李海艳

二元最值问题主要考查同学们的运算和转化能力，涉及较多的数学思想方法.此类问题有一定的技巧性，一直是高考、各地模拟考试、竞赛以及自主招生考试的热点问题. 本文以一道二元最值问题为例，从基本不等式法、方程思想、三角换元、几何法等四个方面探讨了解答此类问题的方法.

例题：（2011年浙江省高考理）设[x，y]为实数，若[4x2+y2+xy=1]，求[2x+y]的最大值.

解法一：基本不等式法.

因为[1=4x2+y2+xy=2x+y2-3xy=2x+y2-322xy]，又[2xy≤（2x+y2）2]，所以[1≥2x+y2-32（2x+y2）2=582x+y2]，因此[2x+y≤2105].

基本不等式法是解答二元变量最值问题的首选方法.在运用基本不等式法解题时，我们要注意基本不等式的应用条件“一正二定三相等”，一定要确保在等号成立的情况下确定最值.基本不等式法的应用关鍵是将已知的式子凑配或者分拆成基本不等式中的和或者积的形式.

解法二：方程思想.

令[2x+y=t]，所以[y=t-2x]，代入[4x2+y2+xy=1]可得[6x2-3tx+t2-1=0]，由方程有解，可得[Δ≥0]，即[Δ=9t2-24（t2-1）=8-5t2≥0]，

解得[-2105≤t≤2105]，

当[t=2105]时，

[x=310+5220，y=10-5210，]或[x=310-5220，y=10+5210，]

所以[2x+y]的最大值为[2105].

不等式、方程、函数之间的关系较为密切.二元变量最值问题可以转化为方程有解的必要条件，尤其可以转化为二次方程的问题.我们可以利用“根的判别式”这个有力武器来求得最值，但一定要验证取等号成立的条件.

解法三：三角换元法.

因为[4x2+y2+xy=1]，配方可得[（y+12x）2+154x2=1].

令[y+12x=cosθ]，[152x=sinθ]，

解得[x=21515sinθ]，[y=cosθ-1515sinθ].

因此，[2x+y=cosθ+155sinθ=2105sin（θ+φ）≤2105]，其中[tanφ=153].

所以[2x+y]的最大值为[2105].

当所求问题中含有形如[m+n=k]，[m2+n2]，[m2+n2=r]，[1+m2]，[1-m2]等式子，或者通过恒等变形可化为这类式子时，我们可考虑引入三角函数，通过三角换元将问题转化为三角函数问题来求解.

解法四：几何法.

因为[4x2+y2+xy=1]，将其配方可得[（y+12x）2+154x2=1].

令[y+12x=a]，[152x=b]，解得[x=21515b]，[y=a-1515b]，且[a2+b2=1].

令[z=2x+y=a+155b]，则其几何意义可表示为当点[P（a，b）]在圆[a2+b2=1]上运动时，求[z=a+155b]的最大值、由直线与圆的位置关系，可得[z1+35≤1]，解得[-2105≤z≤2105].

所以[2x+y]的最大值为[2105].

有些代数问题有明显的几何特征，或经适当的变形后可用几何图形、函数图象来呈现出来，此时，我们运用数形结合思想，通过构造几何图形，利用几何知识来求解，可以使问题变得直观化.

本文以一道二元最值问题为例，从不同的角度进行探究.同学们以后遇到类似问题时，可以从这四个考角度来探讨，建立不同的数学模型，提升解题的效率.

（作者单位：江苏省扬州市宝应县安宜高级中学）