董香凤

摘 要：以“解直角三角形知识树”为例，叙述了如何运用建构主义学习观的理论，以学生为主体进行知识树的尝试研究，不断内化生成与完善知识树。让学生整体感知知识与方法，提高学习能力，真正发挥知识树的功效。

关键词：知识树;建构主义;直角三角形

一、初步尝试知识树

作为一名数学老师，我深切感受到很多学生由于知识掌握零散，只能在数学题海中苦命挣扎的茫然与痛苦。于是我投入了很大的热忱去画了一棵棵知识树，可学生反应淡漠，不感兴趣，一堂课下来没有印象。

二、探讨反省知识树

为什么理想与现实之间有如此大的差距呢？解铃还须系铃人，要发挥知识树的功效就必须请教学生。于是我就锐角三角函数一章的知识树与学生进行了探讨。我出示的知识树如下：

学生积极批判，认为这棵“知识树”存在的问题如下：

1.只对本章内容进行概括，和课本目录差不多，没有揭示知识的内在联系，缺乏方法指导。2.每章内容都画一棵树，初中三年大大小小的树很多，记忆麻烦。3.这棵树是老师绘制的，没有从学生已有的知识生根。

针对这些，我进行了深刻反思。首先，我这棵树存在先天性不足，受到教材与章节的制约，过于偏重知识，忽略方法，学生实践的意义不大。其次，我忽略了“心理上的建构”，自以为是地把知识树从外部强行嵌入给学生，致使这棵树缺乏生命力。

三、品种改良知识树

于是全班师生决定一起努力，重新绘制一棵知识树。这棵树研究的对象是“解直角三角形”。考虑到必须具有代表性，因此准备打破章节顺序，从定义、知识、策略与步骤这四大“主干”入手去绘制这棵知识树。终于凝聚了全班师生心血的新知识树产生了：

四、内植生成知识树

1.知识树的“内部植入”

为了让学生以自身的经验为土壤，把它内植于自己的思维中，我让学生从定义、知识、策略、步骤四个方面思考，进行深层探究，讨论的广度与深度完全出乎了我的意料。现总结如下：

（1）从定义的角度，如果没有现成的直角三角形必须构造直角三角形，方法主要有三种：通过作垂线段得到直角三角形。利用勾股定理构造直角三角形。根据直径所对的圆周角是直角，通过构造圆来构造直角三角形。

（2）从知识的角度，对于普通三角形，学生谈到边的关系、角的关系、特殊线段。另外还补充了等腰三角形的知识，让人惊喜的是还有学生从轴对称的角度指出等腰三角形其实就是由两个全等的直角三角形构成的，从而揭示了两者的联系。在此基础上，我适时进行了点拨，所有正多边形边长、边心距的问题，都可以转化成等腰三角形，从而通过解直角三角形来解决。

（3）从解题策略的角度，结合多年来的中考数学试题，学生探讨了这些策略。学生指出用得较多的是“转化”和“数形结合”的数学思想方法。要善于画图，善于发现图中相等的角、互余的角，从而实现三角函数值的转化。有同学还指出直角三角形中的“转化”与图形的相似一脉相承，但是用三角函数的知识更简略。这里特别要指出的是学生还总结出解直角三角形问题中经常出现的两个基本模型图：

在已知∠ABD=α，∠ACD=β，BC=m的条件下，求AD的长度。可以假设AD的长度为x，根据图1，得到方程tan（90°-α）x+tan（90°-β）x=m;根据图2，得到方程tan（90°-α）x-tan（90°-β）x=m。这两幅图正是很多解直角三角形应用问题转化成数学问题的模型图。很多学生感觉找到了这样的模型图就以逸待劳，研究兴趣也更加浓厚了，其实已经开始有了建模的思考与探究。

（4）从解题步骤的角度，这对于我们解直角三角形应用类问题尤为重要。第一步：审题，把实际问题转化成数学问题;第二步：分析，寻找或构造直角三角形，寻找条件与结论之间沟通的桥梁。参照这样的解题步骤，我们的解题格式也将越来越规范。

2.知识树的生成发展

“学以致用”，这棵知识树在学生自主参与的绘制与探讨中已经很好地植根于心中，但它进一步的成长却依赖于我们在解题中对它的理解与感悟，为此我们进行了针对性的训练。典型例题如下：

例1.如图3，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为（）

切入点：联系知识树，从解题策略角度看属于基本模型图1，因此可作AD⊥BC于点D，通过建立方程，求出AD，再利用锐角三角函数的知识求出AB。

五、培植完善知识树

学生很喜欢知识树，可也很纳闷：这些知识方法其实并不陌生，为什么以树的形式表现出来时，印象就特别深刻呢？原来人的右脑又称“图像脑”，它是感性而直观的，在工作时就像拍照片一样，其工作效率远远超过我们常用的左脑，学生为了抓住右脑的这种特性，又集思广益，把自己认为有价值的基本图形都搜集起来，然后筛选出最具有代表性且能促进解题的基本图形，最终形成了下图的“解直角三角形知识树”。

为了巩固学生对这棵树的印象，我们还举行了绘制知识树的比賽，这棵枝繁叶茂的大树终于深深扎根在了每一个学生的心中。

回首知识树的演进过程，我们发现要在学生心中种植一棵知识树，首先，必须体现实效性，这取决于教师对知识方法的理解与融会贯通。其次，无论是这棵树的产生还是使用都必须有学生的参与，需要学生经历“建构”这个由外到内的转化过程。教师只能适当指引，而不能强行嵌入。最后这棵知识树的发展又依赖于学生的智力参与，不断使用、反省、完善。这棵知识树只是一个开始，我们将继续走下去，进行更多知识树的发现之旅，相信不久的将来我们将看到学生心中佳木成林！

参考文献：

[1]莱斯利·P·斯特弗.教育中的建构主义[M].上海：华东师范大学出版社，2002.

[2]涂荣豹.数学教学认识论[M].南京：南京师范大学出版社，2003.