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巧求双曲线的标准方程

2020-09-10方佳佳

语数外学习·高中版上旬 2020年3期
关键词:所求双曲线心率

方佳佳

求双曲线的方程是双曲线中的基本问题,也是常见问题.要求双曲线的方程,首先要根据题设巧妙地设出双曲线的标准方程.那么如何设方程才能够简化问题呢?

一、根据双曲线上两点,巧设方程

由于焦点位置未知,所以我们只需设双曲线的方程为[mx2+ny2=1mn<0],可避免分类讨论.

例1.已知双曲线过[P1(-2 ,32  5)]和[P2(43   7,4)]两点,求双曲线的标准方程.

解析:由题意知,设双曲线的标准方程为[mx2+ny2=1mn<0],

∵点[P1,P2]在双曲线上,∴[4m+454n=1,169×7m+16n=1,]

解得[m=-116,n=19,]

∴所求双曲线方程为[-x216+y29=1],即[y29-x216=1].

本题中将双曲线的方程设为[mx2+ny2=1mn<0],运算简捷、方便,同时此法在椭圆中也有类似的应用.

二、根据双曲线的渐近线,巧设方程

若已知双曲线的渐近线,我们可将渐近线“还原”成双曲线方程,并且使方程只含一个参数.

例2.根据下列条件,分别求出双曲线的标准方程:

(1)与双曲线[x24-y23=1]有共同的渐近线,且经过点[M3,-2];

(2)焦距为10,渐近线方程为[y=±12x].

分析:(1)与双曲线[x2a2-y2b2=1]有公共的渐近线,可巧设双曲线方程为[x2a2-y2b2=λλ≠0];(2)根据渐近线方程[y=±bax],可巧设方程为[x2a2-y2b2=λλ≠0],从而求解双曲线方程.

解析:(1)设所求双曲线方程为[x24-y23=λλ≠0],

又∵点[M3,-2]在双曲线上,

∴[44-93=λ],即[λ=-2],

∴所求双曲线的标准方程为[x26-y28=1].

(2)由题意知,渐近线方程为[y=±12x],

可设双曲线的方程为[x24-y2=λλ≠0],

即[x24λ-y2λ=1],

由[a2+b2=c2],得[4λ+λ=25],即[λ=±5],

∴所求双曲线的标准方程为[x220-y25=1]或[y220-x25=1].

本题中根据双曲线的渐近线方程,把双曲线的方程设为[x2a2-y2b2=λλ≠0],大大减少试题的运算量,方法显得灵活,轻便.

三、根据双曲线的离心率,巧设方程

離心率可以确定双曲线的形状,也确定了实轴与虚轴长度的比例,故设方程时只需一个待定参数.

例3.求过点[P3,-2],离心率为[e=52]的双曲线的标准方程.

分析:根据双曲线的离心率,巧设方程的形式,简化运算.

解析:由题意知[e=52],则[ca=52],

则[b2=c2-a2=14a2],即[a2=4b2],

设双曲线的方程为[x24-y2=λλ>0]或[y24-x2=λλ>0],

又点[P3,-2]在曲线[x24-y2=λλ>0]上,

解得[λ=14];

点[P3,-2]在曲线[y24-x2=λλ>0]上,此时[λ]无解.

∴所求双曲线的方程为[x2-4y2=1].

当然,双曲线标准方程的设法没有固定的模式,我们应从实际出发,尽量使其含有一个待定参数,这样可优化解题过程.但无论怎么设双曲线的标准方程,方程思想贯穿解题全过程.

(作者单位:广东省汕头市达濠第二中学)

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