摘   要    数学教师经常跟具体的题目打交道，对这些具有特殊性的具体问题进行研究，具有重要的实践价值。若能跳出对问题具体信息等的局限，将具体问题抽象为某类问题，将研究视角从“题”转向“类”，就会产生更大的价值。类化研究的基础是采用发散、抽象、分类等策略将“题”变为“类”，关键是在研究过程中采用符号化、模型化、概念化等策略研究类问题的共性特征，其结果体现出知识、策略、思维等层面的多重价值。类化，是教师尤其是数学教师应具备的思维特质和研究策略。

关键词   类化策略  解题研究  教育科研

类化，原本是心理学概念，主要指概括出新问题、新知识与某些原有认知的共同本质特征，将新知纳入与原有认知相同的结构中去。广义的类化指将具有相同结构、相同性质、相同主题、相同信息的对象放到一起进行类特征研究;狭义的类化主要指将具体的数学题目、问题抽象为某类具有相同结构的问题，再进行一般化研究，研究问题的通性，进而寻求问题的通解。教师在教育教学实践中面对的常常是特定的对象、特殊的情境和具体的教学事件，数学教师经常跟具体的题目打交道，数学教学也可以说就是数学解题的教学。对具有特殊性的具体问题进行研究，具有重要的实践价值，但若能将具体的问题抽象为某类问题，将研究视角从“题”转向“类”，就会产生更大的研究价值。

一、解题研究的现状：类化不足

1.缺乏类化研究的意识和视角

数学教师习惯解具体的题目，解完题后想到的常常是“对不对”“还有没有其他解法”，而不会想“这道题有哪些变式”“是否可以抽象成某类型的问题”。如部分教师按照“借1法”解完“老汉分牛”问题后，想到的是“结果对不对”“用按比例分配的方法可不可以解”等，有些教师甚至想到用极限的方法证明采用“借1法”所得结果的合理性。

2.缺乏类化过程性经验和能力

数学教师缺乏从数字、情境等非常具体的题目抽象出不同层级问题的经验和能力。如把三个内角分别为20°、40°、120°，20°、60°、100°的两个三角形分别分解成两个等腰三角形后，或算出1/6+1/3=1/2后，虽然想进行类化研究，但不知从何入手。

3.缺乏高度抽象的能力

数学教师能将表层信息接近的同类具体题目进行类化，但对深层结构相同的问题难以类化。换言之，所研所得的类问题仍然相对具体，无法完成更抽象的类研究。如掌握了长方形、梯形、三角形等三种图形的面积计算公式，但无法将这三类公式抽象成（a+b）*h/2，或即使抽象出了这一公式但仍然难以灵活应用。这种情况往往与数学教师缺乏极限思想、表征变式能力不强、本质理解不深刻有关。

4.缺乏概念化思维和能力

数学教师感悟到某种类规律，但囿于没有现成的概念、定理而无法清晰地呈现出类问题，更无法借助概念进行深度的类化研究。如感悟到10个点、15个点、21个点的正三角形点阵中的规律，但无法借助正三角形点阵、正立型、倾斜型等概念完成研究。

5.缺乏分解抽象问题的能力

数学教师从具体问题抽象出某个类问题后，无法深入研究，更不知如何分步、分层切入。如根据1/6+1/3=1/2抽象出1/m+1/n=1/z（其中m，n，z为正整数）后，不知从哪个角研究规律;即使想到了从z切入，也不知从z的哪种特征展开。数学教师缺乏将抽象问题研究变得可行的能力。

二、类化研究的基础：变题为类

基于类化思想对某个具体问题的研究起于“题”，终于“类”，要始终带着“类”意识，关注具体的问题信息和特定问题的解决，最终目标是透过对具体“题”的分析，寻找通向“类”的可能，追求一类问题的解决。在研究具体问题时，数学教师可采用以下策略。

1.发散策略

发散，即改变题目中具体的数据信息、对象信息、情境信息，再进行类似的思考。如“老汉分牛”问题（老头把17头牛分给三个儿子，老大分得1/2，老二分得1/3，老三分得1/9）的经典解法是“借1法”。这是一个非常具体的问题，采用发散策略可以使关注点从“题”转向“类”，提升研究价值。具体发散思考如下：（1）如果分18头牛，还可以用“借1法”吗？如果分19头牛呢？15头牛呢？牛的头数是哪些数时，才可以用借1法？（2）存在适用“借2法”“借3法”的情况吗？“借n法”呢？（3）分17頭牛时可以用“借1法”，分17亩稻田能先借1亩再分吗？分17万元钱可以先借1万元再分吗？分什么可以用“借1法”，分什么不可以用“借1法”？（4）如果1头牛刚好值1万元钱，到底该不该用“借1法”呢？进行这样的发散性思考后，教师发现解决“老汉分牛”问题看似巧妙的“借1法”背后蕴藏着诸多矛盾，而这些矛盾及其有效解决就是深入研究的价值所在。简言之，“老汉分牛”问题已经不再是基于17头牛这一特殊信息的问题，而需要基于牛的不同数量对“借1法”的存在性进行讨论，基于n的分类对“借n法”的存在性和所有解进行讨论，甚至对采用“借1法”解决“老汉分牛”问题的合理性进行重新审视。

2.抽象策略

抽象，即将具体的信息变成概括的信息，使其具有类特征，最常见的是将具体的数换成代表某类数量的字母。如习题：“10个点如图所示（见图1）那样放着，把这些点作为三角形的顶点，看看可以画多少个正三角形？”[1]这道题具有极大的研究价值，教师可以在研究15个点、21个点的基础上，将其抽象成“n阶正三角形点阵中正三角形个数问题”并进行研究。为了方便抽象，定义了如下概念：在一个正三角形三边及内部均匀分布着n行点，如果这些点满足：（1）包含三个顶点;（2）三边上都等距分布着n个点;（3）第n行上均匀分布着n个点，则我们称这些点为n阶正三角形点阵。在将具体的问题变成抽象问题时，定义一些特殊的概念再进行抽象，有时会更便于描述。

3.分类策略

分类，即选择某种标准，对具体问题进行归类，然后研究各类对象的特点。如“分等腰三角形问题”：“两个三角形的内角分别为：（1）20°，40°，120°;（2）20°，60°，100°，怎样把每个三角形分成两个等腰三角形？画出图形，试试看[2]”假设ΔABC的三个内角从大到小排列为∠A≥∠B≥∠C，提出将ΔABC分成兩个等腰三角形只有两种情况：（1）从A点引直线交BC于点D，将ΔABC分成ΔABD和ΔACD两个等腰三角形。（2）从B点引直线交AC于点E，将ΔABC分成ΔABE和ΔBCE两个等腰三角形。这样的分类使原本针对两个特殊度数三角形的具体问题变成了研究“将一个三角形分解成两个等腰三角形分法存在性和具体分法”的类问题。采用分类策略，将题问题转换为类问题的关键是找到分类的标准，使所分之类具有清晰的特点，且分类结果不交叉、不遗漏。

三、类化研究的关键：关注共性

将具体问题转变为抽象的类问题后，研究的视角将不再是某个具体问题的解决，而是这类问题的共性，因此要采用一定的策略。

1.符号化策略

符号化，即将具体问题变成抽象问题，将具体的数值解变成抽象的字母解，将解决问题的过程变成符号化的程序。如《用单位分数的一个性质解题》一文的研究充分体现了符号化思想：在准备研究时，将1/6+1/3=1/2符号化为1/m+1/n=1/z（其中m，n，z为正整数）;在研究过程中，对m、n、z的具体情况进行讨论，并总结出可论证的局部结论;在论述研究结果时，将“单位分数性质P”表述为“若A是质数，则将1/A表示成两个单位分数的和有且仅有1/A=1/（2A）+1/（2A）和1/A=1/（A+1）+1/[A（A+1）]两种表示法”[3]。符号化策略是论述每类数学问题和表述某类数学问题通解的必备策略。采用符号化策略，需要对符号的意义、取值范围以及表述结果适用范围等进行清晰的界定或说明。

2.模型化策略

模型化策略主要体现在三个方面：一要将问题模型化，即研究的不再是某个具体问题而是代表某类问题的模型;二要将结论模型化，即研究出来的结论要能解决该类问题，甚至可以经迁移后解决其他问题;三要将过程模型化，即研究问题的过程具有一定的程序性、普适性，能够为解决类似的问题产生迁移价值。如研究“分等腰三角形问题”后可得出如下结论模型：“若一个三角形可分成两个等腰三角形，其分法有且仅有以下规律：（1）有一个内角为90°，则将该角分成与另两个内角相等的两部分;（2）内角分别为x°，2x°，180°-3x°，则将180°-3x2分成x°和180°-4x°;（3）内角分别为x°，3x°，180°-4x°，则将3x°分成x°和2x°。”[4]研究过程中采用的“分类—细分”策略以及“假设—求证—归纳”策略也具有模型价值。

3.概念化策略

概念化，即为了研究问题的需要或者论述方便，在研究过程中自行界定某些概念。如研究“n阶正三角形点阵中正三角形个数问题”不仅要界定“n阶正三角形点阵”，而且要对可能画出的正三角形类型进行概念界定：（1）按放置位置分类，“正立型，指最下面的一边水平;倒立型，指最上面的一边水平;倾斜型，除了正立型和倒立型以外的其他正三角形”，同时配以图示。（2）按边长分类，“正立型或倒立型正三角形记为i+i+i型正三角形，指每条边上有i+1个点（即将相邻两点间的距离看作1）;倾斜型三角形记为跨i行型正三角形，指该三角形的每条边都穿过了点阵中的i+1行或列（包括顶点所在行或列）”，同时配以图示。有了这些概念，再研究“n阶正三角形点阵中正三角形个数问题”就显得方便多了。概念界定，有助于清晰地概括复杂的对象，区分不同研究对象的类型，使陈述研究对象和思路、表述结论更简洁明了，更便于读者理解和表达。

四、类化研究的价值：多重取向

类化使研究从点到面，使研究对象变得更抽象，研究过程变得更复杂，研究结果变得更普适，因此类化研究结果常常具有多重价值。

《偷天换日的“借1法”》一文通过严密的论证得出结论：设被分的牛为m头，老大、老二、老三依次分得这些牛的1/a、1/b、1/c，其中m、a、b、c都为正整数，最终符合条件的（m，a，b，c）有且只有7组，即（41，2，3，7）、（23，2，3，8）、（19，2，4，5）、（17，2，3，9）、（11，2，3，12）、（11，2，4，6）、（7，2，4，8）[5]。这篇文章体现了多重价值：一是知识价值。不仅分析了“老汉分牛”问题的合理性和逻辑问题，而且求出了“三个儿子分牛”可用“借1法”的所有可能分法。这有助于读者摆脱具体数值和惯性思维，全面而深刻地认识“老汉分牛”问题，感性地了解合情推理与逻辑推理的异同。二是策略价值。遵循该文的研究思路，读者完全可以解决如下问题：（1）老汉有2个儿子、4个儿子等情况下，适用“借1法”的所有可能情况。（2）老汉有3个儿子情况下，对某个具体的n（如n为2）而言，“借n法”的存在性以及所有可能情况。为讨论方便，本文分别将其称为思路1和思路2。借助该文中的研究策略，多数有兴趣的读者可以独立完成思路1和思路2的研究。三是思维价值。该文给予读者的思维价值至少体现在以下两个方面：一方面，要批判性思考，对熟视无睹的问题和已有的结论进行深刻的追问并且努力探寻背后的深层原因和学科价值，而不唯书、不唯结论。另一方面，要发散性思考，对具体问题展开发散性研究，逐步拓展研究视域和思维深度。除了思路1和思路2，读者还可以探讨“在老汉仍有三个儿子的前提下，对抽象的n而言，‘借n法的存在性以及所有存在的可能情况”（称为思路3）和“m个儿子分n头牛（其中m、n都为正整数）”（称为思路4）的抽象情况。从具体的“老汉分牛”问题，到抽象的“老汉分牛”问题，再到研究思路1、2、3、4，这种发散、递进的研究思维，使简单的“老汉分牛”问题的研究逐步延伸到数论领域，其对研究思路的启发价值远远大于解决原问题的价值。

研究一个个具体问题如同观察森林中一棵棵形态各异的树，容易被众多树木的枝叶遮蔽双眼。这样的解题研究容易演变成题海战术，演变成机械重复的解题操练。解题研究，要既见“题”，也见“类”，以“题”为切入点使“类”研究根植数学教育教学实践，以“类”为经纬线使“题”研究能以小见大，提升价值。

参考文献

[1] 华东师范大学出版社.数学（七年级下册）[M].上海：华东师范大学出版社，2013.

[2] 华东师范大学出版社.数学（七年级下册）[M].上海：华东师范大学出版社，2001.

[3] 钟建林.用单位分数的一个性质解题[J].数学通报，2004（03）.

[4] 钟建林.什么样的三角形可以分成两个等腰三角形[J].福建中学数学，2005（05）.

[5] 钟建林.偷天换日的“借1法”[A].小学数学主流话题、疑难问题透析[C].北京：教育科学出版社，2011.

[作者：钟建林（1976-），男，湖北红安人，扬州大学教育科学学院，博士生，福建省教育科学研究所，副编审。]

【责任编辑  郭振玲】