例，比如一个班上人多了以后经常会选出各种班代表，代表在不同场合下可以代表全班同学的意见。那么就来引导学生思考一下，当向量组中的向量个数很多，甚至还有无穷多个向量的情形，这里面能不能选出部分向量组把整个大的向量组中所有向量全部代表了呢？再来思考一下，代表能用少的有必要选多的吗？也就是说，我们能不能试着去寻要最精简的代表，它们之间互相独立，其中每一个都不能再由别的代表了。而此处的代表在向量组背景之下就是指极大线性无关组，互相独立就是线性无关。由此引导学生自己给出极大线性无关组定义。

在向量组中选出部分向量组满足以下两条：此处提问学生是哪两条？引导学生回答：

1）线性无关

2）所有向量都可以由其线性表示。

再引导学生思考一下第2条还可以换成另外两种等价说法：其余向量可由其线性表示或任意个向量线性相关。并跟学生一起证明一下为什么可以替换。然后再强调一下第2个条件的3种等价说法可以根据具体情况灵活选择来用。

此时抛出问题给学生：如何找一个极大线性无关组？这个定义能不能解决问题？

2.思考问题

如何找一个极大线性无关组？从定义出发来分析，先把两种情况排除掉。一种是向量组里向量全是零向量，问学生有没有极大线性无关组，学生就会回答没有。一种是整个向量组线性无关，问学生有没有极大线性无关组，学生回答有，再问是谁，学生回答是向量组本身。

再来看一般情况，给一个向量组判断出线性相关且不全为零向量，那么它的极大线性无关组怎么找？

由于向量组中至少有一个是非零向量，设，那么一个非零向量就线性无关，其余向量中任意拿出一个跟放一起发现线性相关，问学生这个时候结论是什么？学生回就是一个极大线性无关组。再问学生，如果剩下的向量中有一个跟放一起线性无关，那么能出结果么，学生说不行，再接着找。那就再假设线性无关，剩下的向量中任意拿出一个跟放一起发现线性相关，问学生这个时候结论是什么？学生回就是一个极大线性无关组。再问学生，如果剩下的向量中有一个跟放一起线性无关，那么能出结果么，学生说不行，再接着找。按此思路一直做下去，最终会找出极大线性无关组。此时问学生这样逐个去试麻烦不麻烦，学生自然说麻烦。那么有没有好用的方式，让步骤变得简单利落呢？

3.解决问题

用一个具体例子来分析如何快速找向量组的极大线性无关组。

给出一个向量组找出它的一个极大线性无关组。

跟学生一起分析问题：要判断向量组的线性相关性，需要对向量组求秩，每个部分向量组都分别求秩太麻烦了，也多做功，为了快速简单方便，可以把5个向量直接放在一起对构成的矩阵求秩。如果用到其中几个向量的秩，只需把其余向量遮住即可。

解：写出向量组构成的矩阵，再用初等行变换化为行阶梯形矩阵

问学生的线性相关性，学生就会回答线性无关。问为什么，引导学生一起分析因为构成的矩阵秩为3与向量组里向量个数3相同。再问学生，其余向量跟放一起的线性相关性？与答都线性相关。问学生原因，引导学生一起分析因为两个向量组构成的矩阵秩都为3比向量组里向量个数4小，所以线性相关。此时问学生结论是什么？学生答就是向量组的一个极大线性无关组。

再问学生是不是极大线性无关组，学生回答是，所以引导学生总结出：第一个结论：极大线性无关组不唯一。引导学生按数学逻辑思维，不唯一举反例即可。此例题即可做为一个反例。再引导学生，数学上当遇到结论不唯一的时候，为了避免讨论问题时每个人的选择不一样，可以定一个标准。通常会选行阶梯中非零行的第一个非零元所在的列对应的向量组作为一个极大线性无关组。极大线性无关组可以不唯一，但本例中不同极大线性无关组所含向量个数都一样是3，問学生这是偶然的么？学生都会说，必然。由此引导学生猜想一个结论：不同极大线性无关组中所含向量个数相同。再跟学生强调，按数学的逻辑思维来说，一个例子有的结论不能代表一般的向量组都有这个结论，猜想必须给出严格的理论证明。再问学生极大线性无关组中所含向量个数是几？学生答3，矩阵的秩是几？学生也答是3。这两个数相等是偶然的么？学生又会答是必然的。由此再引导学生猜想一个结论：极大线性无关组中所含向量个数与向量组构成的矩阵的秩相同。按数学的逻辑思维来说，这个猜想也必须给出严格的理论证明。后续内容再跟学生一起把这两个结论证出来。

由此例题得出3个结论，既可以很好培养学生总结问题的能力，也可以很好的锻炼学生的数学逻辑思维能力，不唯一可以举反例说明，猜想一般有的结论就必须要给出理论证明。有部分同学在证明一般有的结论时，习惯举一个例子来证，这个想法本身逻辑上就有问题，借此再强调一下。

三、小结

向量组的极大线性无关组在线性代数后续内容中应用广泛，因此须引导学生掌握什么是极大线性无关组，找极大线性无关组的方法。从开始提出问题，引导学生一起思考问题，解决问题，最后归纳总结问题。整个课堂学习过程中，将思政思想贯穿其中，培养了学生独立思考的能力，锻炼了逻辑思维能力，让学生体会逻辑思考的乐趣，提高独立思考问题解决问题的能力，帮助培养自主学习的意识，培养学生严谨的科学观和不断钻研的精神观。

参考文献：

[1]同济大学数学系，《工程数学线性代数第六版》，高等教育出版社，2013.

[2]胡觉亮，《线性代数》，高等教育出版社，2013.