金炜枫

摘要：《土木工程数值分析方法》是本校土木工程专业的一门选修课程，主要涉及有限元离散方程的推导和矩阵编程运算，本文以杆和弹簧的混合结构计算为例，介绍课堂上学生参与进行杆和弹簧混合结构的编程计算，从而理解有限元计算的实现过程。

关键词：数值分析;参与式

《土木工程数值分析方法》是本校土木工程专业的一门选修课程，目的是使学生理解有限元离散方程的理论基础、单元刚度矩阵形成过程、总体刚度矩阵的叠加过程和边界条件处理，同时可以编写有限元程序。参与式教学在课堂上具有互动性的特点，可以启发学生参与理论的推导和编程实践，增加学生学习主动性，提高学生的学习效率。

参与式教学法

参与式教学方法依赖于教师和学生的互动，学生在互动中学习并掌握有限元法的基本理论和有限元方程形成过程。通过实例，展现有限元数值分析方法在土木工程中的应用：例如在二维平面上，对于杆和弹簧的混合结构，使学生参与有限元理论推导和数值计算的关键步骤，特别是杆和弹簧单元刚度矩阵的理论推导过程、一维杆在二维坐标系下的变换过程、单元刚度矩阵与总体刚度矩阵的关系、边界条件的处理等。在学生参与过程中，教师及时回答学生对于理论推导中的困惑，从而使学生深刻理解有限元理论及其实现过程。最终学生编写完整的程序分析载荷作用下杆和弹簧的受力及位移，这时教师还需帮助学生核查程序中的错误之处，保证程序通过。为了增强学生运用有限元数值分析方法解决实际工程问题的能力，通过参与式教学，让学生基于自己编写的有限元程序，分析杆和弹簧混合结构中的最大位移节点，且由计算得到的节点位移，绘制变形前后的结构形式。针对实际工程中材料强度的选择问题，由节点力计算每个杆单元上的应力，即可由此应力最大值分析材料强度的下限，也可以由不同杆件上的不同应力确定每个杆件可以选择的材料强度。另外针对实际工程中变形控制问题，不断调整杆件的模量和弹簧刚度，数值计算得到不同的位移最大值，这样基于模拟结果可以在变形控制约束下选取材料力学参数。

参与式教学实施过程

如图中杆和弹簧混合结构为例，说明参与式教学实施过程。在理论推导上，首先引导学生建立一维杆件和弹簧受力的平衡方程，由节点力和节点位移得到矩阵方程，然后由矩阵形式得到一维杆件和弹簧的单元刚度矩阵，让学生评述一维杆和弹簧单元刚度矩阵的异同点。之后引入坐标变换的概念，引导学生由坐标变换推导一维杆和弹簧在二维空间中的单元刚度矩阵。接下来对于杆和弹簧混合结构，引导学生组装整体刚度矩阵，写出混合结构整体刚度矩阵的形式。最后对于边界条件，引导学生处理零位移边界条件，并评述零位移边界条件对总体刚度矩阵的影响，观察刚度矩阵进行零边界条件处理后是否变为满秩矩阵，然后通过对零边界条件处理后的刚度矩阵求逆可以得到未知的节点位移，由总体节点位移向量和总体刚度矩阵可以得到所有节点受到的节点力。

为了加深学生对有限元理论的理解和编程实践的锻炼，可以让学生在计算机上编写一维杆和弹簧的单元刚度矩阵，并输入具体材料参数从而得到单元刚度矩阵的具体数值形式，在这个过程中保持与学生的互动，学生对单元刚度矩阵程序有疑问或程序报错都应及时解决。在上述程序基础上，引导学生编写坐标变换程序从而得到二维空间中杆和弹簧的单元刚度矩阵，然后编写总体刚度矩阵程序。对于总体刚度矩阵程序，应让学生用程序求矩阵的秩，观察初始刚度矩阵是否为满秩矩阵，讨论非满秩矩阵、矩阵阶数和二维平面自由度的关系;对于总体刚度矩阵进行零位移边界条件处理，编写相应程序后，观察缩减后的总体刚度矩阵是否为满秩矩阵及其对矩阵求逆的影响。然后由缩减的总体刚度矩阵的逆矩阵和节点力向量，求解得到未知的节点位移，最后由未缩减的总体刚度矩阵和总体节点位移列向量得到所有节点力，在这个过程中学生有任何程序错误而得不到未知的节点位移和节点力，都应协助学生找出程序中的错误，使程序运行成功，从而激发学生学习热情。

结束语

在《土木工程数值分析方法》课程中講授有限元理论，可以通过参与式教学，让学生在互动中提高有限元理论的学习效率，在有限元矩阵的编程实践中扎实掌握有限元求解流程，通过成功求解一个完整的有限元问题，增强学生的自信心，同时激发学生的学习兴趣。

参考文献

[1]单颖.参与式教学方法在高校课堂教学中的应用[J].皖西学院学报， 2006（4）.

[2]毛宁.参与式高校教学改革分析[J].赤峰学院学报（自然科学版）， 2016（9）.

（作者单位：浙江科技学院土木与建筑工程学院）