庄 妍，王康宇，董晓强，张 军，苗晨曦

（1.太原理工大学 土木工程学院，太原030006；2.东南大学 土木工程学院 混凝土及预应力混凝土结构教育部重点实验室，南京210096；3.河海大学 土木与交通学院，南京210098；4.山西交通科学研究院集团有限公司，太原030000）

随着我国高速铁路建设的迅速发展，特别是近年来“一带一路”战略的实施和我国标准动车组“复兴号”的投入运营，列车高速、平稳运行的需求对轨道及路基结构的变形提出了严格的控制标准。鉴于道床和路基结构的散粒体特性，及列车荷载的长期循环特性，至今尚未有可靠的道床和路基结构累积塑性变形的预测方法。如何从理论上解决高速列车荷载长期循环作用下道床和路基结构的累积塑性变形控制，同时提出科学合理高速铁路服役性能安全评价方法是亟待开展的关键科学问题。

对于铁路道床和路基结构的设计，交变塑性和增量塑性破坏状态都是不允许出现的，纯弹性状态的设计由于不能考虑材料的塑性行为，偏于保守。因此，基于安定理论确定结构各响应阶段之间的临界荷载，对于结构的设计和分析具有非常重要的经济和安全意义。目前的安定分析方法主要可分为两类：一类是基于数学规划思想的方法［1-2］，当单元数比较多或荷载空间的顶点比较多时，数学规划问题的约束条件就会急剧增加，从而形成大规模线性或非线性规划问题，导致维数障碍的产生，增加安定荷载求解的难度。另一类是适当简化和改进经典安定理论的方法［3-5］，此类方法降低了结构安定分析的复杂程度，克服了维数障碍的难题，但也存在着适用性受限的问题。由于高速铁路道床-路基等工程结构及其所承担荷载的复杂性，仅仅依靠解析方法已无法准确揭示结构中的动力响应规律，因此必须借助于数值软件对工程结构进行仿真模拟。将有限元与数值规划技术相结合是目前国内外研究中常用的静力安定数值分析方法［6］，并已在铁路结构研究中取得了一定的成果［7-8］，但研究大多侧重于轮轨间接触应力和轮轨表面疲劳、磨损等问题，对道床和路基结构这样的铁路线路的重要基础结构，其安定行为的研究仍然相对较少［9-10］，尤其在多个轮载作用下的高速铁路道床-路基结构承载性能安全评价的安定性研究尚属空白。

本文将静力安定解析方法与数值模型相结合发展了一种高速铁路道床-路基结构承载性能安全评价的安定分析方法，通过引入安定荷载包络图的概念，系统研究了道床摩擦系数、道床与基床表层的弹性模量比和厚度比对结构安定荷载的影响规律，为列车荷载长期作用下道床-路基结构累积塑性变形控制提供参考和借鉴。

1 静力安定分析理论

1.1 静力安定解析方法

1.1.1 基于Mohr-Coulomb屈服准则的安定分析

Melan安定定理也称为静力安定定理，可表述为：若存在一个与时间无关的自平衡残余应力场σirj，它与给定荷载范围内的任意外荷载所产生的弹性应力场σiej相叠加后，处处不违反屈服准则f（·），则结构是安定的，即存在：

若采用λp表示外荷载（p是单位荷载；λ是无量纲因子，又称安定乘子），假设σyy是中主应力，则Mohr-Coulomb屈服准则可以表示为［11］：

式中：c为材料的粘聚力，φ为材料的内摩擦角。

式（2）可进一步简化为：

其中：

同样的，若使得式（3）成立，则必然存在N≤0，即存在：

需要注意的是根据式（5）求得的安定乘子仅为屈服准则成立的必要条件，在计算中认为式（3）的第一项为零，而实际上这种假设并不是对所有情况都成立，因此这种方法实际上并不严格满足屈服条件。为了求得准确的静力安定荷载，就需要对残余应力场进行合理的优化调整，以满足式（2）的要求，因此安定荷载的求解即转化为残余应力场的优化问题。

1.1.2 静力安定解析方法的优化与求解

由式（3）可知，若N≤0成立，令f＝0，可以得到方程的2个根：

在循环荷载作用下，结构由于经历了相同的应力历史，因此，残余应力场和荷载的移动方向（x方向）无关，同一深度处（z＝j）的残余应力分量σrxx不随时间和位置而发生变化，且其值必然处于下式定义的范围内：

在给定的荷载参数情况下，可以根据式（6）计算任意深度处残余应力场的最大的小根.如图1所示，若在结构某一深度处，最大的小根与最小的大根相等，则结构在此处可取得安定荷载值，且这两个根将构成可能的残余应力场的分布范围；若最小的大根小于最大的小根，则表明由式（5）计算的安定乘子过大，结构中不存在可能的残余应力场，对于这种情况，就需要对残余应力场进行优化，使其适当的减小以满足静力安定定理的条件。

图1 残余应力场范围与安定荷载关系的示意图Fig.1 Relationship between the possible residual stress field range with shakedown load

基于以上分析，通过如图2所示的优化过程，可以得到循环荷载作用下单层半无限空间结构的静力安定荷载。

2 铁路道床-路基结构安定分析方法

2.1 高速铁路道床-路基结构的安定分析方法

图2 静力安定解析方法的优化过程Fig.2 Optimization procedure for the static shakedown solution

高速铁路道床-路基结构的工程设计，其承载性能并不仅依赖于某一结构层的物理力学参数，而是取决于整体结构的整体工作性状，尤其是各结构层的组合或材料性质不协调时，在给定荷载作用情况下的工程结构通常会呈现出不同的承载能力和使用寿命。从安全性和经济性的角度来讲，安定荷载是设计容许的最大荷载，能使结构在保证安全性的前提下，充分利用其塑性潜力。对于多层结构，为了保证结构的安全性，需确保在安定荷载作用下各结构层均处于安全状态，则安定荷载可取为各结构层容许荷载的最小值，即：

2.2 等效道床有效支承荷载模型

《铁路路基设计规范》（TB 10001-2016）［12］指出，若列车轮载由5根轨枕承担，分担比例为0.1∶0.2∶0.4∶0.2∶0.1，则道床表面应力应以轨枕的有效支承面积作为分布面积，如图3所示。图中pd为动轮载，可按照式（9）计算；b为轨枕的平均宽度；e为轨枕的平均有效支承长度，一般以轨枕端部至钢轨中轴线距离的2倍作为轨枕单侧的平均有效支承长度，对于长度为2.6m的轨枕，其有效支承长度为e＝1.09m.

根据《重载铁路设计规范》（TB 10625-2017）［13］和 《高 速 铁 路 设 计 规 范》（TB10621-2014）［14］的相关规定，pd计算公式如下：

式中：pd为单个动轮载，kN；ps为单个静轮载，kN；α为动力冲击系数或速度影响系数；v为列车行驶速度，km／h；若v＝300～350km／h，则α＝0.003；若v＝200～250km／h，则α＝0.004；重载货车的行驶速度一般为120km／h，其α值可取为0.004；（1＋αv）为冲击系数，最大可取为1.9.

图3 列车轴载在道床表面的分布规律Fig.3 Wheel load distribution on the surface of ballast layer

3 铁路道床-路基结构安定荷载计算结果分析

采用2.2节提出的简化轨道模型，施加图4所示的均布荷载形式及相应的荷载分担比［15］，重点研究道床和基床表层的厚度比、弹性模量比和道床摩擦角随轮轨摩擦系数的影响规律，同时引入安定荷载包络图的概念，为全面评价高速铁路道床-路基结构承载性能的安全性提供参考。

图4 双轮轴作用下道床表面的荷载分布规律示意图Fig.4 Load distribution on the ballast surface under two wheel loads

3.1 安定荷载包络图的概念

安定荷载包络图是指安定荷载的竖向、水平和力矩分量之间的相互关系图，这三个分量组合成为一个三维外凸的曲面，即为安定荷载包络曲面。若固定其中的一个荷载分量，则另外两个荷载分量之间所形成的外凸的关系曲线被称为安定荷载包络曲线，曲线的性状和大小取决于第三个荷载分量的特性。图5为复杂荷载条件下结构稳定包络线图，其中实线表示稳定包络线，可以是极限荷载包络线，也可以是安定荷载包络线。明显可知，图中的L点为稳定状态（静力安全或动力安定），若沿着LA方向增大竖向荷载或沿着LB方向增大水平荷载，或者沿LC方向同时增大两个荷载分量，都可以使结构发生破坏，但不同的加载路径所引起的结构破坏形式各有不同：沿着LA方向加载所发生的破坏为竖向承载力破坏，沿LB方向加载所发生的破坏为滑动破坏，而沿LC方向加载所引起的为混合破坏。由此可知，对于任意荷载状态，使得结构发生整体破坏的加载路径有多种方式，依据结构的初始荷载状态及加载路径的可能变化，相应的，结构也将具有不同的破坏形式。高速铁路结构承受着复杂的列车荷载作用，基于安定荷载包络图，由外荷载在荷载空间中可能的变化形式及加载路径，确定结构在各种荷载组合情况下的最可能的破坏模式，由此可以全面评价高速铁路结构的稳定性，并根据荷载条件提出相应的优化设计方法。

图5 结构稳定包络图Fig.5 Envelope diagram for stability evaluation of foundation under complex loading pattern

3.2 内摩擦角对安定荷载的影响规律

图6 （a）为道床内摩擦角不同情况下安定荷载竖直和水平分量的包络图，当荷载组合位于包络线以内时，结构处于安定状态。对于任意给定的道床内摩擦角，其包络图始终是外凸的，包络图中存在“最优”道床内摩擦角，使得安定荷载包络图处于最外围。当小于“最优”道床内摩擦角时，随着道床内摩擦角的增大，包络线不断向外扩大；而当道床内摩擦角大于“最优”道床内摩擦角时，安定荷载包络图反而随着道床内摩擦角的增大而向内收缩。摩擦系数μ能够较为明显地降低结构静力安定荷载，当摩擦系数μ由0.0增大到0.5时，结构的静力安定荷载减小了61%～77%.根据荷载包络图，在给定的荷载条件下，可以通过调整道床结构的内摩擦角使得结构在外荷载作用下达到安定状态。

3.3 弹性模量比对安定荷载的影响规律

图6 不同因素对安定荷载包络图的影响规律Fig.6 Influence of factors on on the envelope diagrams of shakedown loads

对于结构设计而言，道床与基床的弹性模量比并非越大越好，由图6（b）可知，当弹性模量比等于“最佳”弹性模量比时，结构具有最大的承载能力，所对应的荷载包络线位于包络图的最外侧，当小于该值时，随着弹性模量比的增大，荷载包络线不断向外扩大；而大于该值时，由于道床和基床表层的刚度差异增大，荷载包络线不断向内收缩。对于某一给定的荷载组合，可根据荷载包络图，增大或者减小弹性模量比，使得结构恰好处于安定状态，在尽可能保证结构安全稳定的前提下，最大程度发挥其塑性潜力，节省工程造价。

3.4 厚度比对安定荷载的影响规律

道床和基床表层的厚度比对结构安定荷载包络图的影响规律如图6（c）所示，道床和基床表层的总厚度为1.4m，分析中同时改变道床和基床表层的厚度使之达到要求的厚度比。由图可知，对道床-路基结构中安定荷载的影响存在一个临界的道床和基床表层厚度比，当道床厚度小于该临界值时，结构的静力安定荷载随着道床厚度的增大而增大；而当道床厚度大于该临界值时，继续增大道床厚度对结构承载力基本上没有影响。当道床与基床表层的厚度比大于3∶7时，结构安定荷载的包络线重合，而在小于该比值时，结构的安定荷载包络线随着比值的增大不断向外扩张。由此可知，在某一荷载条件下，基于经济性的考虑，通过调整道床和基床表层的厚度比可以大幅提高高速铁路结构的承载力。

4 结论

1）在任意给定的摩擦系数情况下，始终存在“最佳”的道床摩擦角、道床与基床表层的厚度比和弹性模量比，使得道床-路基结构在外荷载作用下具有最优的承载性能。

2）引入安定荷载包络图的概念，可以给出在某一结构组合和材料参数情况下道床-路基结构所能承受的最大荷载组合，对既有高速铁路道床-路基结构承载性能的安全性评价提供参考。

3）在某一荷载组合条件下，可以通过调整道床-路基结构的厚度比、弹性模量比和道床的内摩擦角等，使得结构在该荷载作用下恰好处于安定状态，以达到高速铁路道床-路基结构累积塑性变形控制的目的，且在满足安全性和稳定性的前提下，最大程度地发挥材料的塑性潜力，节省工程造价。